Interrogation surprise

samok
Modifié (June 2023) dans Fondements et Logique
Merci de répondre par vrai, ou, faux, à chacune de ces questions :
Merci de ne pas justifier vos réponses.
  1. La théorie des ensembles se fonde sur une seule relation binaire : $\ldots \in \ldots$.
  2. La théorie des ensembles avec l'axiomatique dite de ZFC permet d'écrire toutes les mathématiques écrites avant 1940.
  3. Le langage des catégories a été écrit après 1940.
  4. Le langage des catégories est des mathématiques.
  5. Le groupe Bourbaki a cessé de légiférer les mathématiques une fois le langage des catégories découvert.
  6. Les modérateurs sont ouverts ou rouge.
Big bisous :)

Réponses

  • Ne pas justifier ou apporter de la nuance aux propos est terrible...
    1. Faux (bon, en vrai, ça dépend, mais pas celle vue dans mes cours)
    2. Faux
    3. Vrai ?
    4. Vrai
    5. Faux ?
    6. Aucune idée
  • Foys
    Modifié (June 2023)
    Je traite 1°) à part.

    1°) Vrai (au sens où il est possible de le faire).

     NB et exo: soit $\sigma$ la signature constituée du seul symbole de relation binaire $R$ (sans égalité); on abrège par $x \equiv y$ l'énoncé de $\sigma$ suivant: $\forall z (R(z,x) \Leftrightarrow R(z,y))$. Soit $D:= \forall x \forall y(x\equiv y \Rightarrow (\forall z (R(x,z) \Leftrightarrow R(y,z))))$ ($(\dagger)$ avec $z$ choisi différent de $x$ et de $y$)Alors:
     (i) sous l'hypothèse $D$, $\equiv$ satisfait la propriété de Leibniz: pour toute liste de lettres $\ell:= (a_1,...,a_n)$, pour toutes lettres $x_1,...,x_n,y_1,...,y_n$ et tout énoncé $P$ de $\sigma$ (i.e. dont $R$ est le seul symbole non logique) dont toutes les variables libres appartiennent à $\ell$, $D \Rightarrow (x_1 \equiv y_1 \wedge x_2 \equiv y_2 \wedge ... \wedge x_n \equiv y_n) \Rightarrow (P [a_1:= x_1, ..., a_n := x_n] \Leftrightarrow P[a_1:= y_1, ..., a_n := y_n])$ est un théorème de logique du premier ordre (sans autres hypothèses; preuve par induction immédiate sur la taille de $P$. En particulier $D \Rightarrow x \equiv y \Rightarrow Q[a:= x] \Leftrightarrow Q[a:= y]$ est un théorème pour tous $Q,a,x,y$).
    (ii) On considère la signature $\tau:= (R,=)$ où $=$ est le symbole d'égalité avec ses règles d'emploi usuelles. On note $E$ l'énoncé de $\tau$ suivant: $\forall x \forall y, x \equiv y \Rightarrow x = y$ (cet énoncé s'appele l' "axiome d'extensionnalité").
    Pour tout énoncé $F$ de $\tau$ on désigne par $F^*$ l'énoncé de $\sigma$ obtenu en remplaçant partout $=$ par $\equiv$ dans $F$ (en respectant $(\dagger)$ ci-dessus bien sûr). Alors
    (a) $F \Leftrightarrow F^*$ est un théorème sous l'hypothèse $E$ dans la signature $\tau$
    (b) $F$ est un théorème sous $E$ (dans la signature $\tau$) si et seulement si $F^*$ est un théorème sous l'hypothèse $D$ (dans la signature $\sigma$) (le sens direct se prouve par récurrence sur la longueur de la preuve; l'autre est un corollaire de (a)).

    Ces résultats montrent que dans les théories des ensembles usuelles (presque toutes satisfont l'axiome d'extensionnalité, à part des ovnis comme la "théorie des ensembles minimale avec adjonction" présentée je crois dans un travail d'Edward Nelson), le symbole d'égalité est éliminable (définissable avec les autres outils à disposition). On remplace la théorie $(E, F_1,F_2,F_3, ...)$  par $(D, F_1^*, F_2^*, F_3^*)$ et on démontre exactement les mêmes théorèmes après traduction.

    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • 2°) Vrai (et même après en travaillant dans $V_{\alpha}$ à la place de l'univers ambiant, en ajustant l'ordinal $\alpha$ et en exploitant le schéma de réflexion. Voir aussi la "théorie des ensembles de Solomon Feferman"). Par exemple et contrairement à une idée reçue, le dernier théorème de Fermat est prouvable dans ZFC (il y a un fil stackexchange qui en parle).
    Ce genre de solution est considéré comme inélégant par la plupart des mathématiciens (car pas du tout "dans l'esprit" de la théorie des catégories).

    Sinon il y a la solution brutale de La théorie de Tarski-Grothendieck (qui est une théorie des ensembles, en fait équivalente à quelque chose comme ZFC+ il existe des cardinaux inaccessibles).

    D'autre part ce n'est pas parce que la théorie des ensembles permet de tout faire qu'elle est indispensable (cf par exemple le projet "reverse mathematics" initié par Harvey Friedman et Steven G. Simpson)

    3°) peut-être; Je ne suis pas sûr.

    4°) Vrai.

    5°) Le groupe Bourbaki n'a pas "légiféré" sur les mathématiques. Il a proposé une fondation efficace des mathématiques sans cercle vicieux adoptée volontairement par une grande partie de la communauté mathématique. La version la plus récente du premier livre "théorie des ensembles" date de 1970 (le texte a dû subir des remaniements).
    D'autre part Samuel Eilenberg (un des inventeurs et pionniers des catégories) a été membre de Bourbaki.

    6°) Ca c'est à eux de répondre!
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Thierry Poma
    Modifié (June 2023)
    @Foys : il est à noter que le chapitre IV sur les structures a été revu et corrigé par Samuel Eilenberg, avec une intervention de Pierre Samuel sur les applications universelles.
    Les catégories, qui ressortissent à la métamathématique, font leur apparition dans leur livre Topologie algébrique.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • En lisant son titre, je pensais que ce fil allait causer du paradoxe de l’interro surprise.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • Thierry Poma a dit :
    Les catégories, qui ressortissent à la métamathématique, font leur apparition dans leur livre Topologie algébrique.

    Je viens de vérifier: dans le Topologie algébrique de Bourbaki, toutes les catégories sont petites (i.e. sont des ensembles, cas particulier de ce qu'ils appellent des "carquois").
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • @Foys : tout à fait, ce qui est largement suffisant pour faire de la topologie algébrique. Le lien entre le chapitre IV des structures et les carquois est visible.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • @nicolas.patrois  : j'ai eu exactement la même réaction que toi !
  • @nicolas.patrois
    C'est quoi le paradoxe de l'interro surprise ?
  • Bonsoir,
    Le même que le paradoxe du condamné à mort.
  • Jaymz a dit :
    C'est quoi le paradoxe de l'interro surprise ?
    Il n’y a pas d’interro surprise.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • samok
    Modifié (June 2023)
    Pour votre information, cette interrogation surprise fait suite à une de mes lectures mathématiques en cours.
    L'auteur Jean Merker dans le livre Du trinôme du second degré à la théorie de Galois explique du mieux qu'il peut : avant la formalisation il y a des idées.
    Je n'ai jamais capté ces idées sur la théorie de Galois dans les ouvrages disons universitaires, scolaires ni dans la VO des écrits de Galois que j'ai pu lire.
    Merci
    - Foys de t'être affranchi de ma consigne,
    - Heuristique d'avoir essayé de ne pas t'en affranchir,
    - Thierry Poma pour tes précisions et ta lecture emplie d'attention.
    La bise :)
  • Samok, quel est le but de ta question 6
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • Domi
    Modifié (June 2023)
    Pour la 6 je dirais qu'il peuvent parfois être oranges.
    Domi
  • samok
    Modifié (June 2023)
    Mireille, tu peux me rappeler ?
    Mireille ! Tu peux me rappeler la question 6 ?!
    :)
  • Sato
    Modifié (June 2023)
    C'est quoi le paradoxe de l'interro surprise ?
    Un communiste grand bourgeois ?

  • gebrane
    Modifié (June 2023)
    samok a dit :
    Mireille, tu peux me rappeler ?
    Samok
    On ne finira pas la partie ensemble. Et chacun s'en va seul de son côté
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • samok
    Modifié (July 2023)
    ce ne sera pas facile de te quitter mais il y a :
    1 . Respect
    2.  Amour
    3.  Obéissance
    4.  Empathie
    encore une foi
    faire chanter
    la voie de la liberté
    je noue ma voile
    encore une fois
    pour trouver le courage
    même si c'est tentant
    même si tu entends
    balance ton corps,
    balance ton port.
    Je ne peux plus me passer d'ailes
    Big bisous Tonton Gebrane
    :)
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