Quels endomorphismes?

mathix00
Modifié (June 2023) dans Algèbre
 Bonjour, est-ce que quelqu'un a une idée? pour le cas $n=3$ je pense ceux de rang 1 marche , pour le cas général on a rang u $\leq n-2$ mais je bloque...

Réponses

  • Salut, pour $n=3$, tu peux aussi avoir un rang nul ($M$ peut être nulle). Donc on aurait $rg(u) \leq 1$ .
    Ce qui me laisse penser que ton intuition est bonne et qu'un tel endomorphisme peut être caractérisé par $rg(u) \leq n-2$ .
    Il faudrait démontrer les deux sens :
    si $u$ est représenté par une matrice de la forme donnée alors $rg(u) \leq n-2$ ... (Théorème du rang).
    Réciproquement, si $rg(u) \leq n-2$, on pourrait construire une base dans laquelle $u$ est représenté par une matrice de la forme cherchée. (Que dire de $dim(\ker u)$ dans ce cas? Il me semble que l'utilisation du théorème de la base incomplète peut être judicieuse ici).
    Lorsque notre cher Gebrane, le 😄 farceur, intervient dans une question d'algèbre, c'est une véritable joie pour les lecteurs.


  • Barry
    Modifié (June 2023)
    Bonsoir,

    Vu la forme de la matrice souhaitée, une condition suffisante est que $rg(u) \leq n-2$ et $\ker(u)$ admet un supplémentaire stable par $u$ (on prend une base de $\ker(u)$ et une base d'un supplémentaire stable par $u$ s'il en a un, on concatène les bases obtenues puis on ordonne la nouvelle base de sorte que son premier et dernier vecteurs soient dans $\ker(u)$)
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