Démonstration en topologie

celrek19

Bonsoir à tous j’ai besoin d’aide pour cet exercice ça fait longtemps que je cherche sans aboutir 

Dom

Préalable : peux-tu écrire les définitions quantifiées de « Fr », « Adh » et « Int » dont tu disposes ?

NicoLeProf

Salut Celrek,

pour b) i), une inclusion se fait facilement. Il est "facile" de montrer généralement (sans condition supplémentaire) que : $\overline{A \cap B} \subset \overline{A} \cap \overline{B} $ . Tu peux le faire en utilisant une propriété sur les inclusions (et la définition de l'adhérence) ou simplement en considérant un élément $x$ de $\overline{A \cap B}$ et en utilisant la caractérisation séquentielle de l'adhérence à l'aide des suites.

Pour l'autre inclusion, c'est là qu'il va falloir utiliser la condition sur les frontières. Procède de la même manière en prenant $x$ dans $\overline{A} \cap \overline{B} $, comment utiliser la condition sur les frontières?

celrek19

J’ai supposé que les notations étaient universelle 
Fr(A): frontière de A
A : Adhérence de A
A° : intérieur de A 

celrek19

Oui @NicoLeProf j’ai pu faire l’inclusion dans le sens direct c’est sur le sens réciproque que je bloque.

NicoLeProf

Peux-tu me montrer ton travail celrek? Pour ta réponse à Dom, je pense qu'il connait largement les notations hahaha, il te demande seulement quelles sont les définitions que tu as vues dans ton cours pour te donner une réponse suffisamment précise !

celrek19

Je n’ai pas vraiment rédigé mais l’idée y est

NicoLeProf

Ok bon, ce n'est pas rédigé oui, il faut bien justifier les différentes étapes de ton raisonnement, dis moi si tu ne vois pas comment justifier certains points.

Pour la réciproque, en réalité, je ne suis pas sûr de mon raisonnement à $100\%$.

Je te propose de commencer de la manière suivante : soit $x \in \overline{A} \cap \overline{B}$. Alors $x \in \overline{A}$ et $x \in \overline{B}$ .

Commence par regarder ce qu'il se passe si $x \notin \mathring{A} \cap \mathring{B}$ . Est-ce possible qu'il y ait un tel $x$ en utilisant la condition sur les frontières?

Cela va te donner une condition sur $x$ et (je pense) de quoi conclure (c'est-à-dire construire une suite d'éléments de $A \cap B$ i.e une suite d'éléments de $A$ et $B$ à la fois qui converge vers $x$).

raoul.S

NicoLeProf a dit :

c'est-à-dire construire une suite d'éléments de $A \cap B$ i.e une suite d'éléments de $A$ et $B$ à la fois qui converge vers $x$.

En topologie générale les suites ne sont pas d'un grand secours d'habitude. Les bonnes propriétés que l'on a avec les distances se perdent, par exemple si $x$ est adhérent à un ensemble ça n'implique plus forcément qu'il existe une suite de cet ensemble qui converge vers $x$.

On peut procéder comme ça (je ne sais pas si c'était ton idée @NicoLeProf ) : si $x \in \overline{A} \cap \overline{B}$ alors $x\in \mathring{A} \cup \mathring{B}$ (découle du fait que $Fr(A)\cap Fr(B)=\emptyset$).

Si $x\in \mathring{A}$ conclure.
Si $x\in \mathring{B}$ conclure.

NicoLeProf

Cela m'étonnerait que l'on soit en topologie générale ici. Faut voir avec Celrek. Dans un espace métrique, la caractérisation séquentielle de l'adhérence par les suites est toujours valable. Je ne me souvenais pas que c'était aussi contraignant (en même temps, c'est logique en y réfléchissant un peu, sans distances, on perd plein de propriétés remarquables) ! En ne pratiquant plus, on oublie des choses. (Je continue l'algèbre surtout suite à l'obtention de l'agrégation : mon domaine de coeur ! ).

Oui, c'était mon idée !!! Un petit raisonnement par l'absurde et l'utilisation de l'hypothèse sur les frontières permet de prouver que $x \in \mathring{A} \cup \mathring{B}$ .

Puis, si nous sommes en topologie générale, pas grave, on conclut en supposant que $x \in \mathring{A}$ et on utilise la caractérisation de l'adhérence grâce aux voisinages (sinon les suites si, comme je le pense, on est dans un espace métrique).

Cela dit, c'est peut-être plus simple avec des voisinages. Pour celrek (bien que je ne sois pas sûr que cela fasse partie de son cours) : si $x \in \overline{A}$ alors tout voisinage de $x$ rencontre $A$.

celrek19

Merci @raoul.S j’ai compris 

raoul.S

Pour la ii) on peut raisonner directement ou remarquer que la frontière d'une partie est égale à la frontière de son complémentaire : par conséquent i) entraîne $\overline{A^c\cap B^c}=\overline{A^c}\cap \overline{B^c}$ (où le $c$ indique qu'il s'agit du complémentaire).

Puis on termine en utilisant l'égalité générale suivante : pour toute partie $W$, $(W^c)^{°}=(\overline{W})^c$, pratique car ça permet de transformer une égalité portant sur l'adhérence en une égalité portant sur l'intérieur.

[Utilisateur supprimé]

@raoul.S Pour la conclusion du i) je suis preneur de détails.

$x \in A^\circ \cap \bar{B}$ et donc?
désolé je suis rouillé…

raoul.S

@lcm1789

Pour la i) $x \in A^\circ \cap \bar{B}$, donc $A$ est un voisinage de $x$, par conséquent pour tout voisinage $V$ de $x$, $V\cap A$ contient un point de $B$ vu que $V\cap A$ est un voisinage de $x$. En particulier, $V$ contient un point de $A\cap B$. Donc $x\in \overline{A\cap B}$.

Rappel au cas où : un point $x$ est dans l'adhérence de $B$ ssi tout voisinage de $x$ intersecte $B$.

[Utilisateur supprimé]

Merci. 
Je l’avais presque, il me manquait $V \cap A$ comme voisinage.
je dormirais mieux