Fonction convexe

SandwichFromage

Bonjour, 

Soit $b \in \mathbb R$. J'aimerais montrer que la fonction $\displaystyle x\mapsto \int_{-1}^1 |t^2 + xt + b|\mathrm{d}t $ est convexe. 

Je vois qu'elle est paire mais pas beaucoup plus.
On aimerait beaucoup dériver sous le signe somme, mais...
Auriez-vous une indication ? 
Merci d'avance.

SandwichFromage

Je viens de penser à mettre sous forme canonique. Ça peut être de très bon goût. 

Edit : On est ramenés à $ \displaystyle y \mapsto \int_{y-1}^{y+1} | t^2 - y^2 + b |\mathrm{d}t$ ($y = x/2$), pas si terrible

john_john

Bonjour,
vu que la fonction valeur absolue satisfait l'inégalité triangulaire, on peut songer à majorer directement $F((1-a)x+ay)$ lorsque $0\leqslant a\leqslant1$.

SandwichFromage

Bonjour @john_john, merci de ta réponse. 
Cependant je ne vois pas comment majorer $ \displaystyle \int_{-1}^1 |t^2 + \lambda x t + (1-\lambda)yt + b|\mathrm dt $ astucieusement de sorte à récupérer $\lambda \displaystyle \int_{-1}^1 |t^2 + x t + b|\mathrm dt + (1-\lambda)\displaystyle \int_{-1}^1 |t^2 + y t + b|\mathrm dt$...

john_john

Re-bonjour, SandwichFromage,
commence par écrire le contenu de la valeur absolue sous la forme
\[(1-\lambda)(t^2+tx+b)+\lambda(t^2+ty+b)\]
Je n'ai pas de papier sous la main, mais cela devrait convenir !

SandwichFromage

Bien vu ! Merci !

john_john

De rien

P.2

La fonction $x\mapsto |ax+b|$ est convexe (faire un dessin). Donc $x\mapsto |a(t)x+b(t)| $est convexe. Donc $x\mapsto \int_{-1}^1|a(t)x+b(t)| dt$ est convexe.