Exercice matrice polytechnique

bestM

Soit $M\in \mathcal(M)_n(\mathbb{C})$. Déterminer une CNS sur $M$ pour qu'il existe deux matrices $A$ et $B$ diagonalisables de rang 1 telles que $M=A+B$.

J'ai montré que nécessairement $\text{rg}(M) \leq 2$ puis j'ai étudié les cas .
Si $\text{rg}(M)\leq 1$, j'ai démontré que c'était possible en montrant que $M$ était semblable à $E_{non}$ ou $E_{n-1,n}$ (matrices bases canoniques).
Si $\text{rg}(M)=2$, il me semble que si $M$ est diagonalisable, cela marche mais j'ai un problème si $M$ est non diagonalisable, à valeurs propres nulles.

D'avance merci pour votre aide.
bestM

dSP

Attention : pour le cas $\mathrm{rg} M=1$ il n'y a pas seulement deux classes de similitude possibles, mais fort heureusement cela ne change pas beaucoup la démonstration.

Pour le cas $\mathrm{rg} M=2$ la bonne discussion me semble plutôt porter sur la relation entre $\mathrm{Im} M$ et $\mathrm{Ker} M$.

Si une décomposition existe dans ce cas, on aura nécessairement $\mathrm{Im} M=\mathrm{Im} A+\mathrm{Im} B$ et $\mathrm{Ker} M=\mathrm{Ker} A \cap \mathrm{Ker} B$, ce qui conduit à discuter selon que $\C^n=\mathrm{Im} M \oplus \mathrm{Ker} M$ ou $\dim(\mathrm{Im} M \cap \mathrm{Ker} M)=1$ (on voit d'ailleurs qu'une autre condition nécessaire dans ce cas est $\mathrm{Im} M \not\subset \mathrm{Ker} M$). On peut alors traiter séparément chacun de ces cas (le premier se réduit au cas $n=2$).

bestM

Merci dSP,
c'est vrai j'ai oublié de mettre une constante non nulle de les matrices $E_{n,n}$ et $E_{n-1,n}$.
Merci pour la méthode si rg($M$)=2.Je vais étudier cela.
bestM 

bestM

Bon , j'avoue que je coince un peu pour le rang= 2, malgré les indications...

[Utilisateur supprimé]

Moi je chercherais plutôt dans cette direction

$A$ de rang $1$ est diagonalisable ssi $tr(A) \neq 0$. Puis la trace est une forme linéaire.

dSP

lcm1789 : le début de ton indication peut effectivement permettre de repérer facilement le caractère diagonalisable d'une matrice de rang $1$, mais la linéarité de la trace n'est pas d'un grand secours pour résoudre le problème (il n'y a rien à dire d'intéressant sur la somme de deux complexes non nuls).

[Utilisateur supprimé]

dSP. Rien ce n'est pas grand chose.

En effet je n'ai pas débouché avec cette méthode. (Cela fait plus de 10 ans que je n'ai pas utilisé une matrice alors je suis rouillé).
Désolé pour cette fausse piste.

Mais on peut dire que si $M$ non scalaire a pour trace $\lambda+\mu$ alors $M$ est semblable à une matrice de diagonale $(\lambda, \mu)$
Bon cela ne résout pas le problème.

[Utilisateur supprimé]

@dSP je n'ai pas compris  tout de suite  pourquoi $KerM=KerA \cap KerB$ quand $rg(M)=2$, mais cela vient de 

On a $rg(M)=rg(A+B)=2=rg(A)+rg(B)$ si et seulement si. $Im(A)\cap Im(B)={0}$ et $E=Ker(A)+Ker(B)$, (de la décomposition de $E$ en fait).

bestM

Ok, mais comment conclure si dim Im(M)$\cap$Ker(M)=1?

dSP

Pour le cas où $\mathrm{rg} M=1$, il est judicieux de représenter $X \mapsto MX$ dans une base adaptée à $\mathrm{Im} M$ et dont le premier vecteur est dans $\mathrm{Ker} M$.

bestM

Conclusion : c'est toujours possible de trouver A  et B.?

dSP

Oui lorsque $\mathrm{rg} (M) =1$. J'ai déjà expliqué qu'il y a une condition nécessaire supplémentaire lorsque $\mathrm{rg} (M)=2$...

[Utilisateur supprimé]

Bon je n'aurais pas eu l'X avec cet exercice ... (En fait je ne l'ai  jamais passé, je n'étais pas préparé pour et j'avais préféré réussir les Arts et Métiers que rater Polytechnique, lucide et pas fou le gars!  ).

Les cas de rang 0 et 1 se traitent. (Pas super convaincu par l'argument de @bestM qui me semble bien trop exigeant).

Mais j'ai quand même continué à chercher, et j'ai réussi à débrouiller les indications de @dSP (merci)
Elles ne sont pas si simples à établir.

J'ai commencé par établir que
$rg(A)+rg(B)=rg(A+B)(=rg(M) \Rightarrow Im(A+B)=Im(A)+Im(B)$ et $Im(A) \cap Im(B)= \{0\}$.
Puis que $E=Ker(A)+Ker(B)$ et donc que $KerM=Ker \cap KerB$
Ensuite, on remarque $M^2(\mathbb{C}^n)=M(\mathbb{C}^n)$ donc $E=Im(M)+Ker(M)$ (là aussi il faut le démontrer).

Si la somme est directe, On prend une base de $Im(M)$ qui est de dimension $2$ et qui est stable par $M$ et en effet on tombe sur une matrice diagonale par blocs avec que des $0$ et une matrice 2x2.

Reste à discuter selon les valeurs des coefficients diagonaux. Avec le critère que j'ai donné plus haut j'ai réussi à traiter le cas où les deux coefficients diagonaux sont non nuls. mais je sèche dans le cas contraire.

Quand la somme n'est pas directe, des considérations de dimensions montrent que $dim (Im(M) \cap KerM)=1$ et donc on choisit un vecteur non nul dans l'intersection et le complète en une bas de $Im (M)$, ensuite je sèche encore...
ça m'a bien fait réviser le théorème de la base incomplète et le théorème du rang, je ne les avais pas utilisés depuis 13 ans...

Merci  et chapeau à @dSP qui en quelques mots avaient donné les grandes lignes, si j'abuse je te demanderais bien un coup de pouce pour les deux endroits où je sèche.

Je suppose qu'il faut certainement se servir du fait que M est trigonalisable sur $\mathbb{C}$ et qu'il y a une histoire de discussion sur la dimension  des sous-espaces caractéristiques correspondants aux deux valeurs propres non nulles (et éventuellement double)  et/ ou de suite itérée de noyaux, dans le goût de ce que l'on fait pour faire une réduite de Jordan, mais malheureusement je me rends bien compte que mon niveau n'est plus ce qu'il était et je suis bien incapable de faire ça sans retravailler sérieusement le sujet

dSP

Pour le cas du rang $2$, on peut penser à une généralisation du principe voulant que toute matrice complexe de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle (exercice classique normalement vu par tout taupin qui se respecte). La généralisation est que pour toute liste $(a_1,\dots,a_n)$ d'éléments du corps de base, toute matrice carrée non scalaire $A$ de trace $\sum_{k=1}^n a_k$ est semblable à une matrice dont les coefficients diagonaux sont $a_1,\dots,a_n$. Ce résultat est classique, on en trouve la première trace dans un article de Fillmore pour le Monthly (https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00029890.1969.12000162).

Bon, comme ici c'est le cas $n=2$ cela se fait très facilement et on évite les complications du cas $n>2$.

[Utilisateur supprimé]

Merci dSP pour ta gentillesse envers un jeune vieux tout rouillé, je vais regarder, en plus j'y avais pensé, c'est même ça qui m'avais mis l'idée de la trace en tête.  (cf plus haut)
C'est d'ailleurs un exercice qui a été donné à l'ENS

etanche

C’est un exos de l’X de quelle année ?

bestM

@etanche De 2023.
BestM

[Utilisateur supprimé]

Ouf je pense avoir bouclé l’affaire
En utilisant qu’une matrice nilpotente (d’indice 2) est de trace nulle.

Je n’ai jamais passé l’X mais je suis surpris car j’ai utilisé dans cet exercice plusieurs résultats qui ont eux même fait l’objet d’exercices ou questions détaillées à l’X et aux ENS et qui étaient donc plus simples. Je ne sais pas comment le jury gère cela.
On voit aussi l’importance de la culture mathématique pour réussir ce genre de question.

Merci @dSP

bestM

Bonjour,
@lcm1789 comment démontres tu sur Ker(M)+Im(M)=C^n ?

[Utilisateur supprimé]

J'ai donné l'indication plus haut il faut regarder $M^2$

Il y a une certaine logique à tout cela car les techniques utilisées sont celles que l'on utilise pour étudier les matrices nilpotentes.

hx1_210

Comme indiqué plus haut , il est logique d’étudier la dimension des sauts de noyaux dans la suite des iterés.

C’est un exercice qui tourne, sans le dire, autour de la jordanisation. Ainsi, il est taillé sur mesure pour les étudiants, des « meilleures taupes parisiennes» ainsi qu’il est indiqué en quatrième de couverture d’un bouquin passionnant mais trapu sur le sujet.

Ainsi qu’il est dit plus haut dans la discussion, une certaine culture et donc un certain entre-soi est sinon nécessaire du moins très utile pour déterminer cette jolie CNS en Math Spé.

Bien formé ou bien informé…tel est l’enjeu parfois.

dSP

Pour information, il semble que cette question ait été donnée en filière ... PC !

hx1_210

Oui c'est ardu. La réduction de Jordan n'est pas officiellement au programme (encore moins en PC où le programme précise "La technique générale de trigonalisation est hors programme. On se limite dans la pratique à des exemples simples en petite dimension et tout exercice de trigonalisation effective doit comporter une indication." ce qui d'ailleurs marque une baisse du niveau à l'époque où j'étais dans une des meilleures MP non étoilée de province et dans laquelle on ne pratiquait pas non plus le théorème de Jordan).

Je persiste, il faut être bien formé et bien informé.
L'examen du cas $M^2=0$ est pas mal trapu  d'ailleurs.
Quand on pense que l'on peut aussi tirer à l'X la description des endos diagonalisables de rang 1, ce n'est pas de chance.
ici on a un problème abstrait avec en plus des aspects calculatoires à la fin quand on doit trouver les sommes ad-hoc pour bien achever le taupin.
Ils auraient pu aussi donner la discussion de la réduction d'un endomorphisme de rang 2 dans $\mathbb{C}$, c'est assez sportif également. On est sur le même type de raisonnement, c'est même plutôt plus simple.