Courbe associée à une ligne particulière d'un triangle

jelobreuil
Modifié (June 2023) dans Géométrie
Bonjour à tous,
Il est bien connu que pour tout point $P$ du plan d'un triangle $ABC$, les 6 points d'intersection des droites portant les côtés du triangle et des droites parallèles à ces côtés et passant par ce point $P$ appartiennent à une même conique, une ellipse quand $P$ est strictement intérieur à se situe dans une certaine zone à l'intérieur de $ABC$,  une hyperbole dans le cas contraire.
Quel est le lieu du centre de cette conique quand $P$ décrit une ligne particulière de ce triangle ?
Si cette ligne est la droite d'Euler, on obtient une courbe en trois branches, avec un point de rebroussement en $G$ :



Est-ce une cubique ? Particulière ?
Suite à venir ...
Bien cordialement, JLB

Réponses

  • jelobreuil
    Modifié (June 2023)
    Sur la figure ci-dessous, le lieu du centre $R$ de la conique passant par les points $D, D', E, E', F, F'$ quand le point $P$ décrit la droite quelconque bleue est une courbe à trois branches, dont l'une comporte un point double situé sur la droite.
    Je constate que les six points d'intersection de cette courbe avec les côtés (au sens strict) du triangle semblent eux aussi se trouver sur une même ellipse ...

    Voici la courbe obtenue quand le point P se déplace sur le cercle circonscrit, dans les deux cas d'un triangle acutangle et d'un triangle obtusangle :


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