Monotonie d’une suite
Bonjour,
j’ai toujours des problèmes avec les suites récurrentes, car le calcul numérique donne rapidement le comportement de la suite, mais pour le prouver ce n’est pas évident pour moi.
u(1)=4/3
u(n+1)=1+ (1/u(n)). (u(n)-1)^(1-(1/n))
Comment montrer qu’elle est décroissante (et alors elle est convergente vers 1 si je ne me trompe pas )
Merci.
u(n+1)=1+ (1/u(n)). (u(n)-1)^(1-(1/n))
Comment montrer qu’elle est décroissante (et alors elle est convergente vers 1 si je ne me trompe pas )
Merci.
Réponses
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Pour montrer qu'une suite est décroissante, il y a différentes recettes.
- Montrer que $u(n+1)-u(n)$ est toujours négatif.
- Montrer que $u(n+1)/u(n)$ est toujours plus petit que $1$ , et que la suite est composée de termes tous positifs.
Ici ces 2 pistes semblent difficiles à exploiter.
Il peut y avoir une 3ème recette plus facile, quand on a une 'intuition' de la limite.
si $l$ est la limite supposée, on pose $v(n)= u(n)-l$ et on cherche à montrer que $v$ est décroissante.
Et là, en calculant $v(n+1)/v(n)$, dans l'idée de montrer que c'est toujours plus petit que 1, on a de bonnes chances que les calculs soient plus simples.
Et en général, on fait d'une pierre 2 coups, on montre que la suite est décroissante, et on prouve que sa limite est le $l$ qu'on a trouvé 'intuitivement'Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
Effectivement, c’est ce que j’ai essayé de faire, ceci m’a conduit à montrer que (u(n))^(n+1)-(u(n))^n-1>0
ce que je n’arrive pas encore à montrer.
Merci de m’aider. -
C’est que j’ai calculé (u(n+1)-1)/(u(n)-1) .
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J'ai essayé de vérifier les calculs.
Les formules ne sont pas claires, j'hésite entre 2 interprétations (il faudrait que tu utilises le Latex pour montrer une formule sans ambiguité)
Mais de toutes façons, avec les 2 formules que j'ai testées, il y a une erreur. Dans mes 2 essais, je trouve u(2)=7/4 ; et donc la suite n'est pas décroissante.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
Voici la formule plus clairement:La suite est décroissante à partir du rang 2 si je ne me trompe pas.
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Oui, je m'étais planté.
La formule que tu avais mise au début correspond bien à ça, mais je me suis planté en la 'programmant' dans excel.
Donc, je proposais une autre suite $V_n = U_n-1$
$V_{n+1} = \frac{1}{V_n+1} * (V_n)^{\frac{1}{n-1}} $
L'étape 1, c'est de montrer que cette suite est correctement définie. En effet, il y a une racine n-ième, il faut s'assurer que le terme en question est positif ou nul. Et même strictement positif.
Par récurrence, ça se fait bien.
La suite $V_n$ est définie, et tous les termes sont strictement positifs.
Et si on calcule le rapport entre 2 termes consécutifs, on trouve
\frac{V_{n+1}}{V_n} = \frac{1}{V_n+1} \times (V_n)^{\frac{1}{n-1}}
La même formule, encadrée de symboles Dollar, pour que ce soit lisible :
$\frac{V_{n+1}}{V_n} = \frac{1}{V_n+1} \times (V_n)^{\frac{1}{n-1}}$
$\frac{1}{V_n+1}$ est plus petit que 1. Et $(V_n)^{\frac{1}{n-1}}$ est aussi plus petit que 1 ( .... attention, là, je saute des étapes).
En fait, si on décompose en plusieurs étapes,
1) on montre que $(V)$ est définie pour tout n
2) on montre que tous les termes sont compris entre 0 et 1, et que la suite est décroissante.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
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Pardon mais il semble que la formule v(n+1)/v(n) contient une erreur , c’est plutôt :
v(n+1)/v(n)= (1/v(n)+1) (v(n))^ (-1/n) et là ce n’est plus évident de montrer que le quotient est plus petit que 1. -
Soit $w_n=(u_n-1)^{n-1}$, alors $w_n$ est strictement décroissante et strictement positive, et $w_1=1$, donc $w_n\leq 1$ pour tout $n$.$u_n=1+w_n^{\frac{1}{n-1}}$, donc d'après le binôme de Newton, $u_n^n =1+nw_n^{\frac{1}{n-1}}+ \ldots+n w_n^{\frac{n-1}{n-1}}+w_n^{\frac{n}{n-1}} \geq nw_n^{\frac{1}{n-1}}$.Donc $w_{n+1} =\frac{w_n}{u_n^n}\leq \frac{1}{n} w_n^{1- \frac{1}{n-1}}= \frac{1}{n} w_n^{\frac{n-2}{n-1}}$.Soit $t_n=w_n^{n-2}$, alors $t_{n+1} \leq \frac{1}{n^{n-1}} t_n$Donc quelque soit $k \in \N^*$, pour $n\geq k$, $t_{n+1} \leq \frac{1}{k^{n-1}}t_n$, donc $t_{n+1} \leq \frac{1}{k^{(n-1)+(n-2)+\cdots+(k-1)}} t_k \leq \frac{A_k}{k^{n(n-1)/2}}$ pour un certain $A_k>0$ ne dépendant que de $k$.Donc $w_{n+1}=t_{n+1}^{\frac{1}{n-1}} \leq \frac{A_k^{\frac{1}{n-1}}}{k^{n/2}}$.Donc $u_{n+1}=1+w_{n+1}^{\frac{1}{n}}$, c'est-à-dire $u_{n+1} \leq 1+\frac{A_k^{\frac{1}{n(n-1)}}}{\sqrt{k}}$ (pour $n\geq k$).Donc, pour tout $k\in \N^*$, lorsque $n$ tend vers $+ \infty$, $\limsup u_{n+1} \leq 1+\frac{1}{\sqrt{k}}$.Donc comme $u_n\geq 1$ pour tout $n$, on a $\lim u_n=1$.
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Merci beaucoup pour la preuve de convergence vers 1, mais j’ai vraiment séché pour démontrer sue (un) est décroissante, je n’ai rien trouvé.
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Cette decroissance n 'est pas simple à déduire. C'est un defi pour le forumLorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Merci de m’avoir rassuré que ce n’est pas facile à montrer.
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Ça va être dur de montrer la décroissance demandée : $u_2=7/4>4/3=u_1$.
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Edit Est-ce que quelqu'un peut donner un programme qui teste la décroissance d'une suite jusqu'au rang n = 1 milliard ? Le programme doit s'arrêter au premier rang qui viole la décroissance et afficher ce rang.
Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Il semble que la décroissance commence avec u2 et u3
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Sara tu peux procéder par récurrence. Soit $f(t, x)=\frac{x^{1-\frac 1t}}{1+x},\, \forall t\geq2,\,\forall x>0$ et $v_n$ la suite de Lourrrain , On a $v_{n+1}=\dfrac{v_n^{{1-\frac 1n}}}{1+v_n}=f(n,v_n)\leq f(n,v_{n-1})\leq f(n-1,v_{n-1})=v_n$Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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S’il vous plait,
le passage f(n,v(n))<=f(n,v(n-1)) exige que f soit croissante ([en la] variable x) ce qui n’est pas le cas si on étudie le signe de la dérivée (par rapport à x) ou bien est-ce que je n’ai pas compris quelque chose. Merci. -
Je crois qu’il faut juste considérer que 0<x<1 au lieu de x>0 ( d’ailleurs un<=2 donc vn<=1). Ainsi 1<=t-1 , de même, f est décroissante (pour la variable t) car la dérivée a le même signe que ln x qui est <0 vu que x<1.Est-ce bien ça l’explication ? Je vous remercie d’avance.
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Je n'ai pas expliqué tout- $v_3<v_2$- $0<v_n<1$ pour tout n, par récurrence.- Pour $x\in\, ]0,1[$ fixé, $t\to f(t,x)$ est décroissante sur $[2,+\infty[$ ($]0,+\infty[$ si tu veux).- Pour $t\geq 2$ fixé, $x\to f(t,x)$ est croissante sur $]0,1[$.Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
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Oui, c’est exactement ce que j’ai compris de votre suggestion.Le mystère de monotonie de cette suite vient d’être enfin levé. Merci infiniment pour votre soutien.
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Bonjour!
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