Ordre d'un élément

un_kiwi
Modifié (June 2023) dans Algèbre
Bonjour
Je cherche à démontrer les différents points du théorème suivant
Je suis parvenu à tout montrer excepté le troisième point, je n'arrive pas à montrer le sens direct (cette partie n'est pas démontrée dans mon cours). En effet, le sens indirect est simple : si on pose $n:=o(x)$ alors par définition $x^n=1_G$ ; or si $m$ est multiple de $n$ alors on peut trouver $k\in \mathbb{Z}$ tel que $m=kn$. Donc par suite, on a $x^m=(x^n)^k=1_G$. Mais je ne comprends pas comment, à partir de $x^m=1_G$ on peut en déduire que $n$ divise $m$.
Cordialement.

Réponses

  • JLapin
    Modifié (June 2023)
    Pose la division euclidienne de $m$ par $n$.
    Ou considère le noyau du morphisme de groupe $k\mapsto x^k$.
  • Fin de partie
    Modifié (June 2023)
    @un_kiwi : C'est un raisonnement courant en mathématiques. On définit un objet comme étant le plus petit entier qui vérifie une propriété.
    Cela signifie que si dans un raisonnement tu fais une supposition et que cela implique qu'il existe un entier non nul qui est plus petit que cet entier impliqué dans la définition alors tu es arrivé  à montrer qu'il y a une contradiction et que donc ce que tu as supposé est faux.
  • Ok c'est bon j'ai réussi à conclure, merci beaucoup !
  • un_kiwi
    Modifié (June 2023)
    J'aurais besoin d'aide à présent pour prouver que si $G$ désigne un groupe et $x\in G$ est fini d'ordre $n$, alors pour tout $k\in {\mathbb N}^*$, l'ordre de $x^k$ vaut $n/({\rm pgcd}(k,n))$.
    J'ai commencé par poser $d:={\rm pgcd}(k,n)$ et dire qu'on peut trouver $a$ et $b$ premiers entre eux tels que $k=da$ et $n=db$. Puisque par hypothèse $x$ est d'ordre $n$, on a $x^n=1_G$, c'est-à-dire que $x^{db}=1_G$. Par suite $(x^{db})^a=1_G$ d'où $(x^k)^b=1_G$ donc $x^k$ est bien d'ordre fini, mais je ne parviens par à montrer que son ordre est effectivement bien égal à $n/({\rm pgcd}(k,n))$.
    Merci d'avance !
  • Fin de partie
    Modifié (June 2023)
    Avec tes notations, $k=da$ et $n/({\rm pgcd}(k,n))=b$ donc $(x^k)^{n/({\rm pgcd}(k,n))}=x^{dab}=(x^{n})^a=e$
    Donc l'ordre de $x^k$ divise $n/({\rm pgcd}(k,n))$
  • LOU16
    Modifié (June 2023)
    Bonjour,
    $d=k\wedge n,\quad k=da,\quad n=db, \quad a\wedge b=1.$
    On a vu que $(x^k)^b=1.\:\:$ Pour prouver que l'ordre de $x^k$ est égal à $b$, il reste à prouver l'implication:
    $$\forall m\in \N,\quad (x^k)^m =1 \implies b\mid m.$$
    $(x^k)^m=1 \implies x^{dam} =1 \implies n\mid dam\:\: $(car $n$ est l'ordre de $x$).  Il s'ensuit $db\mid dam, \implies b\mid am \overset{a\wedge b=1}{ \implies} b\mid m\:\square.$
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