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Sommes égales à N de r entiers naturels compris entre 1 et 9

Modifié (June 2023) dans Combinatoire et Graphes
Soient $N$ et $r$ deux entiers naturels tels que $1 \leq r \leq N$.
On considère l'ensemble $A(N,r)$ des r-uplets $(x_1, \dots, x_r)$ où les $x_i$ sont des entiers naturels compris entre $1$ et $9$ tels que la somme $x_1 + \dots + x_r$ est égale à $N$.
Le problème est de dénombrer $A(N,r)$.

Réponses

  • Modifié (June 2023)
    Version simplifiée : que compte le coefficient d'exposant $n$ dans le développement de Taylor de $1/((1-x^2)(1-x^3))$ ?
    PS : Énoncé lu trop vite : je réponds à un autre problème. 
  • Modifié (June 2023)
    Bonjour,
    Avec la convention $\displaystyle \binom np =0$ si $n<p:$
    $\displaystyle \sum_{N=0}^{+\infty}A(N,r)X^N=\left(\sum_{i=1}^9X^{i}\right)^r=\dfrac {X^r(1-X^9)^r}{(1-X)^r}=\sum _{k=0}^r(-1)^k \binom rk X^{9k+r}\sum_{n=0}^{+\infty}\binom{n+r-1}{r-1}X^n$
    $$ A(N,r) = \displaystyle \sum_{k=0} ^r(-1)^k\binom rk \binom{N-9k-1}{r-1}.$$
  • Un immense merci !!
  • Modifié (June 2023)
    En fait, la somme n'est pas de 0 à r mais de 0 à q(N) avec : q(N) = Ent(N/9) si N n'est pas multiple de 9 et q(N) = Ent(N/9) - 1 sinon. Ce résultat a été trouvé de façon "artisanale", j'aimerais bien le retrouver à partir de votre méthode d'identification de deux séries.
  • C'est OK. Les deux résultats sont identiques du fait de la convention prise au départ : le coefficient binomial est nul si n < p.
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