Construction : un quadrilatère cyclique très dépouillé
Bonjour
Voici un quadrilatère complet cyclique dépouillé de tout

... sauf
• de son triangle diagonal WUV et
• de sa droite de Newton
passant comme de règle par le milieu M de la diagonale externe UV du quadrilatère.
Pouvez-vous reconstruire ce quadrilatère cyclique à la règle et au compas ?
La droite de Newton est la contrainte que j'ai choisie pour que ce quadrilatère cyclique associé au triangle diagonal soit unique.
Bon week-end
Jean-Pol Coulon
Voici un quadrilatère complet cyclique dépouillé de tout

... sauf
• de son triangle diagonal WUV et
• de sa droite de Newton
passant comme de règle par le milieu M de la diagonale externe UV du quadrilatère.
Pouvez-vous reconstruire ce quadrilatère cyclique à la règle et au compas ?
La droite de Newton est la contrainte que j'ai choisie pour que ce quadrilatère cyclique associé au triangle diagonal soit unique.
Bon week-end
Jean-Pol Coulon
Réponses
-
Merci gypsic de nous rappeler toutes ces configurations révolues.Déjà le cercle circonscrit au quadrilatère est connu.C'est le cercle polaire $\Gamma$ du triangle diagonal $UVW$.Son centre $O$ est l'orthocentre du triangle diagonal.On sait qu'il existe une une infinité de quadrilatères inscrits dans $\Gamma$ ayant $UVW$ pour triangle diagonal.Les milieux des diagonales du quadrilatère passant par $W$ sont situés d'une part sur la droite de Newton que tu t'es donnée et d'autre part sur le cercle de diamètre $OW$ et donc à leur intersection.Cela devrait suffire pour reconstituer le quadrilatère.AmicalementpappusPSLe plus dur dans cette histoire est de construire le cercle polaire dans une république où le seul cercle encore un tant soit peu utilisé est le DCT (Divin Cercle Trigonométrique)!
-
Merci pappus,
Une simple application du théorème de Brocard en effet, le triangle diagonal étant autopolaire par rapport au cercle circonscrit, son orthocentre donnant le centre circonscrit du quadrilatère cyclique comme bien rappelé.
(avec les U et V-bissectrices en bonus, se croisant en I sur le droite de Newton)
Pour la construction du rayon du cercle circonscrit voir mon schéma : j'en avais fait une question séparée en préambule à la question présentée ici, donnant les points P et Q sur ce cercle par l'intersection (autres que les sommets ou pieds d'hauteurs) des cercles de diamètre OV et OU avec le triangle diagonal.
Une autre méthode plus directe de construction pour le rayon du cercle circonscrit, donnée par Ichung Chen :
Soit sur UV le point E = OW ∩ UV
W est l'inversion de E par rapport au cercle circonscrit de centre O et rayon R
R² = OW OE
Une méthode ci-dessous pour construire un point F de ce cercle : une simple moyenne géométrique avec le point W' symétrique du point W par rapport à O.
R² = OF² = OW OE = OW' OE
Jean-Pol Coulon
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 165.6K Toutes les catégories
- 65 Collège/Lycée
- 22.2K Algèbre
- 37.7K Analyse
- 6.3K Arithmétique
- 61 Catégories et structures
- 1.1K Combinatoire et Graphes
- 13 Sciences des données
- 5.1K Concours et Examens
- 26 CultureMath
- 51 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.8K Géométrie
- 86 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 79 Informatique théorique
- 3.9K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 29 Mathématiques et finance
- 344 Mathématiques et Physique
- 5K Mathématiques et Société
- 3.4K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10.1K Probabilités, théorie de la mesure
- 805 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.8K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres