Parallélienne, orthocentre, cercle d'Euler (Stanford Li)
Bonjour
son orthocentre H
son centre de cercle d'Euler N avec F = milieu de AH
• une parallèle à BC par H coupant AB et AC en E et D
• ΔFED
son centre circonscrit O'

Montrez que la droite O'N passe par le milieu de FH
Cordialement,
Jean-Pol Coulon
Un problème présenté récemment par Stanford Li.
Soient
• ΔABC un triangle scalène acutangle,son orthocentre H
son centre de cercle d'Euler N avec F = milieu de AH
• une parallèle à BC par H coupant AB et AC en E et D
• ΔFED
son centre circonscrit O'

Montrez que la droite O'N passe par le milieu de FH
Cordialement,
Jean-Pol Coulon
Réponses
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Bonjour,
Voilà, avec Morley circonscrit:% Gipsyc - 16 Juin 2023 % Parallélienne, orthocentre, cercle d'Euler (Stanford Li) % Soient % ABC un triangle scalène acutangle, son orthocentre H, % son centre de cercle d'Euler N avec F = milieu de AH % Une parallèle à (BC) par H coupant (AB) et (AC) en E et D % O' le centre circonscrit du triangle DEF % Montrer que la droite (O'N) passe par le milieu de [FH] %----------------------------------------------------------------------- clc, clear all, close all syms a b c aB=1/a; bB=1/b; cB=1/c; % Conjugués (Morley circpnscrit) s1=a+b+c; s2=a*b+b*c+c*a; s3=a*b*c; s1B=s2/s3; % Conjugués s2B=s1/s3; s3B=1/s3; %----------------------------------------------------------------------- h=s1; hB=s1B; n=s1/2; nB=s1B/2; f=(a+h)/2; fB=(aB+hB)/2; [d dB]=IntersectionDeuxDroites(1,b*c,-h-b*c*hB,1,c*a,-c-a); [e eB]=IntersectionDeuxDroites(1,b*c,-h-b*c*hB,1,a*b,-a-b); d=Factor(d) % d=a*(s1+c)/(a-b) e=Factor(e) % e=a*(s1+b)/(a-c) [op opB]=CentreCercleCirconscrit(d,e,f,dB,eB,fB); op=Factor(op) % On trouve: % op=(4*a^3 + 7*(b+c)*a^2 + (b^2+6*b*c+c^2)*a + 3*b*c*(b+c))/(4*(a-b)*(a-c)) m=(f+h)/2; mB=(fB+hB)/2; % M est le milieu de [FH] Nul=Factor(det([op opB 1; m mB 1; n nB 1])) % Égal à 0, donc c'est gagné
Cordialement,Rescassol
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Bonsoir Jean-Pol,Un autre point de vue possible : montrer que $O'M$ passe par $N$.Mais j'avoue ne pas savoir lequel est le meilleur ou le plus simple ...Merci en tout cas pour ce problème !Bien cordialement, JLB
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Bonjour Rescassol et Jelobreuil
Merci pour votre intérêt.
La difficulté est de prouver que O' (centre circonscrit du ΔDEF) est sur la ligne de N (centre du cercle d'Euler du ΔABC) à M (milieu de FH), plus facile à caractériser.
Je n'ai pas la solution (mais bien Ichung Chen).
Voici mon approche (en dessinant tous les cercles concernés, avec des indices précisant les cercles associés aux centres)Oijk, Hijk et Ωijk =centre circonscrit, orthocentre et centre du cercle d'Euler (NPC) de ΔIJK.
Lignes d'Euler (segments OijkHijk de milieu Ωijk) en vert
Ma, Ha, Mb, Hb, Mc, Hc = pieds des médianes et hauteurs sur le cercle d'Euler du ΔABC.Comme OabcF // MaHabc ⇒ parallélogramme tel que dessinéComme FMa = diamètre de NPCabc ⇒Ω abc = intersection des diagonales du parallélogrammeComme OdefΩ abc // OabcF // MaHabc (à prouver) ⇒Mfh = milieu de FHRemarque : rappel de quelques propriétésAHabc = 2 OabcMaFHabc = 2 OdefMfΩabcΩdef = Ligne de Newton dans le quadrilatèreOdefOabdHdefHabc -
Bonjour,
Le triangle formé par $O'$ et les deux autres points analogues obtenus par permutation circulaire a pour centre de gravité le centre $N$ du cercle d'Euler du triangle $ABC$.
Cordialement,
Rescassol
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Bonjour,
Les $6$ points $D,E$ et les $4$ autres points obtenus par permutation circulaire sont coconiques.
La conique a pour équation:
$(s_2^2+s_1s_3)z^2-3s_3(s_3-s_1s_2)z\overline{z}+s_3^2(s_1^2+s_2)\overline{z}^2$
$+(-2s_1^2s_3-3s_1s_2^2+s_2s_3)z-s_3(3s_1^2s_2-s_1s_3+2s_2^2)\overline{z}$
$+(s_1^3s_3+2s_1^2s_2^2-s_1s_2s_3+s_2^3+s_3^2)=0$Son centre est $X_{10002}=\dfrac{4s_1^4s_3-3s_1^3s_2^2+14s_1^2s_2s_3-3s_1s_3^2+4s_2^2s_3}{4s_1^3s_3-5s_1^2s_2^2+22s_1s_2s_3+4s_2^3-9s_3^2}$.
Cordialement,
Rescassol
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Bonjour!
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