Autour du triangle orthique

jelobreuil
Modifié (June 2023) dans Géométrie
Bonsoir à tous,
En construisant une figure correspondant à la discussion ouverte par Jean-Louis, https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2334772/quatre-points-cocycliques#latest, j'ai constaté que les droites qui portent les diamètres des cercles adjoints (inscrits dans les petits triangles entourant le triangle orthique) perpendiculaires aux côtés du triangle de base se coupent sur les côtés de ce triangle, ce qui m'a incité à construire la figure ci-dessous.
Soit un triangle $ABC$, son triangle orthique $A'B'C'$, et les cercles inscrits dans les triangles $AB'C'$, $BA'C'$ et $CB'A'$, de centres respectifs $Ia$, $Ib$ et $Ic$. Je constate
- que la perpendiculaire à $AB$ passant par $Ib$ et la perpendiculaire à $CA$ passant par $Ic$ se coupent en $D$ sur le côté $BC$, et que les points $E$ et $F$, définis de façon semblable par permutation circulaire, donnent avec le point $D$ un triplet de céviennes $AD$, $BE$ et $CF$ concourantes en $U$ ((quel numéro dans ETC ?),
- et que les six points $Ia$, $F$, $Ib$, $D$, $Ic$ et $E$ se trouvent sur une même ellipse, ce qui n'a rien d'étonnant, puisque les côtés de l'hexagone qu'ils forment sont deux à deux parallèles. Le centre $O$ de cette ellipse figure-t-il dans ETC ?
Merci de vos explications concernant le premier point.
Bien cordialement, JLB
 

Réponses

  • cailloux
    Modifié (June 2023)
    Bonjour,
    Tes points $D,E,F$ sont les points de contact du cercle inscrit au triangle $ABC$
    Et $U$ est donc le point de Gergonne soit $X(7)$.

    Quant au centre de l'ellipse, il semblerait que ce soit $X(942)$.
  • Bonjour,

    En rajoutant ceci à mon code précédent:
    Bc=SimplifieBary(ProjectionOrthogonaleBary(Oc,CA,a,b,c))
    Ba=SimplifieBary(ProjectionOrthogonaleBary(Ob,AB,a,b,c))
    Pa=SimplifieBary(Wedge(Wedge(Bc,Oc),Wedge(Ba,Ob)))
    on obtient:
    Pa=[0; a + b - c; a - b + c]
    ce qui confirme ce que dit Cailloux.

    Cordialement,
    Rescassol



  • jelobreuil
    Modifié (June 2023)
    Merci beaucoup, @Cailloux !
    Je n'ai plus qu'à chercher comment il se fait que les droites-diamètres définies plus haut se coupent en ces points particuliers !
    Bien cordialement, JLB 
    Edit Merci beaucoup à toi aussi, @Rescassol ! Nos messages se sont croisés ...
  • Rescassol
    Modifié (June 2023)
    Bonsoir, 

    la conique a pour équation barycentrique:
    $S_{x^2}x^2+S_{y^2}y^2+S_{z^2}z^2+S_{xy}xy+S_{yz}yz+S_{zx}zx=0$
    avec:
    $S_{x^2}=a(-a^2+b^2+c^2)(b-a+c)^2$
    $S_{y^2}=b(a^2-b^2+c^2)(a-b+c)^2$
    $S_{z^2}=c(a^2+b^2-c^2)(a+b-c)^2$
    $S_{xy}=-(a+b)(a-b+c)^2(b-a+c)^2$
    $S_{yz}=-(b+c)(a+b-c)^2(a-b+c)^2$
    $S_{zx}=-(a+c)(a+b-c)^2(b-a+c)^2$
    Son centre est $X_{942}$.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Bonsoir Rescassol,
    Merci de cette suite et de la confirmation de l'identité du centre de cette ellipse.
    Bien cordialement, JLB
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