Parallélienne, orthocentre, cercle d'Euler (Stanford Li)

gipsyc
Modifié (June 2023) dans Géométrie
Bonjour
Un problème présenté récemment par Stanford Li.
Soient
• ΔABC un triangle scalène acutangle,
      son orthocentre H
      son centre de cercle d'Euler N avec F = milieu de AH
• une parallèle à BC par H coupant AB et AC en E et D
• ΔFED
      son centre circonscrit O'

Montrez que la droite O'N passe par le milieu de FH
Cordialement,
Jean-Pol Coulon 

Réponses

  • Bonjour,

    Voilà, avec Morley circonscrit:
    % Gipsyc - 16 Juin 2023 
    % Parallélienne, orthocentre, cercle d'Euler (Stanford Li)
    
    % Soient
    % ABC un triangle scalène acutangle, son orthocentre H,
    % son centre de cercle d'Euler N avec F = milieu de AH
    % Une parallèle à (BC) par H coupant (AB) et (AC) en E et D
    % O' le centre circonscrit du triangle DEF
    
    % Montrer que la droite (O'N) passe par le milieu de [FH]
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    clc, clear all, close all
    
    syms a b c
    
    aB=1/a; bB=1/b; cB=1/c;  % Conjugués (Morley circpnscrit)
    
    s1=a+b+c;
    s2=a*b+b*c+c*a;
    s3=a*b*c;
    
    s1B=s2/s3;  % Conjugués
    s2B=s1/s3;
    s3B=1/s3;
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    h=s1; hB=s1B; n=s1/2; nB=s1B/2; f=(a+h)/2; fB=(aB+hB)/2;
    
    [d dB]=IntersectionDeuxDroites(1,b*c,-h-b*c*hB,1,c*a,-c-a);
    [e eB]=IntersectionDeuxDroites(1,b*c,-h-b*c*hB,1,a*b,-a-b);
    d=Factor(d) % d=a*(s1+c)/(a-b)
    e=Factor(e) % e=a*(s1+b)/(a-c)
    [op opB]=CentreCercleCirconscrit(d,e,f,dB,eB,fB);
    op=Factor(op) % On trouve:
    % op=(4*a^3 + 7*(b+c)*a^2 + (b^2+6*b*c+c^2)*a + 3*b*c*(b+c))/(4*(a-b)*(a-c))
    m=(f+h)/2; mB=(fB+hB)/2; % M est le milieu de [FH]
    
    Nul=Factor(det([op opB 1; m mB 1; n nB 1])) % Égal à 0, donc c'est gagné
    Cordialement,
    Rescassol

  • Bonsoir Jean-Pol,
    Un autre point de vue possible : montrer que $O'M$ passe par $N$.
    Mais j'avoue ne pas savoir lequel est le meilleur ou le plus simple ...
    Merci en tout cas pour ce problème !
    Bien cordialement, JLB
  • gipsyc
    Modifié (June 2023)
    Bonjour Rescassol et Jelobreuil
    Merci pour votre intérêt.
    La difficulté est de prouver que O' (centre circonscrit du ΔDEF) est sur la ligne de N (centre du cercle d'Euler du ΔABC) à M (milieu de FH), plus facile à caractériser.
    Je n'ai pas la solution (mais bien Ichung Chen).
    Voici mon approche (en dessinant tous les cercles concernés, avec des indices précisant les cercles associés aux centres)
    Oijk, Hijk et Ωijk =
    centre circonscrit, orthocentre et centre du cercle d'Euler (NPC) de ΔIJK.
    Lignes d'Euler (segments OijkHijk de milieu Ωijk) en vert
    Ma, Ha, Mb, Hb, Mc, Hc = pieds des médianes et hauteurs sur le cercle d'Euler du ΔABC.
    Comme OabcF // MaHabc ⇒ parallélogramme tel que dessiné 

    Comme FMa = diamètre de NPCabc ⇒
    Ω abc = intersection des diagonales du parallélogramme
    Comme OdefΩ abc // OabcF // MaHabc  (à prouver) ⇒
    Mfh = milieu de FH
    Remarque : rappel de quelques propriétés 
    AHabc = 2 OabcMa
    FHabc = 2 OdefMf
    ΩabcΩdef = Ligne de Newton dans le quadrilatère
       OdefOabdHdefHabc
  • Bonjour,

    Le triangle formé par $O'$ et les deux  autres points analogues obtenus par permutation circulaire a pour centre de gravité le centre $N$ du cercle d'Euler du triangle $ABC$.

    Cordialement,
    Rescassol

  • Rescassol
    Modifié (June 2023)
    Bonjour,

    Les $6$ points $D,E$ et les $4$ autres points obtenus par permutation circulaire sont coconiques.
    La conique a pour équation:
    $(s_2^2+s_1s_3)z^2-3s_3(s_3-s_1s_2)z\overline{z}+s_3^2(s_1^2+s_2)\overline{z}^2$
    $+(-2s_1^2s_3-3s_1s_2^2+s_2s_3)z-s_3(3s_1^2s_2-s_1s_3+2s_2^2)\overline{z}$
    $+(s_1^3s_3+2s_1^2s_2^2-s_1s_2s_3+s_2^3+s_3^2)=0$
    Son centre est $X_{10002}=\dfrac{4s_1^4s_3-3s_1^3s_2^2+14s_1^2s_2s_3-3s_1s_3^2+4s_2^2s_3}{4s_1^3s_3-5s_1^2s_2^2+22s_1s_2s_3+4s_2^3-9s_3^2}$.

    Cordialement,
    Rescassol

Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.