Études en licence de maths

Paul-AC

Bonjour.

Dom

Bonjour,
BRAVO pour ce courage, cette volonté 😀

Tu pourras aussi poster des productions ici. Parfois ça se chamaille, parfois ça propose des solutions d’un niveau trop pointu, mais ce forum est une mine d’or. Je te souhaite de trouver cette personne mais en attendant, sache qu’ici tu auras des réponses et parfois très rapidement. Pense à préciser le niveau dans tes nouveaux fils créés.
À très vite. 
Cordialement
Dom

jelobreuil

Bonjour, Paul
Bienvenue sur ce forum, et je t'applaudis moi aussi d'avoir ce courage et cette envie de reprendre des études poussées !
Je ne puis te servir de référent, n'étant qu'un amateur de géométrie à l'ancienne, mais je te prodigue tous mes encouragements à poursuivre dans cette voie !
Bien cordialement, JLB

JLapin

Bravo pour cette motivation. Je veux bien servir de référent financier et m'engager à recevoir 1000 euros de ta part si jamais tu échoues

Plaisanteries mises à part, je souscris au message de Dom.

Paul-AC

Merci pour vos sympathiques messages !

Vassillia

Bonjour Paul-AC,

Le forum entier peut être ton référent, il suffit que tu t'engages à nous publier, disons chaque mois ou chaque semaine, un bilan de tes avancées.

Histoire de partir sur de bonnes bases avant d'entrer en licence, tu peux travailler le chapitre I "outils et techniques de base" de ce poly https://cpge-paradise.com/pdf2/Poly_transition_Tosel.PDF

Évidemment tu peux te rendre dans les autres sections du forum pour poser des questions si certains des exercices présentés te posent problème et te semblent trop difficiles.

Nous attendons donc avec impatience ton prochain bilan, je te le demanderai, au plus tard, sur ce fil, dans un mois si tu acceptes le principe. Je sais, je suis très directive, déformation professionnelle oblige, mais il me semble que c'est un petit peu ce que tu recherches.

Paul-AC

...

Vassillia

Adjugé alors, je pense que ce fil sera très bien pour nous tenir au courant de tes avancées.
Bonne lecture de ce poly, je n'oublierai pas de te demander des nouvelles comme promis.

Erdos

Vassillia a dit :

[...] Histoire de partir sur de bonnes bases avant d'entrer en licence, tu peux travailler le chapitre I "outils et techniques de base" de ce poly https://cpge-paradise.com/pdf2/Poly_transition_Tosel.PDF

Évidemment tu peux te rendre dans les autres sections du forum pour poser des questions si certains des exercices présentés te posent problème et te semblent trop difficiles.

A noter qu'il existe une correction de ce poly : https://cpge-paradise.com/pdf2/Exos_Tosel_correction.pdf

Paul-AC

@Erdos : Merci pour ce document !

Paul-AC

...

Dom

Bonjour,

une remarque : les écritures en pointillés sont parfois utilisées dans les sujets. Dans ce cas on peut alors les utiliser dans les copies. Peut-être faut-il s’entraîner à récrire les preuves sans les pointillés, ici avec le symbole $\Sigma$. 

Pour l’exercice 1 : 
il manque la conclusion dans la rédaction qui est cependant très claire. 

Tu as rédigé : 
initialisation : p(1)
hérédité : pour tout n, si p(n) alors p(n+1)
de mon point de vue il manque la phrase : 
DONC pour tout n, p(n). 

Peut-être n’est-ce qu’un détail, j’invite d’autres intervenants à se prononcer sur cette conclusion qui, je pense, manque (même si on sait tous que ce qui est fait est l’essentiel du travail). 

Je n’ai pas regardé la suite. 

Paul-AC

@Dom : merci ++ pour ces remarques, j'en prends bonne note pour les exos suivants 

JLapin

Ca semble très bien (je n'ai pas lu en détail). Simplement, parfois tu oublies de présenter tes lettres. Par exemple, à la page 2, dans ton initialisation, se trouve un $x$ qui n'a pas été présenté.

Note que dans cet exercice, tu peux choisir de fixer $x$ une bonne fois pour toute au tout début (et donc de simplifier l'énoncé de ton prédicat) ou de le fixer à chaque fois que tu veux démontrer ta propriété si ton prédicat concerne "tous les réels $x$".

Paul-AC

@JLapin : merci beaucoup, j'en tiendrai compte pour la suite.

philou22

@Paul-AC Qu’est-ce qui vous a tenu éloigné du plaisir d’étudier les mathématiques pendant aussi longtemps ? Vous semblez très motivé par la performance, l’étude des mathématiques est avant tout un plaisir ! Cependant il est vrai qu’en étudiant à plusieurs on apprend plus vite.

omega

Peut-être n’est-ce qu’un détail, j’invite d’autres intervenants à se prononcer sur cette conclusion qui, je pense,

Pour moi, c'est bien tel quel et la phrase que suggère @dom ne manque pas. Si c'est moi qui corrigeais, je mettrais tous les points. Ce qui est important ici, c'est que Paul a annoncé d'emblée faire un raisonnement par récurrence. De même que si je dis "montrons le résultat par contraposée" et qu'ensuite je montre que non B => non A, je conclus sur la fin de la preuve de non B => non A ; je n'ajoute pas une phrase finale comme "donc A=>B".
Si Paul n'avait pas dit "Montrons par récurrence", alors j'aurais attendu une phrase comme "Donc, par le principe de récurrence, pour tout $n$, $p(n)$", de même que dans le cas de la contraposée, si je n'annonce pas au départ que je fais une contraposée, je termine par : "donc par contraposée A=>B".
Mais bon, je rebondis sur la suggestion de dom de donner son opinion ; je ne prétends pas détenir LA bonne manière de rédiger. La qualité de rédaction d'une preuve, quoi qu'on en dise, est très subjective. Et en maths aussi, le style existe. Et en matière de style, les goûts et les couleurs..

philou22

La démonstration par récurrence consiste à définir explicitement une application de l’ensemble des entiers naturels dans l’ensemble {vrai, faux}, puis à vérifier que l’image de 0 est vrai, et que si l’image d’un entier (quelconque) est vrai alors, celle de son successeur est vrai (aussi). On en déduit que l’image de tout entier naturel est vrai par axiome. En matière de rédaction il y a des erreurs classiques qui laissent supposer l’absence de compréhension du principe.
Formellement,
$n \in \mathbb{N} \mapsto P_n \in \{0,1\}$.
$(P_0=1$ et $(\forall n \in \mathbb{N}, P_n=1 \Rightarrow P_{n+1}=1) )\Rightarrow \forall n \in \mathbb{N}, P_n=1$

Paul-AC

Merci pour toutes ces remarques ! 

Paul-AC

Bonjour

Je sèche sur la partie b) de l'exercice ci-dessous.

Montrer que : $\quad A = \mathbb{N^{*}}$
revient à montrer que, à la fois, on a : $A \subset \mathbb{N^{*}}$ ET $\mathbb{N^{*}} \subset A$.

La première est évidente puisque donnée dans la définition. Par contre, bien qu'ayant compris pourquoi l'on avait bien la 2ème inclusion, je ne parviens pas à la formaliser.
Merci d'avance pour votre aide.

raoul.S

Tu peux procéder ainsi : 

1) montre que pour tout $n\in A$ et pour tout $k\in [\![0,n-1]\!]$, $n-k\in A$. En gros si un entier est dans $A$ alors tous ses prédécesseurs le sont aussi.

2) conclure que $A=\N^{*}$

Paul-AC

...

Paul-AC

...

Paul-AC

...

lourrran

Une récurrence ici, c'est un peu comme utiliser un tank pour tuer une mouche.

Pour montrer une égalité entre ensembles, la démarche quasi-systématique, c'est de montrer la double inclusion.  Cette règle générale est essentielle.
$A \subset \mathbb{N}^*$ : c'est évident ; pour rassurer le type qui corrige la copie, je donnerais juste un mot-clé ( $\mathbb{N}^*$ est stable pour l'addition et la multiplication) ... hop, le type est en confiance, il sera indulgent pour le reste de la copie.
$\mathbb{N}^* \subset A$ : supposons que ce ne soit pas vrai, supposons $\mathbb{N}^*$ non inclus dans $A$ Donc il existe au moins un entier $n$ non nul, pas dans A, et je te laisse continuer.

A l'arrivée, ma démonstration est aussi lourde qu'une démo par récurrence, les arguments utilisés sont les mêmes, mais je préfère éviter le mot récurrence.

Dom

Parce que la récurrence est descendante ?
L’idée, tout le monde l’a je pense : pour n’importe quel entier N, on le dépasse par une puissance de 2 puis on descend jusqu’à N car chaque entier dans A a son prédécesseur aussi dans A. 

Du coup une preuve directe, sans même regarder la négation semble fonctionner. 

Il suffit juste de rédiger ce truc (pour tout n dans A, pour tout k<n, n-k est dans A). 

En effet pas de récurrence… sauf pour ce petit lemme peut-être ?

JLapin

Paul-AC a dit :

La question a) est évidente, par contre un doute sur la question b) : l'auriez-vous traitée avec une démo par récurrence ?

Si j'avais une correction à rédiger à destination du public auquel cet exercice s'adresse, oui certainement.

Par ailleurs, ton premier prédicat contient un $n\in \N^*$ tout à fait superflu.

bisam

On peut cacher la récurrence sous le tapis en utilisant la décomposition d'un entier en base 2 et l'algorithme de Hörner.

Pour chaque entier $n\in\N^*$, il existe un unique entier $p$ et un unique $p$-uplet $(\varepsilon_0,\dots,\varepsilon_{p-1})$ dans $\{0,1\}^p$ tel que
\[n=2^p+\sum_{k=0}^{p-1}\varepsilon_k 2^k.\]
Si on note $f_{\varepsilon}:k\mapsto 2k+\varepsilon$ pour $\varepsilon\in\{0,1\}$ alors d'après Hörner \[n=f_{\varepsilon_0}\circ\cdots\circ f_{\varepsilon_{p-1}} (1).\]
Enfin, comme $A$ est stable par $f_0$ et $f_1$ et contient $1$, $A$ contient tout entier de $\N^*$.

JLapin

La décomposition en base 2 est démontrée par récurrence, probablement bien après que ce genre d'exercice de transition terminale - supérieur a été abordé.

Dom

Il y a une sorte d’évidence. Peut-être qu’elle serait accepté, en une phrase. 

« Puisque chaque élément de $A$ est stable par prédécesseur, dés que $n$ est dans $A$, alors tous les $k<n$ sont dans $A$. »

Ce sont des choses qui posent problème parfois. Entre « évidence », paraphrase et preuve rigoureuse. 

JLapin

Mais acceptée par qui ?

C'est juste un exercice d'entrainement à la rédaction de récurrence d'un poly de transition terminale - sup. Soit on le rédige à fond (pour s'exercer aux récurrences si on débute ou pour en faire un corrigé qui aidera le public concerné si on est plus confirmé), soit on regarde l'énoncé et on constate en deux secondes qu'il est correct et que sa portée mathématique est quasi vide si on est juste un spectateur.

Dom

Oui. Je suis d’accord.