Le $\sup$ de distributions

Fulgrim
Modifié (August 2023) dans Analyse
Bonjour
J'ai une distribution $T$ à support compact $D\subset \mathbb{R}^d$ et $f$ une fonction-test. Par définition, $T(f) < \infty$, mais existe-t-il un moyen d'en déduire que $$ \sup_{x\in \mathbb{R}^d,\,0<\epsilon<1} T(f(\epsilon\cdot+x)) < \infty,$$ au moins sous certaines conditions ?
PS : à vrai dire ma distribution $T$ est aléatoire et vérifie $\mathbb{E}[T(f)^4]<\infty$, et j'aimerais en déduire que $\mathbb{E}[\sup_{x\in D,\,0<\epsilon<1}T(f(\epsilon\cdot+x))^4]<\infty$, mais j'imagine que les mêmes arguments marcheraient.

EDIT : je réécris plus clairement mon problème dans un message plus bas.

Réponses

  • Salut,
    Si $T(f) =\int f$, alors $T(f(\epsilon\cdot+x)) =\epsilon^{-d} \int f$ qui est non borné quand $\epsilon \to 0$. 
  • Merci mais ma distribution est à support compact, donc l'intégrale n'est pas sur $\mathbb{R}^d$ haha.
  • Barjovrille
    Modifié (June 2023)
    Bonjour,
    Je n'ai pas tout vérifier mais voici une piste :
    Par définition des distributions comme élément du dual topologique des fonctions test on a : 
    Pour tout compact $K$, il existe $m_K \in \N$ et il existe $C_K>0$ tel que pour toute fonction test $\phi$ à support compact dans $K$, on a :
    $|T(\phi)| \leq \displaystyle C_K \sup_{|\alpha| \leq m_k} \sup_{x \in K} |\partial^{\alpha} \phi(x)|$.
    Je pense que si $T$ est à support compact on peut échanger les quantificateur pour tout et il existe (à vérifier)
    Donc on aurait il existe $m \in \N$, il existe $C>0$ tel que pour toute fonction test $\phi$, on a :
    $|T(\phi)| \leq \displaystyle C \sup_{|\alpha| \leq m} \sup_{x \in \mathbb{R}^d} |\partial^{\alpha} \phi(x)|$.

    Donc si tu poses $g_{x,\epsilon} : y \mapsto f(\epsilon y +x)$, et que tu remarques, pour tout $x, \epsilon$, $g_{x,\epsilon}$ est une fonction test et que les dérivées "partielles" $(\partial^{\alpha})$ des $g_{x,\epsilon}$ sont uniformément bornées (uniformément au sens la borne est indépendante des $x,\epsilon$.
    Tu peux utiliser la phrase où j'ai échangé les quantificateurs pour conclure.

    L'idée derrière l'échange des quantificateurs c'est que comme $T$ est à support compact il suffit de regarder les fonction sur le support de $T$.
    (En gros on peut faire un truc du type pour tout $\phi$, $T(\phi)=T(\phi 1_{supp(T)}) + T(\phi 1_{supp(T)^c})$ le deuxième terme s'annule mais je crois que ce n'est pas rigoureux peut être il faut faire avec des fonctions plateau ?).
     En espérant ne pas être trop à côté de la plaque, j'essaierai de vérifier si je trouve du temps.
  • Ah super j'étais aussi en train de partir dans une direction similaire (avec un théorème un peu différent que j'ai trouvé dans le livre de Schwartz), mais celle-ci est encore plus pratique.
    Je vais m'occuper des détails, merci beaucoup !
  • Pardon, j'avais lu trop vite. Ce que propose @Barjovrille fonctionne.
  • J'ai enfin le temps de m'occuper de ce problème à nouveau.
    La stratégie proposée fonctionne parfaitement, j'obtiens bien qu'il existe $C>0$ tel que
    $$\sup_{x\in D,\,\epsilon<1} |T(f(\epsilon\cdot+x)| \leq C \sup_{|\alpha|\leq m} \sup_{y\in D} |\partial^\alpha f(y)| < \infty .$$
    Mais mon objectif final (cf le PS dans mon premier message) est de traiter le cas où $T$ est aléatoire et avec un quatrième moment. Or, je n'y ai pas pensé au départ mais $C$ et $m$ dépendent de $T$ et sont donc aléatoires également.
    D'où la question : existe-t-il un quelconque contrôle sur $C$ et $m$ ?

    J'ai tenté de répondre à cette question, et voici deux pistes que j'ai suivies :

    1. L'ensemble $\{f(\epsilon \cdot+x)) ~:~\epsilon <1,\,x\in D\}$ est borné dans l'espace des fonctions-test, c'est-à-dire qu'il rentre dans tout voisinage de $0$ par une homothétie. Ainsi, comme $\{T(\omega)\}$ est un ensemble borné du dual (c'est un singleton), j'obtiens immédiatement que $\sup_{\epsilon <1,\,x\in D} |T(f(\epsilon\cdot+x))|<\infty$ presque sûrement. Ça résout la première partie du problème instantanément, mais je ne vois pas comment utiliser ma condition $\mathbb{E}[T(f)^4] <\infty$ avec cet angle.

    2. D'après le théorème 27 du livre de Schwartz sur les distributions, je peux écrire $T$ par
    $$ T(f) = \sum_{|\alpha|\leq m(\omega)} \int_D \partial^\alpha f(y) \mu_\alpha(\omega)(dy) =: \sum_{|\alpha|\leq m(\omega)}  \langle \mu_\alpha~:~\partial^\alpha f\rangle,$$
    où j'ai fait apparaître les dépendances en $\omega$ pour ce qui est aléatoire, et où les $\mu_\alpha$ sont des mesures sur $D$.
    Ainsi j'obtiens, en écrivant $|\mu|$ la variation totale d'une mesure $\mu$
    $$\left| T(f(\epsilon \cdot +x)) \right|= \left| \sum_{|\alpha|\leq m(\omega)} \epsilon^{|\alpha|} \langle \mu_\alpha(\omega) ~:~(\partial^\alpha f)(\epsilon\cdot+x) \rangle \right| \leq \sum_{|\alpha|\leq m(\omega)} \langle |\mu_\alpha(\omega)|~:~|\partial^\alpha f|(\epsilon \cdot+x)\rangle$$ 
    Ensuite, si je prends n'importe quelle fonction-test $g$ telle que $\sup_{x\in D} |\partial^\alpha f(x)| \leq \inf_{x\in D} \partial^\alpha g(x)$ pour tout $|\alpha|\in\mathbb{N}$ j'obtiens
    $$\sup_{x\in D,\,\epsilon<1} \left| T(f(\epsilon \cdot +x)) \right| \leq \sum_{|\alpha|\leq m(\omega)} \langle |\mu_\alpha(\omega)|~:~g \rangle,$$
    or ce dernier terme est intégrable (jusqu'au 4è moment) par hypothèse, donc j'ai bien montré que $\sup_{x\in D,\,\epsilon<1} \left| T(f(\epsilon \cdot +x)) \right| $ est intégrable (jusqu'au 4è moment).

    Mes questions restantes sont alors :
     - est-ce qu'une telle fonction $g$ existe ? je n'en suis pas totalement sûr.
     - je ne peux pas rigoureusement déduire de $\sum_{|\alpha|\leq m(\omega)} \langle \mu_\alpha(\omega)~:~g \rangle$ intégrable que $\sum_{|\alpha|\leq m(\omega)} \langle |\mu_\alpha(\omega)|~:~g \rangle$ est intégrable. y a-t-il un moyen de régler ça ?
     - à part ça, est-ce que la piste 2 fonctionne ?
  • Salut,
    $T$ est aléatoire et $f$ est fixée dans "$\Bbb E[T(f)^4]<\infty$" ?
  • Fulgrim
    Modifié (August 2023)
    oui c'est ça

    EDIT : $f$ est déterministe, mais la condition doit être vérifiée pour tout $f\in C^\infty(\mathbb{R}^d)$.
  • Dans ce cas, je crois qu'on peut avoir la situation suivante.
    Soit $X$ une v.a. réelle telle que $\Bbb E[X^4]=+\infty$. Soit $f$ une fonction test à support dans $B(0,1)$. On pose $T = X\cdot{\bf 1}_{B(0,2)\setminus B(0,1)}$. Alors $T(f)=0$ p.s. donc $\Bbb E[T(f)^4]<\infty$. Mais $\sup\limits_{0<\epsilon<1}T(f(\epsilon\,\cdot))^4 \geqslant T(f(\frac12 \,\cdot))^4 =c^4X^4$ avec $$c:= \int_{B(0,2)\setminus B(0,1)} f(\tfrac x2 )\,\mathrm{d}x= 2^d \int_{B(0,1)\setminus B(0,\frac12)} f( x)\,\mathrm{d}x.$$ En choisissant bien $f$, on peut supposer que $c\neq 0$. Donc $\Bbb E\big[\sup\limits_{x\in D, 0<\epsilon<1}T(f(\epsilon\cdot+x))^4 \big] \geqslant c^4\Bbb E[X^4 ]=+\infty$.
  • Barjovrille
    Modifié (August 2023)
    Bonjour pour être sur.
    La définition d'une distribution $T$, aléatoire à support compact, c'est : une fonction mesurable $T : \Omega \to H'$ où $H'$ est l'espace des distribution. Et pour tout $\omega \in \Omega$, $T(\omega)$ est à support compact.
     C'est la bonne définition ou j'ai oublié (ou mal compris) des trucs ?
  • @Barjovrille, moi j'ai pris comme définition le fait que $T~:~\Omega \mapsto H'_D$ soit mesurable où $H'_D$ est l'ensemble des distributions à support dans $D$.

    @Calli, ah oui c'est bien vu merci !
    Mais ça me fait me rendre compte que j'ai mal défini le problème ^^" en fait on ne peut pas sortir de $D$ car on doit avoir $0<\epsilon<\sup\{r>0~:~ry+x \in D,\, \forall y\in D\}$.
    A vrai dire un résultat qui me suffirait est même plus simple : on peut considérer que $D=B(0,1)$ et montrer que
             $$\mathbb{E}\left[ \sup_{x\in D,\, 0<\epsilon<d(x,\partial D)} \left| T(f(\epsilon\cdot + x))\right|^4 \right] < \infty$$
    D'ailleurs pour des distributions à support compact, l'ensemble des fonction-test est $C^\infty(\mathbb{R}^d)$, en tout cas c'est cette convention que j'utilise. Ainsi, le support de $f$ n'est pas forcément $B(0,1)$ et donc dans ton exemple on n'a pas $\mathbb{E}[|T(f)|^4]<\infty$ pour toute fonction-test $f$. Pour être précis on ne l'a pas pour $f(\tfrac{1}{2}\cdot)$ tel que tu l'as défini. 
    Désolé pour la confusion.
  • Calli
    Modifié (August 2023)
    Je crois que $\sup\{r>0~:~ry+x \in D,\, \forall y\in D\}=\infty$ mais $\inf\{r>0~:~ry+x \in D,\, \forall y\in D\}=1/d(x,\partial D)$. [édit : c'est faux]
    Plus simplement, tu veux $D\subset \epsilon D+x$ ou $D\supset \epsilon D+x$ ?
  • J'ai besoin de $\epsilon D + x \subset D$, c'est vrai que c'est plus simple comme ça ^^
  • Calli
    Modifié (August 2023)
    J'ai quand même l'impression que mon contre-exemple persiste non ? Il faut juste remplacer $B(0,2)$ par $B(0,1)$ et $B(0,1)$ par $B(0,\frac12)$. Car si $f$ est une fonction $C^\infty$ quelconque, elle peut en particulier être la fonction à support compact de mon exemple.

    Edit :
    Fulgrim a dit :
    dans ton exemple on n'a pas $\mathbb{E}[|T(f)|^4]<\infty$ pour toute fonction-test $f$. Pour être précis on ne l'a pas pour $f(\tfrac{1}{2}\cdot)$ tel que tu l'as défini. 
    Je croyais qu'on se fixait une fonction $f$.
  • Fulgrim
    Modifié (August 2023)
    Non je voulais dire que $f$ est déterministe et pas aléatoire, mais la condition vaut pour tout $f\in C^\infty(\mathbb{R}^d)$. D'où la liberté que j'ai pour $g$ dans la deuxième piste que j'ai suivie quelques messages plus haut. Mais ce n'était pas clair c'est vrai ^^"
    Pour récapituler le plus clairement possible.
    Soit $T$ est une distribution aléatoire à support compact dans $D=B(0,1)$. Je suppose que $\mathbb{E}[|T(f)^4|] < \infty$ pour tout $f\in C^\infty(\mathbb{R}^d)$ déterministe.
    J'aimerais montrer que, pour tout $f\in C^\infty(\mathbb{R}^d)$ déterministe, $$\mathbb{E}[\sup_{x\in D,\quad 0<\epsilon < d(x,\partial D)} |T(f(\epsilon\cdot +x ))|^4] < \infty.$$
    Ainsi, pour être plus imagé, je m'intéresse au $\sup_{B(x,\epsilon)\subset D}$ des valeurs de $T(f_{\epsilon,x})^4$, où $f_{\epsilon,x}:=f(\epsilon\cdot+x)$ correspond aux valeurs de $f$ sur $B(x,\epsilon)\subset D$ redimensionnées (par homothétie et translation) sur $D=B(0,1)$.
    Pour ce faire j'essaye 2 stratégies (cf message plus haut), et dans la 2è j'essaye de majorer $|T(f(\epsilon\cdot+x))|$ par une valeur $|T(g)|$ pour laquelle je peux utiliser l'hypothèse. Mon principal problème est de savoir si une telle fonction $g$ existe.
    PS : peut-être qu'à présent la discussion a plus sa place dans la catégorie "Probabilités et théorie de la mesure" ?
  • Barjovrille
    Modifié (August 2023)
    Ok je vois, je ne sais pas si ce que je vais dire va servir.
    Pour ta question de l'existence de $g$, je suppose d'abord $f$ à support compact.
    Alors $\displaystyle \sup_{x \in \mathbb{R}^d, |\mu| \leq m} |\partial^{\mu}f(x)|$ existe. Soit $m \in \N$.
    Si tu poses $g_m(x)= \displaystyle \sum_{|\nu|=m} \frac{x^{\nu}}{\nu !} \sup_{y \in \mathbb{R}^d, |\mu| \leq m} |\partial^{\mu}f(y)|$.,
    Alors pour tout multi indice $\alpha$ de taille $m$, on a  $\displaystyle \sup_{x \in \mathbb{R}^d} |\partial^{\alpha}f(x)| \leq  \inf_{x \in \mathbb{R}^d} \partial^{\alpha}g_m(x)$ ( en fait toutes les dérivées de $g_m$ d'ordre $m$ seront constantes égale au sup si je ne me suis pas trompé).

    $g_m$ est $C^{\infty}$ car polynomiale.

    En réécrivant la formule de $T$  qui fait intervenir les sommes de dérivées partielles d'une certaine façon, tu peux trouver pour chaque $\omega$ un majorant de $T(\omega)(f)$ (mais je ne pense pas que ça permet de conclure), l'hypothèse d'admettre un moment d'ordre $4$ c'est seulement pour des fonctions déterministes ? Ou tu peux te permettre de prendre des fonctions aléatoires ?

    edit: correction de la formule de $g_m$.
  • Fulgrim a dit :
     - je ne peux pas rigoureusement déduire de $\sum_{|\alpha|\leq m(\omega)} \langle \mu_\alpha(\omega)~:~g \rangle$ intégrable que $\sum_{|\alpha|\leq m(\omega)} \langle |\mu_\alpha(\omega)|~:~g \rangle$ est intégrable. y a-t-il un moyen de régler ça ?
    Je crois que ça va être compliqué. Je vais donner un exemple où $|\mu_\alpha|$ est grosse bien que $\mu_\alpha$ possède un moment d'ordre 4.

    Prenons $D={]-1,1[}$ et $h_n(x) = (-1)^{\lfloor nx\rfloor}\cdot {\bf 1}_D(x)$ pour tout $n$. $h_n$ est une fonction en rectangles $\frac2n$-périodique dans $D$ et nulle ailleurs. Puis on pose $T_n(f) = \int_D h_n f$ . Alors : $$\forall f\in\mathcal{C}^\infty(\Bbb R),\quad T_n(f) = O\!\left(\frac{\|f'\|_\infty}n \right).$$ Définissons alors la v.a. $T$ par : $\forall n\in\Bbb N, \;\Bbb P(T=\sqrt nT_n) = \frac1{\zeta(2)n^2}$. On a bien $\Bbb E[T(f)^4] = \sum_{n=0}^\infty \frac1{\zeta(2)n^2} n^2 T_n(f)^4<\infty$.

    Cependant, quand on prend la variation totale de la mesure représentant $T$, on obtient la distribution $|T|$, qui vérifie : $\forall n\in\Bbb N, \;\Bbb P(|T|=\sqrt n{\bf1}_D) = \frac1{\zeta(2)n^2}$ (car $|h_n| ={\bf1}_D$). Donc : $$\forall f\in\mathcal{C}^\infty(\Bbb R),\ \int_D f\neq 0\ \Rightarrow \quad \Bbb E[|T|(f)^4] = \sum_{n=0}^\infty \frac1{\zeta(2)n^2} n^2 \left(\int_D f\right)^4 =\infty.$$
  • Fulgrim
    Modifié (August 2023)
    @Barjovrille, bien vu d'avoir pensé au développement de Taylor. Effectivement si je dois m'arrêter à l'ordre $m$ qui est aléatoire, je ne peux a priori pas utiliser mon hypothèse. Mais je me demande si la série infinie converge, auquel cas je pourrais utiliser mon hypothèse ! Les valeurs $(\sup_{y\in D} |\partial^\alpha f(y)|)_\alpha$ peuvent-elles vraiment être quelconques si est une fonction-test ?
    @Calli, hmmmm c'est embêtant, d'autant plus qu'après vérification je soupçonne $T$ de ne pas vérifier $|T(f)|<\infty$. Retour à la case départ pour moi haha.
    Aux deux : je vais aussi essayer de voir si certaines des autres hypothèses que mon $T$ vérifie (a priori non reliées à ce problème, c'est pour ça que je ne les ai pas incluses) ne permet pas de régler certains de mes problèmes, par exemple en montrant qu'elles impliquent que la distribution est d'ordre 0, et essayer de nouvelles pistes. 
    Merci pour vos contributions :)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.