Équation fonctionnelle $f(n^2+1)-f(n^2)=1$

uvdose
Modifié (June 2023) dans Arithmétique
Bonjour
Je cherche à prouver que si $f:\mathbb{N}^*\longrightarrow\mathbb{C}$ est complètement multiplicative et telle que :

$\forall n\in\mathbb{N}^*,\quad f(n^2+1)-f(n^2)=1$,
alors  $\forall p\in\mathcal{P},\ (p\equiv 1\;[4] \Rightarrow f(p)=p)$  et  $(p\equiv 3\;[4] \Rightarrow f(p)=\pm p)$.

Je suis tombé sur cet article (voir théorème 2 (b2) p. 374), mais je ne suis pas vraiment convaincu par la fin de la démonstration (voir bas de la page 377).
Si une âme charitable pouvait se pencher sur la question, d'avance merci !

Réponses

  • uvdose
    Modifié (June 2023)
    Bon, apparemment, je me suis laissé troubler par des détails qu'il faut corriger dans la démonstration dans l'article :
    - en fait, dans l'hypothèse de récurrence, il faut écrire $q^2<N$ et pas $q<N$,
    - et il est inutile d'envisager la possibilité $\pi\equiv3\;[4]$.
    Sinon, je crois que ça colle. Et du coup, désolé pour le dérangement !

    (Edit) Il y a désormais un autre point que je ne comprends pas dans la démonstration (p. 377) : dans le premier cas $(N=P)$, comment être sûr qu'un facteur premier $\pi$ de $n$ tel que $\pi\equiv3\;[4]$ vérifie $\pi^2<N$ ?
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