Nombre de triangles rectangles sur un hypercube

Chaurien

Bonjour. J'ai déserté le forum depuis quelque temps car avec des copains d'active, j'ai travaillé sur les sujets d'oral 2021 des concours d’entrée aux Grandes Écoles, pour aider nos candidats de 2022. Parmi ces sujets, en voici un qui m'a bien plu.

Pour $n\in \mathbb{N}$, $n\geq 2$, dénombrer les (vrais) triangles rectangles de $\mathbb{R}^{n}$ ayant leurs trois sommets dans l'ensemble $K=\{0,1\}^{n}$.

Je ne vais pas donner ma solution détaillée, mais disons qu' on peut commencer par dénombrer ces triangles dont l'angle droit est en un point donné de $K$. Et là, surprise ! On trouve un nombre de Stirling : pourquoi ?

Bonne journée d’été...
24/06/2023

jandri

Bonjour,
un dénombrement tout simple donne une somme qui se calcule par la formule du binôme et donne un nombre de Stirling (2ème espèce) mais je ne vois pas comment trouver directement ce nombre de Stirling.

jandri

En fait c'est très simple mais un peu astucieux.
Merci à Chaurien pour avoir déniché cette perle. 

jandri

Deux autres questions que l'on peut se poser : combien de triangles isocèles, combien de triangles équilatéraux ?
Pour la première je n'obtiens pas le résultat sans calculs mais la formule se simplifie.
Pour la deuxième je ne sais pas simplifier la somme que j'obtiens (l'OEIS non plus !).