Une grille

Bonsoir,
On considère la grille formée des droites passant par l'origine $O$ et formant un angle de $\pm \pi/n$ avec l'axe des abscisses ($n \geq1$) et des cercles de centre $O$ et de rayons $1$, $2$, $3$, $4$, etc. 
On se donne un triangle $ABC$. Peut-on toujours trouver trois points de la grille formant un triangle égal à $ABC$ ?

J'aurais tendance à penser que non. Un triangle de la grille aussi près de $ABC$ que l'on veut c'est possible, une histoire de densité. Mais comment montre-t-on qu'on ne peut pas en général trouver trois tels points ?

Réponses

  • Si toutes les distances ne sont pas atteignables par la grille on pourra se limiter aux triangles à côtés entiers, ou bien chercher un triangle semblable sur la grille.
  • marco
    Modifié (June 2023)
    Si $z_A=r_Ae^{\pm i\pi/n_A}, \ldots, z_C=r_Ce^{\pm i\pi/n_C}$ avec $r_A,r_B,r_C,n_A,n_B,n_C \in \N^*$, alors $(z_B-z_A)/(z_C-z_A)$ est algébrique sur $\Q$. En effet, $z=e^{\pm i\pi/n}$ vérifie $z^n+1=0$, donc est algébrique sur $\Q$.
  • marco
    Modifié (June 2023)
    Soit $ABC$ un triangle du plan complexe. Les points $A,B,C$ ont pour affixes $z_A,z_B,z_C$. Soient $A'B'C'$ un triangle semblable à $ABC$. Les affixes de $A',B',C'$ vérifient $z_{A'}=uz_A+v, \dots, z_{C'}=uz_C+v$ pour un couple $u,v$ de complexes (avec $u \neq 0$).
    Donc $(z_{B'}-z_{A'})/(z_{C'}-z_{A'})=(z_B-z_A)/(z_C-z_A)$.
    Donc si $(z_B-z_A)/(z_C-z_A)$ n'est pas algébrique sur $\Q$, on ne peut pas trouver de triangle semblable à $ABC$ sur la grille.
  • marco
    Modifié (June 2023)
    Je pense que j'ai mal compris l'énoncé. La grille n'est pas constituée seulement de points (isolés) en fait, mais des cercles et des droites.
  • Ludwig
    Modifié (June 2023)
    Non non c'est bien ça, merci. Pas moyen de fabriquer une grille ou tout triangle admette un représentant égal ? Ou au moins un représentant semblable ? Alors évidemment il faut définir ce qu'est une grille.. on pourrait prendre deux ensembles dénombrables de lignes, les points de la grille étant les intersections de toutes ces lignes. Mais des lignes construites comment ? Mystère et boule de gomme.
  • marco
    Modifié (June 2023)
    Si la grille est constituée de points en nombre dénombrable, alors il y a un nombre dénombrable de triangles dont les sommets sont des points de la grille. Or il y a un nombre indénombrable de triangles (même à similitude près). Donc il y aura toujours une infinité non dénombrable de triangles qu'on ne retrouvera pas sur la grille.
  • Oui. Mais l'ensemble des points d'intersection des lignes est-il toujours dénombrable ?

  • Bonsoir, si on a une famille dénombrable de cercles et une famille dénombrables de demi-droites, l'ensemble des points d'intersection est alors une réunion dénombrables d'ensembles dénombrables.
  • Ludwig
    Modifié (June 2023)
    Oui, mais pour d'autres lignes l'ensemble des points d'intersection peut ne pas être dénombrable. Par exemple en prenant les droites $y=n$ avec $n$ entier relatif et des flocons de Koch centrés sur l'origine et de plus en plus grands : 

    Mais ici un seul flocon ne suffirait-il pas pour avoir sur la grille un représentant semblable à n'importe quel triangle $ABC$ donné ?
  • Non l'ensemble des intersections est dénombrable là aussi. Par contre sur la courbe de Koch (ses sommets) on doit avoir un représentant semblable à n'importe quel triangle $ABC$ donné.
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