Ensemble quasi-connexe

Joaopa

Bonjour à tous.

Soit $p$ un nombre premier. On dit qu'un sous-ensemble $S$ de $\mathbb C_p$ est quasi-connexe s'il admet au moins deux éléments et si pour tout $a,b\in S$ l'ensemble des cercles $\mathscr C$ de centre $a$ et de rayon $r\in[0,|a-b|_p]$ tel que $\mathscr C\cap\complement_{\mathbb C_p}S\ne\emptyset$ est fini.

Ça c'est pour la théorie. La pratique maintenant: dans un article de Krasner (l'inventeur des quasi-connexes), il est écrit: "Exemple: l'ensemble $\{x\in\mathbb C_p\mid |x|_p<1\}\setminus\{p^{1/n}\mid n\in\mathbb N\}$ est quasi-connexe"

Bon je n'arrive à le montrer et je me demande même si cela n'est pas faux.
Je sais quand même montrer qu'il admet au moins deux éléments      

Quelqu'un a t-il une idée pour montrer l'affirmation ou son contraire ? Merci d'avance.

Calli

Bonjour,
Soient $a,b\in S$. On a $\overline{B}(a,|a-b|_p)\subset \overline{B}(0,\max(|a|_p,|b|_p))$ et $\max(|a|_p,|b|_p) <1$, tandis que $|p^{1/n}|_p =|p|_p^{1/n}\to 1$. Donc $\overline{B}(a,|a-b|_p)$ ne contient qu'un nombre fini de points $p^{1/n}$.

Joaopa

Merci pour la réponse Calli. Mais avec ton indication, je ne vois pas pourquoi l'ensemble des cercles lui est fini.

Calli

Soit $E = \{\mathscr{C}(a,r) \mid r\in[0,|b-a|_p],\; \mathscr{C}(a,r)\cap\complement S\ne\varnothing\}$. Alors $x\mapsto \mathscr{C}(a,|x-a|_p) $ est une surjection de l'ensemble fini $\overline{B}(a,|b-a|_p)\cap\{p^{1/n}\mid n\in\Bbb N^*\}$ vers $E$. Donc $E$ est fini.

Édit : $|x|_p$ corrigé en $|x-a|_p$. 

Joaopa

Merci, c'est très clair.