Ensemble de Cantor - non dénombrable — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Ensemble de Cantor - non dénombrable

Comment démontrer que l'ensemble des suites de N dans {0,1} est non dénombrable ?
Cela intervient dans le fait de démontrer que l'ensemble de Cantor n'est pas dénombrable.
Mots clés:

Réponses

  • DomDom
    Modifié (June 2023)
    L’ensemble des suites à valeurs dans $\{0,1\}$ est en bijection avec l’ensemble des réels. On peut penser par exemple au développement en base $deux$ des réels. Souvent on commence par les réels de $[0;1[$. 
    Mot clef : procédé diagonal de Cantor. 
  • Modifié (June 2023)
    On peut aussi s'apercevoir que l'ensemble des suites de $\N$ dans $\{0,1\}$ (qu'on note $\{0,1\}^{\N}$) est en bijection avec l'ensemble des parties de $\N$ noté $\mathcal{P}(\N)$ (la bijection est donnée par $f\in \{0,1\}^{\N}\mapsto \{n\in \N\mid f(n)=1\}\in\mathcal{P}(\N)$). Or un résultat connu (et facile à montrer) dit qu'aucun ensemble $E$ n'est en bijection avec l'ensemble de ses parties. Donc $\mathcal{P}(\N)$, et par conséquent $\{0,1\}^{\N}$, n'est pas dénombrable. 
  • Soit $f: E \to \{0,1\}^E$ une fonction. Alors $x\in E \mapsto 1-f(x)(x)$ n'appartient pas à l'image de $f$ (sinon, il existe $u$ tel que pour tout $x\in E$, $f(u) (x) = 1 - f(x)(x)$ et donc $f(u)(u) = 1 - f(u)(u)$). En particulier $f$ ne peut jamais être bijective.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!