Action de groupe

un_kiwi
Modifié (July 2023) dans Algèbre
Bonjour
J'aurais quelque questions sur les actions de groupes.
1. Compte tenu des propriétés que doit vérifier une action de groupes, ne peut-on pas dire qu'un espace vectoriel est grosso modo un groupe muni d'une action de groupe ?
2. J'ai eu beau essayer de le prouver, je ne comprends pas pour l'application
$(\sigma, (x_1,\dots,x_n))  \in \mathfrak{S}_n \times X^n  \mapsto  (x_{ \sigma^{-1}(1) }, \dots, x_{ \sigma^{-1}(n) }) \in X_n$
définit bien une action de $\mathfrak{S}_n$ sur $X$, où $n\in \mathbb{N}^*$ et $X$ désigne un ensemble.
3. Je bute sur l'exercice suivant.
On donne $G$ un groupe fini d'ordre $n$ pair et $S=\{ x\in G\mid x^2 =1\}$.
a) J'ai montré que la formule $\varepsilon \cdot g = g^{\varepsilon}$ définit bien une action de $\{ \pm 1\} $ sur $G$. Mais je bloque aux deux questions suivantes.
b) À l'aide de l'équation aux classes, montrer que $|S|$ est pair,
c) En déduire que $G$ admet au moins un élément d'ordre $2$.
Merci d'avance !

Réponses

  • Math Coss
    Modifié (July 2023)
    1. Ah ? Tu veux coder le produit d'un scalaire par un vecteur par une action du groupe des éléments non nuls du corps ? Il te faut alors traiter le cas du produit par zéro à part, c'est dommage, et surtout ça ne s'étend pas à la situation des modules sur un anneau (où on a en général des éléments non nuls et non inversibles).
    2. Un élément de $X^n$ est une application de $\{1,\dots,n\}$ vers $X$ (l'image de $i$ est $x_i$). De façon générale, si un groupe $G$ agit sur un ensemble $Y$ et si $X$ est un ensemble quelconque, l'ensemble $X^Y$ des fonctions de $Y$ vers $X$ admet une action à gauche de $G$ définie par : \[\forall g\in G,\ \forall f\in X^Y,\quad \forall y\in Y,\ (g\cdot f)(y)=f(g^{-1}\cdot y).\] D'évidence le neutre de $G$ agit comme l'identité ; si $g,h\in G$ et $f\in X^Y$, on veut montrer que $g\cdot (h\cdot f)=(gh)\cdot f$. Pour cela on fixe $y\in Y$ quelconque et on note $\hat{f}=h\cdot f$ (c'est l'application qui envoie un $y'$ quelconque de $Y$ sur $f(h^{-1}\cdot y')$) : \begin{align}\bigl((gh)\cdot f\bigr)(y)&=f\bigl((gh)^{-1}\cdot y\bigr)=f(h^{-1}g^{-1}\cdot y)\;;\\ \bigl(g\cdot (h\cdot f)\bigr)(y)&=(g\cdot \hat f)(y)=\hat f(g^{-1}\cdot y)=f\bigl(h^{-1}\cdot (g^{-1}\cdot y)\bigr)\end{align}
    3. Note que $S$ est exactement l'ensemble des points fixes de l'élément $-1$ du groupe qui agit ; autrement dit c'est l'ensemble des points qui sont seuls dans leur orbite. Le complémentaire $G\setminus S$ est au contraire la réunion des orbites de cardinal $2$, de sorte qu'il est pair. Si $|G|$ et $|G\setminus S|$ sont pairs, cela entraîne que $|S|$ est pair. Pour la question c, constate que le neutre de $G$ est dans $S$ ; il y a donc au moins un autre élément que lui dans $S$, qui est un élément d'ordre $2$.
  • un_kiwi a dit :
    Bonjour
    J'aurais quelque questions sur les actions de groupes.
    1. Compte tenu des propriétés que doit vérifier une action de groupes, ne peut-on pas dire qu'un espace vectoriel est grosso modo un groupe muni d'une action de groupe ?
    Tu as trop d'axiomes pour la multiplication externe pour les encoder dans la seule notion d'action de groupe.
  • Ce que l'on peut dire de positif, c'est qu'avec les axiomes d'espace vectoriel sur un corps $K$ arrive aussitôt une action du groupe $K^*$ des inversibles de $K$ sur les vecteurs, pour laquelle l'orbite nulle ($\{0\}$) est à part et les autres sont les droites vectorielles (privées de $0$). L'ensemble des orbites est l'espace projectif associé à l'espace vectoriel de départ. Deux applications entre mille autres :
    • on peut plonger $K^n$ dans l'espace projectif associé à $K^{n+1}$ et c'est un lieu merveilleux où deux droites se coupent toujours en un unique point... en fait, comme le montre le sous-forum de géométrie, si on veut comprendre la géométrie du plan $\R^2$, il faut en fait plonger dans l'espace projectif associé à $\C^3$ ;
    • de façon plus anecdotique, si $K$ est un corps fini, l'action du groupe linéaire $\mathrm{GL}_{n+1}(K)$ sur l'ensemble (fini) des droites de $K^{n+1}$ donne lieu à une injection de $\mathrm{PGL}_{n+1}(K)$ (quotient du groupe linéaire par les homothéties) dans un groupe symétrique ; on montre ainsi que $\mathrm{PGL}_{2}(\mathbf F_4)\simeq\mathfrak S_5$ ou que $\mathrm{PGL}_{2}(\mathbf F_5)$ s'injecte dans $\mathfrak S_6$ comme un sous-groupe transitif isomorphe à $\mathfrak{S}_5$, etc.
    Dans un autre ordre d'idée, la notion d'espace affine s'exprime bien en termes d'action : un espace affine est un ensemble muni d'une action simplement transitive d'un espace vectoriel.
  • Thierry Poma
    Modifié (July 2023)
    Bonjour
    Passons... Il y a tout de même une idée que l'on ne peut passer sous silence. Considérons le morphisme d'anneaux suivant :
    \[\Phi:(A,\,+,\,\cdot,\,0_A,\,1_A)\to(\mathrm{End}_{\Bbb{Z}}(E),\,+,\,\circ,\,\mathbf{0}_E,\,\mathbf{1}_E),\,a\mapsto\Phi(a):\left\{\begin{array}{rcl}E&\longrightarrow&E\\v&\longmapsto&\Phi(a)(v)=a\top{}v\\\end{array}\right.\]Traduite les assertions suivantes explicitement
    1. Pour tout $a$ dans $A$, $\Phi(a)$ appartient à $\mathrm{End}_{\Bbb{Z}}(E)$, i.e est un endomorphisme du groupe additif (ou du $\Bbb{Z}$-module) $(E,\,+)$.
    2. $\Phi\left(1_A\right)=\mathbf{1}_E$.
    3. Pour tous $a$ et $b$ dans $A$, $\Phi(a\cdot{}b)=\Phi(a)\circ\Phi(b)$.
    4. Pour tous $a$ et $b$ dans $A$, $\Phi(a+b)=\Phi(a)+\Phi(b)$.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • En considérant le morphisme d'anneaux\[\Phi:(A,\,+,\,\cdot,\,0_A,\,1_A)\to(\mathrm{End}_{\Bbb{Z}}(E),\,+,\,\circ,\,\mathbf{0}_E,\,\mathbf{1}_E),\,a\mapsto\Phi(a):\left\{\begin{array}{rcl}E&\longrightarrow&E\\v&\longmapsto&\Phi(a)(v)=v\top{}a\\\end{array}\right.\]l'assertion 3. devient celle-ci : Pour tous $a$ et $b$ dans $A$, $\Phi(b\cdot{}a)=\Phi(a)\circ\Phi(b)$, les autres restant inchangées.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • un_kiwi
    Modifié (July 2023)
    3. Note que $S$ est exactement l'ensemble des points fixes de l'élément $-1$ du groupe qui agit ; autrement dit c'est l'ensemble des points qui sont seuls dans leur orbite. Le complémentaire $G\setminus S$ est au contraire la réunion des orbites de cardinal $2$, de sorte qu'il est pair. Si $|G|$ et $|G\setminus S|$ sont pairs, cela entraîne que $|S|$ est pair. Pour la question c, constate que le neutre de $G$ est dans $S$ ; il y a donc au moins un autre élément que lui dans $S$, qui est un élément d'ordre $2$.
    Bonsoir
    Je n'arrive pas à comprendre, ça va un peu vite pour moi. Pourriez-vous être un peu plus explicite ?
  • NicoLeProf
    Modifié (July 2023)
    Si je comprends bien, ce que Math Coss veut dire est que comme $\{ \pm 1\}$ opère sur $G$, pour tout $g \in G$, $Orb(g)=\{\varepsilon . g | \varepsilon \in \{\pm 1\} \} \subset G$.
    Pour tout $g \in G$, $Orb(g)=\{g^{\varepsilon} | \varepsilon \in \{\pm 1\} \} = \{g ; g^{-1}\}$ . Donc chaque orbite (ie l'orbite de chaque élément de $G$) est ou bien de cardinal $1$ si $g$ est son propre inverse (ie si $g$ est d'ordre $2$) ou bien de cardinal $2$ si $g$ n'est pas son propre inverse (pas d'ordre $2$) .
    Or, $S=\{x \in G | x^2=1 \}$ donc $S$ est exactement l'ensemble des éléments de $G$ qui sont leur propre inverse donc l'ensemble des éléments d'ordre $2$ de $G$. Ainsi, $S$ est la réunion des orbites de cardinal $1$ tandis que son complémentaire $G \setminus S$ est la réunion des orbites de cardinal $2$ . (En effet, le complémentaire de $S$ dans $G$  noté $G\setminus S$ est l'ensemble des éléments de $G$ qui ne sont pas d'ordre $2$ donc qui sont seuls dans leur orbite comme on l'a vu avant).
    Le fait que $G \setminus S$ soit la réunion des orbites de cardinal $2$ (orbites deux à deux disjointes d'ailleurs) nous permet d'affirmer que $Card(G \setminus S)$ est pair. De plus, $Card(G)$ est pair par hypothèse.
    Ainsi, comme $G=S \cup G \setminus S$ et cette réunion est disjointe, on a: $Card(G)=Card(S) + Card(G \setminus S)$ donc $Card(S)=Card(G)-Card(G \setminus S)$ ainsi, $Card(S)$ est pair en tant que différence de deux entiers pairs.
    C'est plus clair @un_kiwi ?
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Bonjour,

    C'est plus clair, merci ! Cependant j'ai un blocage ici
    NicoLeProf a dit :
    Or, $S=\{x \in G | x^2=1 \}$ donc $S$ est exactement l'ensemble des éléments de $G$ qui sont leur propre inverse donc l'ensemble des éléments d'ordre $2$ de $G$.

    $S$ contient trivialement $1$ donc ce n'est pas exactement l'ensemble des éléments d'ordre deux.

    Par contre, je ne comprends toujours pas comment en déduire l'existence d'un élément d'ordre $2$ dans $G$.
  • Tu as tout à fait raison @un_kiwi, j'aurais dû préciser que $S$ contient aussi l'élément neutre de $G$. L'ensemble $S$ contient donc tous les éléments de $G$ qui sont leur propre inverse (donc l'ensemble des éléments d'ordre $2$ de $G$) et aussi l'élément neutre de $G$.
    un_kiwi a dit :
    Par contre, je ne comprends toujours pas comment en déduire l'existence d'un élément d'ordre $2$ dans $G$.
    Ok, faut voir la petite astuce mais c'est très simple : on vient de montrer que $S$ est de cardial pair grâce à Math Coss et à l'explication que je t'ai fournie ci-dessus. Or, $S$ contient trivialement l'élément neutre de $G$ comme tu l'as justement remarqué ! Donc $S$ est au moins de cardinal $2$ et ainsi, il contient un élément de $G$ (noté $x$) autre que le neutre. Cet élément de $G$ vérifie $x^2=1_G$ puisqu'il est dans $S$ donc il est d'ordre $2$. Ainsi, $G$ possède bien au moins un élément d'ordre $2$.
    Notre cher Gebrane le 😄 farceur
  • Je traduits avec des mots. On fait des paquets dans le groupe en mettant ensemble un élément et son inverse. Il y a des paquets d'un seul élément : le neutre et les éléments d'ordre deux ; les autres paquets contiennent deux éléments. Il y a un nombre pair d'éléments ; on en retire tous ceux qui sont dans un paquet de deux (les éléments d'ordre $\ne1,2$) ; il reste donc un nombre pair d'éléments. Dans ce nombre pair il y a un unique neutre et donc au moins un autre paquet d'un élément pour restaurer la parité, i.e. au moins un élément d'ordre deux.
    Vers la formalisation : paquet = classe d'équivalence. Quelle relation d'équivalence ? « Être dans la même orbite  », c'est-à-dire « être dans la même orbite pour l'action du groupe à deux éléments qui envoie un élément sur son inverse » ($\epsilon\in\{-1,1\}$ opère sur $g\in G$ par $\epsilon\cdot g=g^\epsilon$).
  • Je vous remercie pour votre aide !
  • Math Coss
    Modifié (July 2023)
    La clé de l'argument est amusante : un nombre impair n'est pas nul. C'est ce qui permet une « démonstration en une ligne » du fait que tout nombre premier congru à $1$ modulo $4$ est somme de deux carrés.
    On retrouve la même clé dans nombre de démonstrations classiques des lemme de Cauchy et théorèmes de Sylow : un nombre congru à $p\pm1$ modulo $p$ n'est pas nul.
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