Matrice symétrique définie négative

mathix00
Modifié (June 2023) dans Algèbre
Soient $A$ et $B$ deux matrices symétriques de taille $n$ tq $A+B$ est symétrique définie négative.
$Sp(A)=\{\lambda_1\leq\dots\leq \lambda_n\}$
$Sp(B)=\{\mu_1\leq\dots\leq \mu_n\}$
Montrer que pour tous entiers$  i_1 $ et $ i_2  $ tq $i_1 + i_2 < n+2$, on a $\lambda_{i_1} + \mu_{i_2}\leq 0$.
J'ai vérifié la propriété pour $i_1=1$ et $i_2$ qlq quelconque j'ai utilisé une b.o.n de vecteurs propres de $B$ et en multipliant par un vecteur propre de $A$ de norme $1$ et en utilisant $X^T(A+B)X<0$  mais pas d'idée pour généraliser.

Réponses

  • JLapin
    Modifié (June 2023)
    On pose $(e_1,...,e_n)$ et $(e'_1,...,e_n')$ deux bon de diagonalisation de $A$ et de $B$.
    Grâce à l'hypothèse sur $i_1$ et $i_2$, tu peux considérer un vecteur unitaire $x$ dans l'intersection $Vect(e_{i_1},...,e_n)\cap Vect(e_{i_2},...,e_n)$ et t'en servir me semble-t-il pour montrer que $\lambda_{i_1}+\mu_{i_2}\leq ((A+B)x\mid x)<0$.
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