Courbe associée à une ligne particulière d'un triangle

jelobreuil

Bonjour à tous,

Inspiré par le message de @Rescassol https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/2334741/parallelienne-orthocentre-cercle-deuler-stanford-li#latest

Il est bien connu que pour tout point $P$ du plan d'un triangle $ABC$, les 6 points d'intersection des droites portant les côtés du triangle et des droites parallèles à ces côtés et passant par ce point $P$ appartiennent à une même conique, une ellipse quand $P$ est strictement intérieur à se situe dans une certaine zone à l'intérieur de $ABC$,  une hyperbole dans le cas contraire.

Quel est le lieu du centre de cette conique quand $P$ décrit une ligne particulière de ce triangle ?

Si cette ligne est la droite d'Euler, on obtient une courbe en trois branches, avec un point de rebroussement en $G$ :

Est-ce une cubique ? Particulière ?

Suite à venir ...

Bien cordialement, JLB

jelobreuil

Sur la figure ci-dessous, le lieu du centre $R$ de la conique passant par les points $D, D', E, E', F, F'$ quand le point $P$ décrit la droite quelconque bleue est une courbe à trois branches, dont l'une comporte un point double situé sur la droite.

Je constate que les six points d'intersection de cette courbe avec les côtés (au sens strict) du triangle semblent eux aussi se trouver sur une même ellipse ...

Voici la courbe obtenue quand le point P se déplace sur le cercle circonscrit, dans les deux cas d'un triangle acutangle et d'un triangle obtusangle :

stfj

Bonjour, @jelobreuil: "bien connu", pas par moi en tout cas. $A\simeq 1:0:0$(etc.) ,$P\simeq u:v:w$
__________________________

P=vector([u,v,w])

ABinf=AB.cross_product(Linf)

BCinf=BC.cross_product(Linf)

CAinf=CA.cross_product(Linf)

Pa=P.cross_product(BCinf)

Pb=P.cross_product(CAinf)

Pc=P.cross_product(ABinf)

D=Pc.cross_product(BC)

Dp=Pb.cross_product(BC)

E=Pa.cross_product(CA)

Ep=Pc.cross_product(CA)

F=Pb.cross_product(AB)

Fp=Pa.cross_product(AB)

M=matrix([veronese(D),veronese(Dp),veronese(E),veronese(Ep),veronese(F),veronese(Fp)])

print (factor(det(M)))
______________________
fournit bien $0$, autrement dit $E,E'$(etc. ) sont coconiques.https://www.geogebra.org/classic/eqccd8vk

stfj

A priori, déterminer le centre de la conique ne pose aucun problème$$O\simeq Q^{-1}\cdot ^t [1,1,1]$$ La droite d'Euler est connue. Donc le lieu des centres ne pose pas non plus problème. Mais j'espère qu'il y en a d'autres qui se pencheront sur le problème, vus les outils peu au point dont je dispose pour le moment.

jelobreuil

Bonsoir Stéphane,

Merci de ton intérêt pour ce petit problème !

Si j'ai commencé en écrivant "Il est bien connu", c'est probablement (je ne sais plus, c'était il y a plus d'un an ...) parce que je l'avais trouvé exposé dans un livre ou dans un autre document de référence ... Ou bien parce que, vu les quelques fois où je me suis hasardé à croire, très naïvement, "trouver quelque chose", je me suis fait rapidement renvoyer à mes chères études, ce qui m'a servi de leçon !

De toute façon, j'aurais en effet dû préciser "Il est bien connu des spécialistes du domaine", car il est vrai qu'auparavant, je n'en savais pas plus que toi !

Bien amicalement, Jean-Louis B.

PS : "vu", employé comme une préposition, reste invariable.

stfj

Les courbes obtenues sont superbes : https://www.geogebra.org/classic/eqccd8vk

https://www.geogebra.org/classic/zm96kqyv

stfj

Bonne nouvelle, le cas de la droite $$d\simeq [0,-u,1]$$passant par $A$ et $D\simeq 0:1:u$ est tout aussi intéressant : https://www.geogebra.org/classic/z87jrzaa

Je prendrai même $$u=3$$On a alors $$P\simeq 1:t:3t$$

Rescassol

Bonjour,

Dans le cas où $P$ décrit la droite d'Euler, le lieu du centre de la conique est, avec Morley circonscrit,une cubique d'équation $Tz3+Tz2zB+TzzB2+TzB3+Tz2+TzzB+TzB2+Tz+TzB+T0=0$ avec:

$Tz3=4s_2(- 5s_1^2s_2s_3 + s_1s_2^3 + 9s_1s_3^2 + 3s_2^2s_3)(s_3s_1^3 - s_1^2s_2^2 + 3s_3s_1s_2 + s_2^3)z^3$
$Tz2zB=-4s_3(s_3s_1^3 - s_1^2s_2^2 + 3s_3s_1s_2 + s_2^3)(- s_1^3s_2s_3 + s_1^2s_2^3 + 9s_1^2s_3^2 + 3s_1s_2^2s_3 - 4s_2^4)z^2\overline{z}$
$TzzB2=4s_3^2(- s_3s_1^3 + s_1^2s_2^2 - 3s_3s_1s_2 - s_2^3)(- 4s_3s_1^4 + s_1^3s_2^2 + 3s_3s_1^2s_2 - s_1s_2^3 + 9s_3s_2^2)z\overline{z}^2$
$TzB3=-4s_1s_3^3(s_1^3s_2 + 3s_3s_1^2 - 5s_1s_2^2 + 9s_3s_2)(- s_3s_1^3 + s_1^2s_2^2 - 3s_3s_1s_2 - s_2^3)\overline{z}^3$

$Tz2=(- 5s_1^3s_2s_3 + 3s_1^2s_2^3 + 3s_1^2s_3^2 - 7s_1s_2^2s_3 - 2s_2^4)(- 7s_1^3s_2s_3 + s_1^2s_2^3 + 9s_1^2s_3^2 + 3s_1s_2^2s_3 + 2s_2^4)z^2$
$TzzB=2s_3(- 2s_1^7s_2s_3^2 + 11s_1^6s_2^3s_3 + 6s_1^6s_3^3 - 3s_1^5s_2^5 - 22s_1^5s_2^2s_3^2 - 33s_1^4s_2^4s_3 + 27s_1^4s_2s_3^3 + 11s_1^3s_2^6 + 87s_1^3s_2^3s_3^2 - 22s_1^2s_2^5s_3 - 27s_1^2s_2^2s_3^3 - 2s_1s_2^7 + 27s_1s_2^4s_3^2 + 6s_2^6s_3)z\overline{z}$
$TzB2=s_3^2(2s_3s_1^4 + s_1^3s_2^2 + 3s_3s_1^2s_2 - 7s_1s_2^3 + 9s_3s_2^2)(- 2s_3s_1^4 + 3s_1^3s_2^2 - 7s_3s_1^2s_2 - 5s_1s_2^3 + 3s_3s_2^2)\overline{z}^2$

$Tz=-6s_1(s_3 - s_1s_2)^2(- s_3s_1^3 + s_2^3)(s_2^2 - 3s_1s_3)z$
$TzB=-6s_2s_3(s_3 - s_1s_2)^2(- s_3s_1^3 + s_2^3)(- s_1^2 + 3s_2)\overline{z}$

$T0=3(s_3 - s_1s_2)^2(- s_3s_1^3 + s_2^3)^2$

Cordialement,
Rescassol

pldx1

Bonjour, $\def\kub{\mathcal{K}} \def\ptv{~;~} $

1. Soit $P\simeq p:q:r$. Alors la conique "bien connue" est: \[ \left[\begin{array}{ccc} 2qr\left(q+r\right) & -r\left(2pq+pr+rq+r^{2}\right) & -q\left(pq+2pr+q^{2}+rq\right)\\ -r\left(2pq+pr+rq+r^{2}\right) & 2r\left(p+r\right)p & -p\left(p^{2}+pq+pr+2rq\right)\\ -q\left(pq+2pr+q^{2}+rq\right) & -p\left(p^{2}+pq+pr+2rq\right) & 2qp\left(p+q\right) \end{array}\right] \] Remarque: " bien connu" veut le plus souvent dire: " c'est comme cela, mais ce n'est pas le sujet" . Et le centre est \[ U\simeq\left(\begin{array}{c} p\left(pq+pr+2rq-p^{2}\right)\\ q\left(pq+2pr+rq-q^{2}\right)\\ r\left(2pq+pr+rq-r^{2}\right) \end{array}\right) \]
2. Les points d'indétermination de la transformation de Cremona $P\mapsto U$ sont les milieux des côtés et les points $\left[2,\,-1\pm\sqrt{-3},\,-1\mp\sqrt{-3}\right]$, i.e. les "ombilics équilatéraux" .
3. Le lieu exceptionnel de la transformation de Cremona $P\mapsto U$ est une courbe de degré 6 \[ \prod_{2}\left(\left(p-q\right)\left(2pq+pr+rq-r^{2}\right)\pm r\left(p^{2}-pr+q^{2}-rq\right)\sqrt{-3}\right) \] les deux cubiques (non visibles) passent par les sommets et X(2) en plus de passer par les 5 points d'indétermination. En bref, ce n'est pas simple.
4. On considère une droite $\Delta\simeq\left[f,g,h\right]$. Le lieu des points $U$ lorsque $P\in\Delta$ est une cubique $\kub$. Ses points à l'infini sont: \[ \left(\begin{array}{c} g-h\\ h-f\\ f-g \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} -g-W\\ -f+W\\ f+g \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} -g+W\\ -f-W\\ f+g \end{array}\right) \] en posant $W^{2}=-\left(fg+gh+hf\right)$. Condition de visibilité ?
5. Le gradient de $\kub$ est nul en \[ U_{k}\simeq gh\left(-2f-g-h\right):hf\left(+f-2g+h\right):fg\left(+f+g-2h\right) \] conduisant à un point double.
6. Les intersections avec les côtés du triangle comportent trois points rationnels \[ \left(0:-h^{2}:g^{2}\right)\ptv\left(h^{2}:0:-f^{2}\right)\ptv\left(-g^{2}:f^{2}:0\right) \] qui sont alignés sur la droite $\left[f^{2},g^{2},h^{2}\right]$. Une interprétation géométrique serait bienvenue.
7. La cubique $\kub$ et la cubique trigonale se coupent en $3\times3=9$ points. Comme $3$ sont alignés, le théorème de Cayley-Bacharach montre que les six autres sont conconiques (comme déjà remarqué par @jelobreuil). Et, une fois que l'on sait que cela se factorise, on obtient: \[ \mathrm{coni}_{6}\simeq\left[\begin{array}{ccc} 6f^{2} & 4\left(fg+fh+gh\right)-f^{2}-g^{2}-4h^{2} & \mathrm{qsp}\\ 4\left(fg+fh+gh\right)-f^{2}-g^{2}-4h^{2} & 6g^{2} & \mathrm{qsp}\\ 4\left(fg+fh+gh\right)-f^{2}-4g^{2}-h^{2} & 4\left(fg+fh+gh\right)-4f^{2}-g^{2}-h^{2} & 6h^{2} \end{array}\right] \]

Cordialement, Pierre.

Rescassol

Bonsoir,

Pour ton point 6, avec Morley circonscrit, dans le cas où $P$ décrit la droite d'Euler, le trois points alignés le sont sur la droite d'équation $s_1(s_2^2+s_1s_3)z+s_2s_3(s_1^2+s_2)\overline{z}-(s_1^3s_3+2s_1s_2s_3+s_2^3)=0$.
D'après Géogébra, il semble que la conique passant par les six autres points d'intersection de la cubique et des côtés de $ABC$, est tangente à cette droite.

Cordialement,
Rescassol