Construction
Réponses
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Bonjour à tousSoit $\Omega$ le milieu de $CD$ et $E'$ le symétrique de $F$ par rapport à $\Omega$.L'application $E\mapsto E'$ est une homographie de la droite $CD$, bestiole dont on se doute bien qu'elle est inconnue au bataillon lequel ne connait plus que les axiomes de Thalès et de Pythagore.Dommage car il ne s'agissait que de construire les points fixes d'une homographie définie sur une droite, une sorte de pont aux ânes pour les étudiants d'autrefois.AmicalementpappusPSCi-dessous la construction qui se simplifie du fait que l'homographie $E\mapsto E'$ est une involution.Je ne l'explique pas!A quoi bon se décarcasser inutilement!
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Bonjour pappus,
J'étais parti sur une autre voie (le théorème du papillon, qui utilise de fait le milieu du segment CD) quelques intersections et droites concourantes pour finir par une tangente donnant le point recherché.
J'avais même envisagé d'en demander la démonstration,
sous cette forme :
« Butterfly theorem ... with only one point »
mais l'exercice de construction m'a semblé plus intéressant.
Pour la construction, logiquement :
(le demi-cercle (P,O) pour construire la tangente donnant T)
Merci pour la réponse.
Jean-Pol Coulon
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Bonjour Jean-Pol,Une petite coquille à corriger, un "D" au lieu d'un "F" à la fin de la sixième ligne ...Autrement, c'est bien trouvé ...Pourrait-on aller plus loin et demander de construire le point V du cercle tel que, J et K étant les intersections de VA et VB avec CD, l'on ait CJ = k.DK, k étant un rationnel ?Bien amicalement, JLB
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Bonjour à tousJe précise quand même pourquoi l'homographie $E\mapsto E'$ est involutive.Tout simplement parce qu'elle échange les points $C$ et $D$, c'est évident.Les points fixes $E_1$ et $E_2$ sont alors conjugués harmoniques par rapport aux paires $(C,D)$ et $(E,E')$.Je les ai construit comme points limites du faisceau de cercles de diamètres $CD$ et $EE'$, toutes ces notions ont disparu depuis des décennies.Pourquoi se décarcasser à refaire leur défunte théorie qu'on peut retrouver dans les vieux grimoires!?AmicalementpappusPSJ'avais pensé moi aussi à utiliser le théorème du papillon mais cela m'avait paru très artificiel.La méthode que j'ai suivie est beaucoup plus naturelle.Elle se contente de suivre et d'appliquer le cours, défunt il est vrai, qui sert aussi à démontrer le théorème du papillon dont on peut trouver sur la toile des dizaines de démonstrations "élémentaires" toutes aussi tirées par les cheveux les unes que les autres et chacune prétendant être meilleure que l'autre!
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Merci pappus pour le papillon "harmonique".
J'en avais lu une généralisation (théorème de Candy) également "harmonique".
Soient un cercle, une corde AB quelconque et un point quelconque I de cette corde.
Construisons un quadrilatère cyclique CDEF croisé en I, recroisant la corde AB en M (= CF ∩ AI) et N (=ED ∩ IB).
Montrer que
1/IM - 1/IA = 1/IN - 1/IB
Cela découle immédiatement des rapports harmoniques (AIMB) = (ADFB) = (ANIB) = -1
⇒ (valeurs non orientées)
AM/IM : AB/IB = AM/DF : AB/DF = AI/NI : AB/NB
⇒ avec un peu d'algèbre
AM IB/IM = AI NB/NI ou AI IM / AM = BI IN /BN
AM IB IN = AI NB IM
(IA-IM) IB IN = IA (IB-IN) IM1/IM - 1/IA = 1/IN - 1/IBCordialement
Jean-Pol Coulon
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