Convergence d’une suite
Bonjour ,
je n’arrive pas à montrer que cette suite est convergente, j’ai prouvé facilement que 1<=u(n)<=2, mais cela ne m’a pas encore aidé. Merci d’avance.
Rq: si elle est convergente alors sa limite est le carré de la solution réelle de l’équation:x^5-x^3-1=0
je n’arrive pas à montrer que cette suite est convergente, j’ai prouvé facilement que 1<=u(n)<=2, mais cela ne m’a pas encore aidé. Merci d’avance.
Rq: si elle est convergente alors sa limite est le carré de la solution réelle de l’équation:x^5-x^3-1=0
U1=u2=1,
U(n)=1+(1/u(n-1)sqrt(u(n-2))) .
U(n)=1+(1/u(n-1)sqrt(u(n-2))) .
Réponses
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Les parenthèses autour d'une fraction ne servent à rien. En revanche, ce qui est écrit, c'est \[u_n=1+\frac1{u_{n-1}}\sqrt{u_{n-2}}.\] Tu voulais sans doute écrire U(n)=1+1/(u(n-1)sqrt(u(n-2))), c'est-à-dire \[u_n=1+\frac1{u_{n-1}\sqrt{u_{n-2}}}.\]Après cette remarque utile, je ne peux que confirmer ton intuition – elle converge – et ta conclusion sur la valeur – c'est le carré de la racine de $x^5-x^3-1$. Voici les premières valeurs.
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Tout à fait, il s’agit bien de la deuxième expression, merci pour votre confirmation de la limite.Y a-t-il alors une idée pour montrer sa convergence.
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Soit l la limite en question (on a trouvé cette valeur, même si on ne sait pas donner une formule explicite)
Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_n = u_n-l$
Est-ce qu'on arrive à démontrer que cette suite est 'plus rapidement convergente' qu'une suite géométrique , par exemple ?
Je ne sais pas du tout si la piste fonctionne, c'est ce que je tenterais pour voir, faute de mieux.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
En utilisant la fonction de deux variables $f:(x,y)\mapsto 1+\frac{1}{x\sqrt{y}}$, j'arrive à prouver dans l'ordre :
- À partir du rang $3$, $u_n$ est compris entre $5/4$ et $7/4$.
- Il existe une constante $a$ dans $]0,1[$, à savoir $a=(4/5)^3$, telle que $\forall n\geq 4, |u_{n+1}-u_n|\leq a\left(|u_n-u_{n-1}|+\frac{1}{2} |u_{n-1}-u_{n-2}|\right)$.
- La série de terme général $|u_n-u_{n-1}|$ est convergente, puis la suite $u$ converge, vers une limite $\ell>1$.
- Cette limite $\ell$ est solution de $\ell=f(\ell,\ell)$ donc vérifie $\ell^5-2\ell^4+\ell^3-1=0$.
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Votre piste de résolution semble parfaite, je vais essayer tout de même de la comprendre en détail. Merci beaucoup.
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Je confesse une erreur de calcul dans la valeur de $a$, valant en fait $(4/5)^{5/2}$, mais ça ne change rien.
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S’il vous plait, j’ai trouvé le (4/5)^(5/2) dans mes calculs, mais par contre je n’ai pas trouvé le 1/2 à côté de |u(n-1)-u(n-2)| , et je ne vois pas aussi pourquoi la série est convergente. Merci de votre aide.
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Fixons $n\geq 5$ et considérons $g:t\in[0,1]\mapsto f(t(u_n,u_{n-1})+(1-t)(u_{n-1},u_{n-2}))$.Alors $g$ est de classe $C^1$ sur $[0,1]$ et \[\forall t\in [0,1], g'(t)=(u_n-u_{n-1})\frac{\partial f}{\partial x}(t(u_n,u_{n-1})+(1-t)(u_{n-1},u_{n-2}))+(u_{n-1}-u_{n-2})\frac{\partial f}{\partial y}(t(u_n,u_{n-1})+(1-t)(u_{n-1},u_{n-2}))\]Ainsi, si on note $K=[5/4,7/4]^2$, on a : \[\|g'\|_{\infty,[0,1]} \leq |u_n-u_{n-1}|\left\|\frac{\partial f}{\partial x}\right\|_{\infty,K}+|u_{n-1}-u_{n-2}|\left\|\frac{\partial f}{\partial y}\right\|_{\infty,K}\]Si on pose $a=(4/5)^{5/2}$, on remarque (avec ce qui a été prouvé par récurrence à mon point 1) que $\left\|\frac{\partial f}{\partial x}\right\|_{\infty,K}\leq a$ et que $\left\|\frac{\partial f}{\partial y}\right\|_{\infty,K}\leq \frac{a}{2}$ donc on peut conclure avec l'inégalité des accroissements finis que : \[|u_{n+1}-u_n|=|g(1)-g(0)|\leq \|g'\|_{\infty,[0,1]}\leq a|u_n-u_{n-1}|+\frac{a}{2}|u_{n-1}-u_{n-2}|\]Ensuite, posons $v_n=|u_n-u_{n-1}|$ pour tout $n\geq 2$. Alors on vient de prouver que $\forall n\geq 5, v_{n+1}\leq av_n+\frac{a}{2}v_{n-1}$.On montre alors (par exemple par récurrence, mais ce n'est pas la seule option) qu'il existe deux constantes réelles positives $A$ et $B$ telles que $\forall n\geq 5, v_n\leq A|\lambda|^n+B|\mu|^n$ où $\lambda$ et $\mu$ sont les deux racines du polynôme $X^2-aX-a/2$, qui sont toutes les deux dans $]-1,1[$.Par comparaison directe de séries à termes positifs, on en déduit que la série $\displaystyle \sum_{n\geq 1} (u_{n+1}-u_n)$ est absolument convergente et donc que la suite $u$ converge.
Je crois n'avoir rien oublié.
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Joli !
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En fait, ce n'est qu'une application du théorème du point fixe de Banach-Picard, si on prend la bonne fonction et la bonne métrique.
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On a le droit de trouver joli le théorème de point fixe de Picard et ses applications tout de même
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Merci beaucoup pour cette explication détaillée, je comprends mieux maintenant.je viens de ma part de trouver le (1/2) qui s’est perdu à côté de |u(n-1)-u(n-2)| , je n’ai pas eu recours à la fonction, j’ai juste fait des manipulations et encadrements dans u(n+1)-u(n) , mais en utilisant le fait que u(n)>= 5/4 .L’utilisation du théorème du point fixe reste plus sophistiquée bien sûr.
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Sauf erreur, si $\lambda$ est la racine négative du polynôme $X^2-aX-a/2$ évoqué plus haut et $\mu$ l'autre racine, alors la norme $(x,y)\mapsto |x|-\lambda |y|$ fait de ta fonction une fonction $\mu$-lipschitzienne sur $K$, par le même calcul que ci-dessus, ce qui permet de conclure.
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Merci.
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