Construction

gipsyc
Modifié (June 2023) dans Géométrie
Bonjour
Un cercle
Deux points A et B sur le cercle.
Une corde CD non croisée (non sécante) à AB.

Placer au compas et à la règle le point T sur le cercle de sorte que CE = FD.
Cordialement,
Jean-Pol Coulon

Réponses

  • pappus
    Modifié (June 2023)
    Bonjour à tous
    Soit $\Omega$ le milieu de $CD$ et $E'$ le symétrique de $F$ par rapport à $\Omega$.
    L'application $E\mapsto E'$ est une homographie de la droite $CD$, bestiole dont on se doute bien qu'elle est inconnue au bataillon lequel ne connait plus que les axiomes de Thalès et de Pythagore.
    Dommage car il ne s'agissait que de construire les points fixes d'une homographie définie sur une droite, une sorte de pont aux ânes pour les étudiants d'autrefois.
    Amicalement
    pappus
    PS
    Ci-dessous la construction qui se simplifie du fait que l'homographie $E\mapsto E'$ est une involution.
    Je ne l'explique pas!
    A quoi bon se décarcasser inutilement!


  • gipsyc
    Modifié (June 2023)
    Bonjour pappus,

    J'étais parti sur une autre voie (le théorème du papillon, qui utilise de fait le milieu du segment CD) quelques intersections et droites concourantes pour finir par une tangente donnant le point recherché.

    J'avais même envisagé d'en demander la démonstration,
    sous cette forme : 

    « Butterfly theorem ... with only one point »


    mais l'exercice de construction m'a semblé plus intéressant.

    Pour la construction, logiquement : 

    (le demi-cercle (P,O) pour construire la tangente donnant T)


    Merci pour la réponse.

    Jean-Pol Coulon

  • Bonjour Jean-Pol,
    Une petite coquille à corriger, un "D" au lieu d'un "F" à la fin de la sixième ligne ...
    Autrement, c'est bien trouvé ...
    Pourrait-on aller plus loin et demander de construire le point V du cercle tel que, J et K étant les intersections de VA et VB avec CD, l'on ait CJ = k.DK, k étant un rationnel ?
    Bien amicalement, JLB
  • pappus
    Modifié (June 2023)
    Bonjour à tous
    Je précise quand même pourquoi l'homographie $E\mapsto E'$ est involutive.
    Tout simplement parce qu'elle échange les points $C$ et $D$, c'est évident.
    Les points fixes $E_1$ et $E_2$ sont alors conjugués harmoniques par rapport aux paires $(C,D)$ et $(E,E')$.
    Je les ai construit comme points limites du faisceau de cercles de diamètres $CD$ et $EE'$, toutes ces notions ont disparu depuis des décennies.
    Pourquoi se décarcasser à refaire leur défunte théorie qu'on peut retrouver dans les vieux grimoires!?
    Amicalement
    pappus
    PS
    J'avais pensé moi aussi à utiliser le théorème du papillon mais cela m'avait paru très artificiel.
    La méthode que j'ai suivie est beaucoup plus naturelle.
    Elle se contente de suivre et d'appliquer le cours, défunt il est vrai, qui sert aussi à démontrer le théorème du papillon dont on peut trouver sur la toile des dizaines de démonstrations "élémentaires" toutes aussi tirées par les cheveux les unes que les autres et chacune prétendant être meilleure que l'autre!
  • gipsyc
    Modifié (June 2023)
    Merci pappus pour le papillon "harmonique".
    J'en avais lu une généralisation (théorème de Candy) également "harmonique".

    Soient un cercle, une corde AB quelconque et un point quelconque I de cette corde.
    Construisons un quadrilatère cyclique CDEF croisé en I, recroisant la corde AB en M (= CF ∩ AI) et N (=ED ∩ IB).
    Montrer que
    1/IM - 1/IA = 1/IN - 1/IB
    Cela découle immédiatement des rapports harmoniques (AIMB) = (ADFB) = (ANIB) = -1

    ⇒ (valeurs non orientées)
    AM/IM : AB/IB = AM/DF : AB/DF = AI/NI : AB/NB
    ⇒ avec un peu d'algèbre
    AM IB/IM = AI NB/NI  ou  AI IM / AM = BI IN /BN
    AM IB IN = AI NB IM
    (IA-IM) IB IN = IA (IB-IN) IM
    1/IM - 1/IA = 1/IN - 1/IB
    Cordialement
    Jean-Pol Coulon
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