Argument diagonal et Q

jm14d

Bonjour, je souhaiterais comprendre plus précisément pourquoi l'argument diagonal de Cantor, tel qu'utilisé pour démontrer que R n'est pas dénombrable, échouera assurément pour Q.

Je sens bien que c'est en rapport avec l'écriture décimale des rationnels : soit un nombre fini de décimales, soit un cycle qui se répète à partir de la nième décimale.

Mais je n'arrive pas à le démontrer proprement. Alors j'ai cherché ce qui était dit dans le cas de R et je n'ai pas trouvé. "On choisit un nombre tel que... etc..."' mais il n'est pas dit pourquoi on réussit à choisir un tel nombre (ou sinon : pourquoi on ne peut pas choisir un tel nombre dans le cas de Q)

Help

Math Coss

C'est plutôt que la suite de décimales ainsi construite n'a aucune raison d'être périodique à partir d'un certain rang, de sorte qu'elle ne définit pas un rationnel qui ne serait pas dans la liste. L'existence d'une bijection montre a contrario qu'elle (la suite de décimales) ne l'est pas (ultimement périodique).

Médiat_Suprème

L'application de l'argument diagonal indique que le nombre obtenu n'est pas dans la liste initiale, donc n'est pas un rationnel.

Pour toucher du doigt ce "fait" on peut se demander si ce nombre pourrait, à partir d'un certain rang, disons $n$, n'avoir que des 4, il faudrait donc qu'à partir de ce rang (fini) tous les nombres de la liste aient un 3 à la bonne position, or, il existe un nombre dénombrable de rationnels n'ayant aucun 3 dans leurs décimales, et ils ne peuvent pas être tous dans la partie avant $n$, il y en a forcément après, et donc, le nombre obtenu ne peut avoir que 4 à partir de $n$.
Il est facile de voir que raisonnement peut s'appliquer à toutes périodes.

jm14d

Merci à vous deux !  ça m'aide en effet à toucher du doigt le phénomène ; c'est un peu dommage qu'on n'évoque pas ce point dans les démos que j'ai lues (à commencer par la page wikipedia sur l'argument diagonal). Bonne journée !

Dom

Une méthode constructive serait de proposer un ordre des rationnels afin que le nombre diagonal soit par exemple 0,1234567891011121314…
le nombre concaténation des entiers. 

Je ne sais pas si c’est facile. 

Dom

Sur l’argument diagonal, un autre fil en parle beaucoup. Des intervenants proposent exactement ce que tu demandent : le lemme qui dit que le nombre diagonal n’est jamais dans la liste. 

Et c’est fait dans des ensembles plus généraux que les réels. 

Médiat_Suprème

Pour la constante de Champernowne (en base 10) on peut choisir une bijection de $\mathbb N$ dans $\mathbb Q$, ce qui induit un bon ordre sur $\mathbb Q$, à chaque étape, on prend le plus petit (au sens de l'ordre induit) des nombres non encore utilisés (il n'y en a qu'un nombre fini d'utilisés) qui ont la bonne décimale à ce rang, pour montrer qu'il y en a voir l'argument de mon message précédent.

jm14d

clair !   je vais réfléchir à un possible petit encadré dans la page wikipedia... si ça avance je le proposerai ici avant.