Résoudre une équation avec 3 variables

Mar0wwa
Modifié (July 2023) dans Analyse
Bonjour, je ne trouve pas des idées pour résoudre l'équation
1/x. + .1/y.  = 1/z
Sachant que x , y et z sont dans N.
Vos aides  :/.
Merci infiniment .

Réponses

  • En posant : 
    $x=n \\
    y=k\ n \\ 
    z=p\ n$
    avec $n,\ p,\ k ≠ 0$
    On obtient : 
    $n+kn=\frac{k\ n^2}{p\ n}$
    $1+k=\frac{k}{p} \\
    p+pk=k \\
    k=-\frac{p}{p-1}$
    D'où, $p=2; k=-2$ et les seules solutions sur $\mathbb{Z}$ sont donc :  
    $S=\{x, y, z\}=\{n, -2n, 2n\}$ avec $n\ \in\ \mathbb{Z}$.

  • Bibix
    Modifié (July 2023)
    Bonjour,
    L'équation revient à chercher $x y = (x+y)z$. On a $x y = (x+y)z \Longleftrightarrow (x-z)(y-z) = z^2$. On pose $z = \prod_{k=1}^n p_i^{\alpha_i}$ la décomposition en nombres premiers de $z$, alors $p_1^{2 \alpha_1}$ divise $(x - z)(y-z)$ donc on peut supposer par symétrie que $z-x=p_1^{2 \alpha_1 - \delta_1} k$ avec $k$ entier et $z-y = p_1^{\delta_1} q$. On en déduit $q k = m^2$ avec $z = p_1^{\alpha_1} m$. Et après rebelotte, on a $m = {p_2}^{\alpha_2} m'$, on en déduit que ${p_1}^{2 \alpha_2-\delta_2} \mid k$ et ${p_2}^{\delta_2} \mid z - y$, etc... . Finalement,on voit que certaines solutions de ton problème sont $x = z + \prod_{j=1}^n {p_j}^{2 \alpha_j - \delta_j}, y = z + \prod_{j=1}^n {p_j}^{ \delta_j}, z = \prod_{j = 1}^n {p_j}^{\alpha_j}$ avec $\delta_j \in \{0,1,..., 2 \alpha_j\}$ à choisir librement pour chaque $1 \leq j \leq n$. Il y en a d'autres.
  • Il y a un problème, turboLanding, les solutions devraient être symétriques en $x$ et $y$. 
    Le début où on pose $x=n$ puis $y=kn$ est étonnant aussi : est-on certain que $y$ est multiple de $x$ ?
  • LOU16
    Modifié (July 2023)
    Bonjour MarOwwa,
    Désolé pour ce son de cloche discordant qui, je l'espère, n'introduira pas de confusion supplémentaire.
     Soient $x,y,z\in\N^* $ tels que $\:xy =z(x+y).\quad$ Notons : $\:\:k =x\wedge y,\:\:x=kr,\:\:y=ks,\:\:r\wedge s =1.\quad$ Alors:$\:\:z(r+s) =krs.$
    $kr^2=(r+s)(kr-z),\:\:r+s \text{ divise }kr^2.\:\: $De même: $\:\:r+s \text { divise } ks^2\: $ et avec $\:\:r^2\wedge s^2 =1,\: $ on obtient : $\:r+s \text { divise }k.$
    $k =t(r+s),\:\:x=rt(r+s),\:\:y=st(r+s), \:\: z=rst.$
    $$\boxed{\forall x,y,z, \in\N^*, \:\:\dfrac 1x +\dfrac 1y =\dfrac1z \iff \exists r,s,t \in \N^*,\:\:x=rt(r+s),\:y=st(r+s),\:z =rst.}$$

  • [Utilisateur supprimé]
    Modifié (July 2023)
    Exact @Dom, il manque (beaucoup) des cas. Sinon on peut dire que j'ai raisonné sans perte de généralité avec $x \gt y$, mais ça reste incomplet (en plus, on est sur $\mathbb{N^*}$ et non $\mathbb{Z^*}$).
  • Mar0wwa
    Modifié (July 2023)
    [Inutile de recopier l’antépénultième message. Un lien suffit. AD]
    Merci beaucoup beaucoup 

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