Groupe discret, action propre sur un espace localement compact, orbites discrètes et fermées

Barjovrille

Bonjour, 
soit $E$ un espace localement compact, soit $G$ un groupe topologique discret qui agit continument, proprement à gauche sur $E$.
Je veux montrer que les orbites sont discrètes et fermées.
J'ai réussi à montrer que soit $x \in E$, pour tout $y \in G \cdot x$, il existe un voisinage $V$ de $y$ tel que $G \cdot x \cap V= \{y\}$, donc les orbites sont discrètes. 
Mais pour la fermeture je suis bloqué. Est-ce que vous avez des idées ?

La définition d'action propre est la suivante $G$ agit proprement si pour tout compact $K$ de $E$ l'ensemble $\{g \in G \mid gK \cap K \neq \emptyset \} $est fini relativement compact dans $G$.

raoul.S

Soit un $x$ qui n'est pas dans l'orbite de $y$, il s'agit de montrer qu'il existe un voisinage $U_x$ de $x$ tel que $U_x\cap Gy=\emptyset$. Ceci prouvera que le complémentaire de $Gy$ est ouvert et donc que $Gy$ est fermé.

Soit donc $V_x$ un voisinage compact de $x$ ($E$ est localement compact). Le sous-ensemble $W_x:=V_x\cup \{y\}$ est compact et par suite $\{g \in G \mid gW_x \cap W_x \neq \emptyset \}$ est fini. À fortiori il n'existe qu'un nombre fini de $g\in G$ tels que $\{gy\} \cap V_x \neq \emptyset$ et donc $Gy\cap V_x$ est fini.

Ensuite il suffit de considérer $U_x:=V_x\setminus Gy$ pour obtenir un voisinage de $x$ qui n'intersecte pas l'orbite de $y$.

PS. c'est dans le Godbillon qu'il y a tout ceci mais j'avoue que pour chaque ligne qu'il écrit il faut en faire 3 de développements...

PS2. remarque que pour obtenir  $Gy\cap V_x$ fini on n'a pas supposé que $y$ et $x$ sont dans des orbites différentes. Par conséquent en prenant $y=x$ on obtient également que les orbites sont discrètes .

Barjovrille

Merci @raoul.S  ce sont les explications que je cherchais ! Je lis le Godbillon (ton livre de référence )  en ce moment c'est de sa démonstration que vient ma question, oui je confirme il faut rester concentrer pour suivre ses démonstrations, je n'ai pas pensé à ajouter $\{y\}$ dans le $W_x$ j'avais sûrement le cerveau cramé hier avec les démonstration d'avant (et aussi ton défi). Juste après il démontre que l'espace des orbites $E/G$ est séparé donc on peut aussi en déduire que les orbites sont fermé car image réciproque par la projection continue ... Mais je voulais démontrer dans son ordre et en plus je voyais que sa justification de "les orbites sont fermés" tenais en une ligne donc je voulais comprendre cette ligne.

raoul.S

Barjovrille a dit :

Je lis le Godbillon (ton livre de référence )

Je l'avais acheté lorsque je suivais un cours de topologie algébrique durant mes études, mais j'en ai lu moins que la moitié 😅 Par contre il permet de bien se faire la main rien que pour comprendre certains passages qui sont censés être évidents...

Barjovrille a dit :

j'avais sûrement le cerveau cramé hier avec les démonstration d'avant (et aussi ton défi).

Non non c'est le Godbillon qui est hard. En ce qui concerne le défi, il peut devenir un cauchemar (ça l'a été pour moi). Le cas métrique est beaucoup plus simple à prouver. Pour le cas général il faut utiliser une caractérisation des quasi-compacts qui fait intervenir l'axiome du choix, j'avais trouvé ça sur le web après plusieurs jours de recherches vaines. Dans un article d'un spécialiste du domaine ce résultat figurait comme un simple lemme démontré en 2-3 lignes

Barjovrille

Il me semble que j'avais trouvé un chemin dans le cas séparé, merci pour les indications je vais réfléchir .