Un exo subtil de géométrie synthétique

Yannguyen
Modifié (June 2023) dans Géométrie
Bonsoir 
ce joli exo a été résolu par john-john
À vous de jouer ! 
Cordialement.

Réponses

  • Mon cher Yann
    j_j et toi, vous me manquez tous les deux.
    Je suis un peu embêté devant ta figure car tu ne nous dis pas comment tu l'as construite c'est-à-dire dans quel ordre apparaissent les points.
    Alors je te propose la mienne mais je ne suis pas sûr que ce soit le même problème.
    J'ai changé les notations pour plus de cohérence.
    $\Gamma$ et $\Gamma'$ sont deux cercles de même rayon tangents extérieurement en $T$. $\Delta$ est leur axe radical.
    $M$ est un point quelconque de $\Gamma$ et $M'$ un point quelconque de $\Gamma'$.
    $\gamma$ est le cercle circonscrit au triangle $TMM'$.
    Alors le pôle $\Omega$ de la droite $MM'$ par rapport à $\gamma$ est situé sur la droite $\Delta$.
    Amitiés
    pappus (de plus en plus cabossé!)

  • Mon cher Yann
    Voici ma preuve.
    Je fais une (plus que défunte) inversion par rapport au cercle de diamètre $AA'$ de centre $T$ en pointillé sur ma figure.
    Soit $P$ le point où le cercle $\gamma$ recoupe $\Delta$.
    Dans l'inversion les points $M$, $M'$, $P$, $T$ se transforment en $m$, $m'$, $p$, $\infty$.
    Il est clair que $p$ est le milieu de $mm'$, donc $(m,m',p,\infty)=-1$.
    Par suite $(M,M',P,T)=-1$, une inversion conserve les birapports réels.
    Le quadrangle $(M,M',P,T)$ est harmonique
    $CQFD$.
    Amitiés
    pappus

  • john_john
    Modifié (June 2023)
    Bonjour, Pappus,
    je vois que tu n'as mis que dix-neuf minutes pour résoudre l'exo de Yannguyen :) Il m'en a fallu davantage et ma méthode fut la suivante : après l'inversion de pôle $O$ (bonjour, Polo !) stabilisant le cercle $(\Gamma)$, je constate, avec mes notations, que le cercle $(OAB)$ est orthogonal à $(\Gamma)$ ; l'égalité des angles est le cas limite de la propriété de l'arc capable intercepté par un point $M\in(OAB)$ lorsque $M=A$. À noter que j'avais interprété la figure sans paroles de Yann comme la question d'une égalité d'angles.



  • john_john
    Modifié (June 2023)
    Mon coeur saigne de ne pouvoir participer davantage aux toujours passionnants fils de Géométrie  >:) ; il faut dire que parcourir biquotidiennement tout le forum (sauf Shtam) me prend beaucoup de temps et que, en matière de Géométrie, j'arrive souvent après la bataille. Cette fois-ci, j'avais pu y réfléchir avant Pappus, Rescassol, Jelobreuil et al. et cela me laissait une chance :)
    Amitiés à tous, et merci à Yann pour cet exercice.
  • gipsyc
    Modifié (June 2023)
    Bonjour

    Si l'on complète la recherche des pôles associés aux autres cercles construits avec les points d'intersection de la droite MN avec l'un et l'autre des deux cercles congruents et tangents,
    ces 4 pôles sont tous sur l'axe radical de ces deux cercles congruents et tangents, et sont placés symétriquement par rapport au point T de tangence.

  • Jean-Louis Ayme
    Modifié (June 2023)
    Bonjour,

    en reprenant la figure de John....il y a la tangente en A que l'on peut déduire du théorème de Miquel avec B comme pivot....L'égalité angulaire suit...

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • john_john a dit :
    il faut dire que parcourir biquotidiennement tout le forum (sauf Shtam) me prend beaucoup de temps et que [...]
    C'est un acte de candidature pour un poste d'administrateur ?
  • john_john
    Modifié (June 2023)
    (...) un poste d'administrateur ?
    Si on touche des jetons de présence, oui :)

    Mais, en attendant de devenir riche, il faut que je comprenne les contributions de gipsyc et de Jean-Louis Ayme.
  • Jean-Louis Ayme
    Modifié (June 2023)
    Bonjour,
    http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/Cercles 1.pdf    Problème 12, p. 32..
    Sincèrement
    Jean-Louis
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