Le demi-plan n'est pas homéomorphe au plan

Chalk

Hello,

J'ai essayé de construire un exercice motivant la notion de variété, autour de la sphère et des cartes locales / globales, niveau L2/L3. Dans ce cadre j'aimerais faire démontrer que le demi plan $\R_+ \times \R$ n'est pas homéomorphe à $\R^2$.

Est-ce qu'on peut refaire ça de "zéro", i.e. niveau L2/L3 en topologie et donc sans redémontrer 20 pages de théorie sur les homotopies ou la topologie algébrique plus généralement ?

JLT

$\R^2$ privé d'un point n'est pas simplement connexe, tandis que $\R_+\times \R$ privé de l'origine l'est.

Chalk

Haha je sais, mais justement tu contournes le vrai problème. Comment tu redémontres au niveau voulu que c'est simplement connexe ou non (sans utiliser plein de résultats de topologie algébrique) ?

JLT

C'est une question de relèvement de l'argument, ça peut se démontrer de manière élémentaire (quoiqu'un peu laborieuse).

Chalk

Merci, tu pourras développer davantage si jamais tu as du temps ?

JLT

Supposons que $F:[0,1]\times \R/2\pi\Z\to\C^*$ soit continue avec $F(0,\theta)=e^{i\theta}$ et $F(1,\cdot)$ constante. Quitte à diviser $F(t,\theta)$ par son module on peut supposer que $|F(t,\theta)|=1$ et quitte à remplacer $F(t,\theta)$ par $F(t,\theta)/F(t,0)$ on peut supposer $F(t,0)=1$ pour tout $t$.

Pour $t$ fixé, il existe une et une seule fonction continue $\varphi_t:[0,2\pi]\to \R$ telle que pour tout $\theta\in [0,2\pi]$ on ait $F(t,\theta)=e^{i\varphi_t(\theta)}$.
Par uniforme continuité, il existe $\epsilon>0$ tel que pour tous $s,t$, on ait $|s-t|<\epsilon\implies \forall\theta,\; |e^{i\varphi_s(\theta)}-e^{i\varphi_t(\theta)}|<2$. Alors $-\pi<\varphi_s(\theta)-\varphi_t(\theta)<\pi$ pour tout $\theta$. Comme $\varphi_s(2\pi)-\varphi_t(2\pi)\in\Z$, on en déduit que $\varphi_s(2\pi)=\varphi_t(2\pi)$ si $|s-t|<\epsilon$. Par conséquent $2\pi=\varphi_0(2\pi)=\varphi_1(2\pi)=0$. Impossible.

Chalk

Jusque là je te suis @JLT , tu ne peux pas contracter un lacet circulaire autour du plan épointé du centre du cercle.

Mais comment fais-tu ensuite le lien avec la question initiale ? Je ne connais pas.la théorie de l'homotopie et c'est pourquoi je voudrais voir comment démontrer tout ça sans m'appuyer explicitement sur les invariants de la topologie algébrique.

Comment te sers-tu de ton résultat concrètement ?

Georges Abitbol

Autre chose : soit un tel homéomorphisme. Il se prolonge à un homéomorphisme des compactifiés d’Alexandrov, qui sont le disque fermé pour le demi-plan et la sphère de dimension $2$. L’application d’antipodalité de la sphère dans elle-même n’a pas de point fixe, alors que par le théorème de Brouwer, toute application continue du disque dans lui-même en a un. Et tu leur donnes Brouwer à démontrer avec le lemme de Sperner, en DM obligatoire et non noté.

Georges Abitbol

Sinon, tu fais la même chose en dimension $1$, avec une droite et une demi-droite (un peut rester connexe après suppression d’un point, l’autre non) et tu dis qu’en dimensions supérieures c’est un peu plus délicat et qu’il faudra suivre un cours de topologie algébrique.

Chalk

Merci, mais je ne leur donne rien, je ne suis pas prof 

Je voulais essayer de concevoir un petit sujet sympa pour mon plaisir (oui c'est bizarre).

Pour en revenir à la solution de JLT, si j'enlève un point $p$ de la droite $x=0$ et que je considère un lacet du plan autour de son image $f(p)$ par un homéomorphisme $f$ entre le demi-plan et le plan, alors ce lacet n'est pas contractible comme on l'a vu, pourtant son image réciproque dans le demi-plan l'est.

A priori ce dernier point ne doit pas être trop difficile à montrer (visuellement c'est évident, le lacet réciproque contourne $p$ puisque $p$ est sur le bord), mais je ne suis pas contre un peu d'aide pour le justifier proprement et formellement.

Georges Abitbol

Ah ben le demi-plan sans l’origine, c’est homéomorphe à un cône fermé dans sommet, qui est convexe (et là on peut rétracter le lacet facilement).

EDIT : coquille corrigée.

Chalk

Ça veut dire quoi retracer le lacet facilement ? Parce que même dans le demi plan c'est clair que le lacet "ne contient pas l'origine" (car c'est un point du bord) donc est contractile.

Mais de là à le démontrer proprement pour moi qui n'ait pas étudié l'homotopie ...

Car dans le plan c'est tout aussi visuel qu'un lacet qui entoure un point ne peut pas se contracter autrement qu'en passant par ce point, mais comme on l'a vu avec la preuve de JLT ce n'est pas trivial à démontrer.

raoul.S

Chalk a dit :

Ça veut dire quoi retracer le lacet facilement ? Parce que même dans le demi plan c'est clair que le lacet "ne contient pas l'origine" (car c'est un point du bord) donc est contractible.
Mais de là à le démontrer proprement pour moi qui n'ait pas étudié l'homotopie ...

Plus généralement tu peux démontrer que dans un convexe tout lacet se déforme continûment en un point.
Plus précisément, soit $C\subset \R^2$ un convexe (mais tu peux prendre n'importe quel espace vectoriel normé à la place de $\R^2$), soit $\gamma:[0,1]\to C$ un lacet (donc $\gamma(0)=\gamma(1)$ et $\gamma$ continue) et $v\in C$ alors l'application $F:[0,1]\times [0,1]\to C, (t,x)\mapsto tv+\gamma(x)(1-t)$ est continue et fait le job. En effet $F(0,.)=\gamma$ donc au "temps $t=0$" on a le lacet $\gamma$ tandis qu'au "temps $t=1$" on a le lacet constant égal à $v$ car $F(1,x)=v$ pour tout $x\in [0,1]$. Pour $t$ entre $0$ et $1$ tu as une déformation continue du lacet d'origine $\gamma$.

En fait ce qu'un appelle homotopies c'est des applications du type $F$ ci-dessus. Même type que le $F$ de JLT d'avant.

Georges Abitbol

Ben, si $\gamma$ est le lacet et $x$ le point de base, si tout est dans un convexe, on pose $H(t,s) := (1-s)\gamma(t) + sx$ qui définit une $H$ continue (JLT l’a appelée $F$) qui est bonne. Par l’homéomorphisme, elle ne peut pas exister si $\gamma$ entoure le point image de l’origine, d’après le post de JLT. Donc contradiction.

Georges Abitbol

En fait, les seuls espaces pour lesquels il est trivial de démontrer la simple connexité sont ceux qui se rétractent par déformation (c’est un terme technique) sur un de leurs points (c’est le même argument). Toute partie étoilée d’un espace vectoriel topologique se rétracte par déformation sur le point de l’étoile (voir ci-dessus) et, par suite, tout espace homéomorphe à une partie étoilée aussi. Pour les autres, ça peut être plus compliqué.

Chalk

Top, merci à tous pour votre aide !

Renart

On en avait déjà discuté ailleurs mais si on a accès à l'analyse complexe (souvent enseignée en L3) alors on a déjà fait un peu d'homotopie et on montre facilement que $\R^2\backslash \{0\}$ n'est pas simplement connexe. En effet $f : z \mapsto 1/z$ y est holomorphe et $\int_\gamma f(z) \mathrm d z \neq 0 $ pour $\gamma$ le cercle unité parcouru dans le sens trigonométrique.

Mais on a pas vraiment gagné grand chose par rapport à l'approche de JLT, on a juste déplacé le point technique dans un hypothétique cours d'analyse complexe.

JLT

Via $(r,\theta)\mapsto re^{i\theta}$, le demi-plan supérieur privé de l'origine est homéomorphe à $X=[0,\pi]\times \R_+^*$ qui est contractile : il existe $x_0\in X$ et $g:[0,1]\times X\to X$ continue telle que $g(0,x)=x$ et $g(1,x)=x_0$ pour tout $x\in X$.

Soit $f:\R/2\pi\Z\to X$ un lacet. Soit $F:[0,1]\times \R/2\pi\Z\to X$ défini par $F(t,\theta)=g(t,f(\theta))$, alors $F$ est une homotopie entre $f$ et un lacet constant.

Chalk

@Renart Oui je voulais me passer également de l'analyse complexe mais tu as raison.
Merci JLT pour tes précisions.