Peut-on représenter une limite par des séries divergentes ?

octobre
Modifié (June 2023) dans Shtam
Titre initial "Soit $f(x)=1/(1−x)$. Peut-on représenter la limite quand $x \to 1$ par des séries divergentes ?"
[Tu as tout le corps du message pour développer ta question. AD]

Bonjour à toutes et tous
Soit la fonction $f(x)=1/(1−x)$ peut-on représenter la limite quand $x$ tend vers $1$ par des séries divergentes ?
S'il y a une infinité de séries possibles, je veux une série qui a une somme partielle égale à $1$ en analogie avec la série divergente $1+2+3+...$ qui a une somme partielle égale à $-1/12$.

Réponses

  • Bonsoir,
    La fonction $f$ n'admet pas de limite en 1. La somme partielle des entiers ne vaut pas $-1/12$ mais $\frac{n(n+1)}{2}$ pour le terme de rang $n$.
  • octobre
    Modifié (June 2023)
    Bonjour 

    Je peux choisir n'importe quelle fonction g(x) pour lever l'indétermination, de sorte que f(1) * g(1) = a, par exemple g(x) = exp(x-1)-1, où a est un réel. Ensuite, je peux affirmer que lorsque x tend vers 1, f(x) = a/DL(g(x)). Ainsi, j'ai représenté f(x) comme l'inverse d'une série qui converge vers 0.

    Cependant, je souhaite choisir une fonction g(x) telle que la série divergente obtenue, f(x) = a/DL(g(x)), lorsque x = 1, ait une somme partielle égale à 1. En d'autres termes, je veux obtenir une valeur pour cette série divergente qui ressemble à la sommation de Ramanujan, telle que -1/12. Mon objectif est de réduire l'expression de la série obtenue, a/DL(g(x)), pour trouver la suite de cette série.
  • J'ai un peu cherché sur cette question, certains m'ont dit que la série de Puiseux est plus adaptée pour représenter cette divergence. Quelqu'un ici sait comment ça fonctionne ?
  • Bonjour octobre

    lorsque x tend vers 1 à droite (par valeurs supérieures) ta fonction f diverge vers - oo (limite infinie)
    lorsque x tend vers 1 à gauche (par valeurs inférieures ) ta fonction f diverge vers + oo (limite infinie
    la droite d'équation x = 1 est asymptote verticale à la courbe représentative (hyperbole) de la fonction f

    ta valeur - 1/12 n'est certainement pas une limite ni une somme partielle
    mais une image obtenue par prolongement analytique
    de la fonction Zéta de Riemann aux valeurs négatives de la variable
    image non calculée par un développement en série qui n'existe pas
    mais grâce à ses relations avec la fonction Zéta alternée

    Cordialement
  • octobre
    Modifié (June 2023)
    Bonjour Jean lismonde,
    lorsque x tend vers 1 à droite (par valeurs supérieures) ta fonction f diverge vers - oo (limite infinie)
    lorsque x tend vers 1 à gauche (par valeurs inférieures ) ta fonction f diverge vers + oo (limite infinie
    Chaque fonction a une manière bien particulière de diverger, tout comme les séries, où nous ne traitons pas avec le même type d'infini.
    En fait, je cherche à représenter cette limite de divergence de fonction en une série M divergente soit à droite ou à gauche. et Je veux trouver une série qui produit le même type d'infini que f. En d'autres termes, si j'ai un calcul de limite avec d'autres fonctions ou séries, j'obtiendrai le même résultat en utilisant f ou M. Je pense qu'il existe une infinité de séries M possibles, mais je veux une M particulière où je peux attribuer une valeur finie égal à 1, comme celle de Ramanujan.
  • octobre
    Modifié (June 2023)
    Bon par exemple je peux dire qu'il y a une équivalence entre $S$ et $\lim_{{x \to +\infty}} g(x)$, avec  $g(x) = \frac{x \cdot (x + 1)}{2}$
    Car On a : $S_n = 1 + 2 + 3 + \ldots + n  = \sum_{k=0}^{n} k = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}$
    Et
    $\lim_{{x \to +\infty}} g(x) = \lim_{{n \to +\infty}} S_n$, je ne sais pas dans ce cas si c'est égal ou juste équivalent, mais dans les deux cas, cela résout le problème.
    Donc  $S=1 + 2 + 3 + \ldots=\lim_{{x \to +\infty}} g(x)$ avec $S$ ayant une sommation de Ramanujan $-1/12$.
    Et je peux choisir une infinité d'autre $S_n$ qui seront équivalentes avec des sommations  de Ramanujan différentes :D
    Donc je pense qu'on peut faire la même chose pour trouver la série équivalente à $\lim_{x \to 1} f(x)$, en la transformant  en $\lim_{x \to 1} f(x)=\lim_{{x \to \infty}} h(x) $
  • bisam
    Modifié (June 2023)
    Tu utilises des mots qui ressemblent à des mathématiques, mais ce que tu racontes n'a aucun sens car tu ne sais pas de quoi tu parles... ou tout du moins, tu ne sais pas l'expliquer !
    Peut-être devrais-tu déjà te concentrer sur les "procédés de sommation des séries divergentes", par exemple détaillés par Zamansky, et ensuite, une fois que tu auras mieux formulé ta question (s'il en reste une), revenir la poser.
  • octobre
    Modifié (June 2023)
    @bisam
    Bien sûr, vous pouvez essayer de trouver la solution 2. Ici, le puzzle est bien formulé. :D
    Tu peux oublier les dernières phrases et se concentrer uniquement sur la recherche de la solution 2. :*
    https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2434483#Comment_2434483

    Quand je dis "Je cherche une sommation de Ramanujan", je veux dire qu'il faut utiliser les méthodes mathématiques qui justifient cette somme $1 + 2 + 3 + \ldots = -1/12$ et qui sont mentionnées dans le lien que vous avez fourni et que je vous remercie pour.
  • Suis le conseil de @bisam, donne du sens à la question 2 (qui en l'état n'en a pas), et elle aura une (même beaucoup de) réponse(s) intéressante(s).
  • octobre
    Modifié (June 2023)
    Ok je commence depuis le départ.
    Question 1.
    Je souhaite trouver une équivalence pour une série divergente $S$ (dont la sommation de Ramanujan est égale à $-1/12$) avec la limite lorsque $x$ tend vers l'infini de $g(x)$, où $g(x)$ est définie comme $g(x) = x(x+1)/2$.
    Solution 1.
    Je peux dire qu'il y a une équivalence entre $S$ et $\lim_{{x \to +\infty}} g(x)$, où $g(x) = \frac{x \cdot (x + 1)}{2}$.
    Parce que nous avons :
    $S_n = 1 + 2 + 3 + \ldots + n = \sum_{k=0}^{n} k = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}$
    Et $\lim_{{x \to +\infty}} g(x) = \lim_{{n \to +\infty}} S_n$, je ne suis pas sûr dans ce cas si c'est égal ou simplement équivalent, mais dans les deux cas, cela résout le problème.
    Donc $S=1 + 2 + 3 + \ldots=\lim_{{x \to +\infty}} g(x)$ avec $S$ ayant une sommation de Ramanujan égale à $-1/12$.
    Et je peux choisir un nombre infini d'autres $S_n$ qui seront équivalents mais avec des sommes de Ramanujan qui ne sont pas égales à $-1/12$.
    Par exemple, $S_n = \frac{n^2 \cdot (n + 1)}{2(n - 1)}$.
    Donc $\lim_{{x \to +\infty}} g(x)$~ $\lim_{{n \to +\infty}} S_n$, mais $S_n$ n'aurait pas une sommation de Ramanujan égale à $-1/12$.
    Quand je dis "Je cherche une sommation de Ramanujan", je veux dire qu'il faut utiliser les méthodes mathématiques qui justifient cette somme $1 + 2 + 3 + \ldots = -1/12$ et qui sont mentionnées dans ce lien : http://www.numdam.org/item/MSM_1954__128__1_0.pdf
    Question 2.
    $ M(v) = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}}$ avec $m_0 = 10000$, $c = 3 \times 10^8$.
    Donc je pense que nous pouvons faire la même chose pour trouver la série équivalente $S$ pour $\lim_{v \to c} M(v)$ en la transformant en $\lim_{v \to c-} M(v) = \lim_{{x \to \infty}} g(x)$.
    Je souhaite trouver une équivalence pour une série divergente $S$ (dont la sommation de Ramanujan est égale à $m_0$) avec la limite lorsque $x$ tend vers l'infini de $g(x)$.
    Trouver la solution 2 ?
    Il existe plusieurs méthodes pour attribuer une valeur à une série divergente. Voici quelques-unes des méthodes les plus couramment utilisées :
    La méthode de la sommation de Césaro : Cette méthode consiste à prendre les moyennes des sommes partielles de la série pour obtenir une valeur de convergence. On calcule la moyenne des sommes partielles jusqu'à un certain rang, puis on répète le processus pour des rangs de plus en plus grands.
    Si cette suite de moyennes converge vers une valeur, on attribue cette valeur à la série. Cependant, il est important de noter que cette méthode ne fonctionne pas pour toutes les séries divergentes.
    La méthode de la sommation d'Abel : Cette méthode est similaire à la méthode de Césaro, mais utilise la notion de convergence d'une série de termes généralisés. On multiplie les termes de la série par une suite convergente et on prend la somme de ces termes. Si cette somme converge vers une valeur, on attribue cette valeur à la série divergente.
    La régularisation de la série : Cette méthode consiste à assigner une valeur à une série divergente en introduisant des termes régularisants qui rendent la série convergente. Par exemple, on peut ajouter des termes d'une série convergente à la série divergente pour obtenir une série convergente. La valeur attribuée à la série divergente est alors la somme de la série convergente ainsi obtenue.
    La méthode de Borel : Cette méthode utilise la transformée de Borel pour attribuer une valeur à une série divergente. La transformée de Borel permet de transformer une série en une fonction analytique, et on peut alors évaluer cette fonction analytique pour obtenir une valeur.
    Ces méthodes ne sont pas toujours applicables et peuvent fournir différentes valeurs selon la méthode choisie. Il est important de noter qu'attribuer une valeur à une série divergente est un sujet complexe et que différentes approches peuvent donner des résultats différents.
    La somme de la série $1 + 2 + 3 + ...$ est une série divergente dans le sens classique des sommes partielles. Cependant, il existe une méthode de régularisation appelée la régularisation de Ramanujan ou la sommation de Ramanujan qui attribue la valeur $-1/12$ à cette série.
    La régularisation de Ramanujan est basée sur des techniques mathématiques avancées, notamment la régularisation zêta de Riemann. Elle consiste à appliquer des manipulations algébriques et analytiques à la série pour lui attribuer une valeur régularisée.
    La méthode de régularisation de Ramanujan a été utilisée dans le cadre des mathématiques avancées et de la physique théorique, notamment en théorie des cordes et en physique quantique.
    Il est important de noter que l'attribution de la valeur $-1/12$ à la série $1 + 2 + 3 + ...$ est une interprétation spécifique basée sur la régularisation de Ramanujan, et cette valeur ne représente pas la somme classique de la série divergente selon les règles de la sommation ordinaire.
    Donc, je souhaite plutôt l'utilisation de la régularisation zêta de Riemann pour trouver m₀ comme pour trouver $-1/12$ de $1+2+3...$ Sinon, s'il n'est pas possible de l'utiliser pour trouver $m0$, nous pouvons choisir une autre méthode.
    Puisque c'est une équation physique,et je veux un sens physique:
    Voici la méthode la plus couramment utilisée pour attribuer une valeur à une série divergente en physique  c'est la méthode de la régularisation. Cela inclut des techniques telles que la régularisation dimensionnelle, la régularisation de renormalisation et la régularisation de la somme d'Euler-Maclaurin.
    La régularisation dimensionnelle est largement utilisée en physique des particules et en théorie quantique des champs. Elle consiste à étendre l'espace-temps à un nombre non entier de dimensions, puis à effectuer les calculs mathématiques dans cet espace étendu. Cela permet d'éviter les divergences présentes dans les calculs en dimension classique et d'obtenir des résultats finis et significatifs.
    La régularisation de renormalisation est une méthode utilisée en physique des particules, en théorie quantique des champs et en physique statistique. Elle consiste à réécrire les équations de base de la théorie en introduisant des paramètres qui représentent les corrections de renormalisation. Ces paramètres permettent de gérer les divergences et d'obtenir des résultats finis et physiquement significatifs.
    La régularisation de la somme d'Euler-Maclaurin est utilisée dans divers domaines de la physique, tels que la théorie des cordes, la théorie quantique des champs et la physique statistique. Elle consiste à appliquer une formule basée sur la somme partielle d'une série et des intégrales pour attribuer une valeur régularisée à la série divergente.
    Ces méthodes de régularisation sont essentielles pour traiter les divergences qui apparaissent dans de nombreuses théories physiques et permettent d'obtenir des résultats cohérents et significatifs. Cependant, il est important de noter que le choix de la méthode de régularisation dépend du contexte spécifique de la théorie et de la nature des divergences rencontrées.
    Le but est de trouver $ Sn=a0+a1+a2...an$ divergente ou g(x) est connu et vérifie  deux chose que: $\lim_{{x \to +\infty}} g(x) = \lim_{{n \to +\infty}}S_n$ et S=a0+a1+a2....=une valeur choisi et calculer par la méthode de régularisation d'une série pour le rendre fini .
    Dans la question 1 j'ai $g(x) = x(x+1)/2$ et je demande une équivalence ou une égalité entre celle-ci et une série $S_n$ inconnue dont $S=a0+a1+a2....$ divergente, et la valeur que je choisi est $-1/12$ .
    Donc, la solution 1 démontre que la première et la deuxième condition, sont vérifies par la série $S_n=1+2+3+...n$.
    Car  $\lim_{{x \to +\infty}} g(x) = \lim_{{n \to +\infty}}S_n$ et  la méthode de la régularisation zêta de Riemann donne bien -1/12.
    Il existe une infinité de $ S_n$ avec $g(x)$ qui vérifie la condition  $\lim_{{x \to +\infty}} g(x) = \lim_{{n \to +\infty}}S_n$, mais pas beaucoups qui peuvent remplir la condition égal à $-1/12$ par exemple $S_n=b0+b1+b2...=\frac{n^2 \cdot (n + 1)}{2(n - 1)}$  ou  $S_n=c0+c1+c2...=\frac{n^3 \cdot (n + 1)}{2(n+2)(n - 1)}$ ...
    Dans la question 2: je cherche la même chose mais d'abord il faut trouver g(x) a partir de M(v)  telque  $\lim_{v \to c-} M(v) = \lim_{{x \to \infty}} g(x)$ et la valeur choisi pour $S=a0+a1+a2...$ est $m_0$.
    ...
    Avez-vous compris ou avez-vous besoin de plus d'explications ?
  • Hello, j'ai compris la partie générée par CHATGPT mais pas la tienne
  • octobre
    Modifié (June 2023)
    Bonjour,
    Vous n'avez pas compris quoi ? :D
    Avez vous compris la question 1 et la solution 1? ;)
    J'ai édité la réponse.

    Je comprends bien la difficulté de la question 2. Il est difficile de trouver, à partir d'une somme S_n en fonction de n, les termes $a_0+a_1+a_2+...+a_n$.

    De plus, même si on les trouve, il n'est pas garanti que la régularisation par une série équivaut à $ m_0$. C'est pourquoi on évite de répondre et on indique que l'énoncé n'est pas clair.

    Bon si vous n'arrive pas a trouver$ S_n=a_0+a_1+a_2...a_n$ qui vérifie les deux conditions, je vais vous faciliter la tâche encore et encore.

    Physiquement, il est possible d'appliquer plusieurs séries simultanément. :D
  • Ce que je comprends de ta question c'est que tu ne comprends pas toi-même ce que tu dis. Bon courage !
  • octobre
    Modifié (June 2023)
    troisqua a dit :
    Ce que je comprends de ta question c'est que tu ne comprends pas toi-même ce que tu dis. Bon courage !
    Je comprends de votre réponse que vous évitez de répondre, même si vous avez bien compris la question.
    Habituellement, lorsqu'on ne comprend pas quelque chose, on cherche une explication. Mais quand on ne veut pas répondre, on fait semblant de rien comprendre pour éviter de répondre..

    Bon pour expliquer plus le puzzelle : J'ai une fonction $ g(x)$ qui diverge vers l'infini quand $ x$tend vers l'infini tel que$ \lim_{{x \to +\infty}} g(x) =+\infty $.

    je dis tout simplement que $ \lim_{{x \to +\infty}} g(x) = \lim_{{n \to +\infty}}S_n=S=+\infty$ et $ g(n)$serait une somme d'une série$g(n)=S_n=a_0+a_1+a_2...a_n$ .

    Et je veux que $S_n$ a une régularisation de série égale a quelque chose que je choisi avec $g(n)$ ou une autre fonction équivalente au voisiniage de l'infini il existe une infinité .

    Dans la question 1 , c'est $ -1/12$ vérifie pour $g(n)=n(n+1)/2=S_n$ donc c'est la bonne et non vérifié pour autres fonctions équivalentes au voisinage de l'infini par exemple $n^2/2$~ $g(n)$.

    Et dans la question 2 la condtion c'est $m_0$ et il faut trouver $g(x)$ pour trouver des sommes $S_n$ et les tester pour tomber sur $m_0$ en choisiant plusieurs fonction équivalente a $g(n)$ au voisinage de l'infini.

    Et Je peux trouver facilement $g(x)$ je pose $ x=1/(c-v)$ donc $v=c-1/x$ donc  $g(x)=M(c-1/x )$ 

    Pour information La régularisation de la série : Cette méthode consiste à assigner une valeur à une série divergente en introduisant des termes régularisants qui rendent la série convergente. Par exemple, on peut ajouter des termes d'une série convergente à la série divergente pour obtenir une série convergente. La valeur attribuée à la série divergente est alors la somme de la série convergente ainsi obtenue.

    Dans la question 1 La régularisation de zêta de Riemann donne $-1/12$, dans la question 2 il faut chercher une serie Sn qui donne une régularisation de la série égal $m_0$.

    Si vous n'avez pas compris quelque chose , je peux faire plus d'explication...


    Alors tu ne comprends pas toujours et tu vas encore faire semblant de ne rien comprendre ?
  • octobre
    Modifié (June 2023)
    Voici où je suis bloqué : J'arrive à trouver facilement $g(x)$ pour la question 2. Je pose $x=1/(c-v)$, donc $v=c-1/x$. Donc $g(x)=M(c-1/x)$.
    Donc j'ai $S_n=g(n)=M(c-1/n)$. Donc ici, je peux construire une infinité de fonctions équivalentes à $g(n)$ au voisinage de l'infini pour tester où je tombe sur $m_0$.
    Mais le problème est-il possible d'appliquer la régularisation de la série directement sur la somme $S_n$ en fonction de $n$, pour rapidement trouver la bonne somme $S_n$ qui donne $m_0$ quand $S_n=M(c-1/n)$ ou $S_n\approx M(c-1/n)$, ou est-il obligatoire de connaître le terme de la suite $a_n$ tel que $S_n=a_0+a_1+a_2+\ldots+a_n$ ?
    En tout cas, dans la solution 2, quand on trouve la bonne somme $S_n$ en fonction de $n$ qui donne $m_0$, il faut aussi trouver le terme $a_n$.

    Édit. Cool, on a : $a_n = S_n - S_{n-1}=M(c-1/n)-M(c-1/(n-1))$, non ?
    Et on peut même calculer $a_0$ et $a_1$ même s'ils ne sont pas définis par un calcul de limite.
    Reste plus qu'à faire la régularisation de la série $S_n=a_0+a_1+a_2...a_n$ pour voir ce que ça donne comme valeur finie. Si elle n'est pas égale à $m_0$, il faut essayer une autre fonction équivalente à $M(c-1/n)$ .
    Juste pour rire.
    Dépêchez-vous de trouver la série. Ma machine temporelle a juste besoin qu'on lui implante cette série pour faire un voyage dans le temps et voir les dinosaures. Après ça, je ne viendrai plus vous déranger, car je n'aurai plus le temps, car je vais voyager dans le temps partout...  :D
  • troisqua
    Modifié (June 2023)
    "Dépêchez-vous de trouver la série."
    Mais oui bien évidemment, on est tous suspendus à tes "problèmes" de génie :)
    Bon délire à toi et belle journée !
  • octobre
    Modifié (June 2023)
    J'ai une question mathématique qui n'a rien de délirant :D
     On a $Sn=a_1+a_2+a_3...+a_n$ avec  $a_n = S_n - S_{n-1}=M(c-1/n)-M(c-1/(n-1))$ et $ M(n) = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \left(\frac{n}{c}\right)^2}}$ Dans le lien ci-joint, on parle de différentes méthodes pour attribuer une valeur finie à une sommation divergente.
    https://fr.wikipedia.org/wiki/Série_divergente
    Existe-t-il des méthodes de sommation des séries divergentes qui respecte la régularité, la linéarité et la stabilité, et qui donne une valeur finie à cette somme divergente $S_n$ ?
    troisqua
    Je ne comprends pas pourquoi, pour une question mathématique très simple, on tourne en rond sans répondre ou en faisant semblant de ne pas comprendre la question. Je pense que cela est dû au fait que les mathématiciens n'apprécient pas ces méthodes qui ne respectent pas suffisamment les principes mathématiques, même si elles donnent de bons résultats en physique. :D
    Cela me fait rire, cette attitude des mathématiciens. Pour eux, une série divergente les ramène vers leur dieu ultime imaginaire des mathématiques : l'infini. Il faut rester là.
    Et quiconque qui cherche à représenter leur dieu pour trouver une solution réelle sera considéré comme un blasphémateur et sera détesté, car on croit qu'on ne peut pas imaginer le Dieu des mathématiques, l'infini. :p
  • JLapin
    Modifié (June 2023)
    octobre a dit :
    J'ai une question mathématique qui n'a rien de délirant :D
     On a $Sn=a_1+a_2+a_3...+a_n$ avec  $a_n = S_n - S_{n-1}=M(c-1/n)-M(c-1/(n-1))$ et $ M(n) = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \left(\frac{n}{c}\right)^2}}$
    Dans ta définition de $S_n$, se trouve $a_1$ et $a_1$ n'existe pas (dans $\R$) car $M(c-1/0)$ n'a pas de sens (à cause d'une division par $0$) donc à ce stade, ta question est délirante. :D
  • troisqua
    Modifié (June 2023)
    @octobre :
    Nicolas Boileau a dit : « Ce que l’on conçoit bien s’énonce clairement ».
  • octobre
    Modifié (June 2023)
    JLapin Ce n'est pas un problème, car $a_2$, $a_3$, $a_4$..$a_n$  existent, et même $a_1$ et $a_2$ Leurs valeurs limites sont bien finie.

     Car on a:

     $a0=\lim_{n \to 0}M(c-1/n)-M(c-1/(n-1))=0-M(c-1/(0-1))$
     $a1=\lim_{n \to 1}M(c-1/n)-M(c-1/(n-1))=M(c-1/1)-0$

    Donc pour $n=0$ : $a0=M(c+1)$ et pour $ n=1$ :$a1=M(c-1)$ et pour $n>1$ :$an=M(c-1/n)-M(c-1/(n-1))$

    @troisqua
     Le dernier message est assez clair.

    La morale de la science  dit que lorsque l'on ne comprend pas quelque chose, il ne suffit pas de dire qu'on ne comprend pas ou faire semblant de rien comprendre, mais il faut chercher à comprendre ou aider l'autre pour que son idée soit compréhensible.

    Vous oubliez peut-être que nous sommes dans un forum d'aide pas devant une communauté de lecteur peer to peer, et beaucoup de personnes ont du mal à formuler clairement leurs idées et recherchent des réponses. En d'autres termes, on ne devrait pas simplement dire à quelqu'un qu'il raconte n'importe quoi sans chercher à l'aider à formuler correctement son idée, afin de la comprendre et de fournir une réponse appropriée.

    Je pense que Nicolas Boileau son message est valable pour une communauté de lecteur peer to peer pas pour un forum d'aide en mathématique.
  • @octobre : ton $M$ est défini sur $[-c;c]$. Donc si $n\to0$ (comme tu l'écris !!!), alors $c-1/n$ tend vers $\pm\infty$ et donc impossible de lui appliquer $M$. Comprends-tu que tes messages sont des moulins à conneries ou bien doit-on être encore plus brutaux ?
  • JLapin
    Modifié (June 2023)
    octobre a dit :
    Vous oubliez peut-être que nous sommes dans un forum d'aide pas devant une communauté de lecteur peer to peer, et beaucoup de personnes ont du mal à formuler clairement leurs idées et recherchent des réponses. En d'autres termes, on ne devrait pas simplement dire à quelqu'un qu'il raconte n'importe quoi sans chercher à l'aider à formuler correctement son idée, afin de la comprendre et de fournir une réponse appropriée.
    Je te propose mon aide sous la forme du conseil suivant qui est très utile quand on débute en mathématiques comme toi (ou quand on reprend l'étude de certaines parties des maths à partir d'un bagage quasi inexistant) : définis proprement les choses, en utilisant des quantificateurs, et n'hésite pas à te servir de plusieurs lettres de l'alphabet pour tes variables muettes car pour l'instant, tu utilises $n$ presque partout et c'est difficilement compréhensible.
  • octobre
    Modifié (June 2023)
    [Inutile de recopier l'avant dernier message. AD]
    Ok, je comprends. En physique, on peut contourner cette difficulté, car le zéro n'existe pas physiquement.
    On peut choisir une valeur très petite la plus porche du zéro, pour $n=0$ , $c - 1/n$ pour rester dans l'intervalle $[-c,c]$ pour calculer $a_0$.
    Et on peut faire la même chose avec $n=1$ pour calculer une approximation physique de $ a_1$.
    Cela permet de définir des valeurs de $a_0$ et $a_1$ qui sont plus proches de la physique que des mathématiques.
    En résumé, je me sers de la physique pour sortir de cette impasse mathématique qui rend mon expression divergente avec l'apparition de l'infini à cause du zéro qui n'existe pas physiquement.
    Il est vrai que si l'on choisit n = 0 dans cette expression c - 1/n, cela tendra vers moins l'infini, mais physiquement, je peux choisir $0 = 3.10^-8$ pour éviter ce problème en imposant une condition physique que le 0 n'existe pas physiquement.
    Après tout, le but de la régularisation et de la normalisation est d'imposer des conditions physiques à une expression divergente pour la rendre finie, rien n’empêche d'imposer une condition physique sur $a_0$ et $a_1$. Si tu ne comprends pas ce que je veux dire, je peux fournir plus d'explications.
    En faisant cela pour définir des valeurs plus physiques que mathématiques pour $a_0=\lim_{n \to 0}M(c-1/n)-M(c-1/(n-1))=M(0)-M(c-1/(0-1))$
    et $a1=\lim_{n \to 1}M(c-1/n)-M(c-1/(n-1))=M(c-1/1)-M(0)$
    Et pour $n>1$, $a_n=\lim_{n \to 0}M(c-1/n)-M(c-1/(n-1))$.
    Pouvez-vous répondre à ma question ensuite ?
  • Si tu fais ça, alors ton $n$ sera peut être très "loin" de 0. Et puis tu sommes sur des entiers $n$ et donc faire tendre $n$ vers 0 sans qu'il ne tende vers $0$ (à cause de la contrainte sur la définition de $M$) tout en le prenant entier, parce que sinon, la sommation n'a pas de sens, on nage dans le n'importe quoi, l'absurde complet. Mais si ça te plaît ce genre de délire, pourquoi ne demandes-tu pas à chatgpt, puisque lui il s'en fiche du sens de ce que tu dis et il te répondra systématiquement.
    On ne peut pas répondre à une non question mais chatgpt, lui, il peut.
  • octobre
    Modifié (June 2023)
    Pourquoi ne pas le faire  c'est juste pour calculer $a_0$ et $a_1$?
    Je cherche une valeur réelle la plus proche de 0 pour l'expression, et je pense qu'elle est égale à 3.10^-8  et je peux justifier ça par des contraintes  physiques, nous avons le droit de faire des approximations physiques, par exemple en considérant 0=3.10^-8 car le 0 n'existe pas physiquement.

    Et Je ne pense pas qu'il y ait de problème, pour utliser l'équivalence de calcul entre les limites réelles et entières pour calculer juste $a_0$ et $a_1$.

    La sommation aura un sens si elle est régulière, linéaire et stable. J'ai le droit de procéder à cette manipulation sur $a_0$ et $a_1$ dans ce cas.

    Pour info $R(1+2+3...)=R(1)+R(2)+R(3)....=-1/12$ dans la sommation de ramanujan car $R$  est régulière, linéaire et stable.

    Donc je reforumle la question pour $S_n=a_2+a_3+a_4...a_n$ tout les termes $a_n$ dans ce cas existe, trouver une régularisation régulière, linéaire et stable $R$ tel que $a0+a1+R(S)=m_0$

    Ici il n' y a pas de problème a le faire pour les mathématciens même si ils ne sont pas d'accord pour le calcule physique de $a_0$ et $a_1$ non?
  • JLapin
    Modifié (June 2023)
    octobre a dit :
    Donc je reforumle la question pour $S_n=a_2+a_3+a_4...a_n$ tout les termes $a_n$ dans ce cas existe, trouver une régularisation régulière, linéaire et stable $R$ tel que $a0+a1+R(S)=m_0$
    Ici il n' y a pas de problème
    Ici, il y a un énorme problème : on ne comprend rien à tes définitions et notations.
    Pour te faire comprendre, définis proprement tes objets en utilisant des quantificateurs et plusieurs lettres de l'alphabet.
    Et pitié, évite les définitions à tiroirs telles que $S_n$ est telle que $a_n$  est telle que ...
    Le lecteur matheux moyen s'attend à voir la définition de l'objet avant qu'il soit manipulé dans une expression.
  • octobre
    Modifié (June 2023)
    Ok dites-moi si c'est correct ainsi.
    Dans le message 14  je pose plutôt $x+2=1/(c-v)$, donc $v=c-1/(x+2)$ comme ça je n'aurais aucun problème avec $n=0$ et $n=1$.
    :DEt voici l'énoncé d'exercice.
    Soit la fonction  $M(v) = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}}$  avec  $v \in [-c;c]$ et $m0\in \mathbb{R^+}$ et $ c=3.10^8$.
    Soit la suite$(U_n)$ de terme général  $U_n = M(c-1/(n+2))-M(c-1/(n+1))$, avec $n \in \mathbb{N}$
    Soit la série de terme général $S_n$ défini par $S_n=U_0+U_1+U_2+\dots+U_n$.
    Soit $S$ une somme de série défini par   $S=U_0+U_1+U_2+\dots$
    Soit $R$ une régularisation régulière, linéaire et stable  vérifiant cette équation (ici, je ne suis pas sûr. Faut-il appeler cela sommation ou régularisation pour être plus correct mathématiquement ?  Je cherche une méthode de sommation qui donne de bons résultats en physique.)
    $ R(S)=m_0$.
    Question. Trouver R ?
  • troisqua
    Modifié (June 2023)
    "Je cherche une méthode de sommation qui donne de bons résultats en physique".
    Ça veut dire quoi ça ?
  • noobey
    Modifié (June 2023)
    En mathématiques et en physique, la régularisation et la sommation sont deux concepts différents.
    La régularisation fait référence à une technique utilisée pour rendre des expressions mathématiques ou des opérations mieux définies ou plus stables. Elle est souvent utilisée lorsque des quantités divergentes ou mal définies apparaissent dans un calcul. En général, la régularisation vise à introduire une forme régulière ou un paramètre de régularisation dans l'expression afin d'obtenir des résultats finis et significatifs.
    D'autre part, la sommation fait référence à l'opération mathématique de l'addition de termes d'une série. Lorsqu'une série diverge, il peut être nécessaire d'utiliser des techniques de sommation pour attribuer une valeur à la série, même si elle ne converge pas dans le sens habituel. Différentes méthodes de sommation existent, telles que la sommation de Cesàro, la sommation d'Abel, la sommation de Borel, etc.
    Dans le contexte de votre question, il semble que vous cherchiez une méthode de sommation qui donne de bons résultats en physique. Cependant, vous mentionnez également une "régularisation régulière, linéaire et stable" vérifiant une certaine équation. Sans plus de détails sur l'équation spécifique que vous souhaitez régulariser ou sommer, il est difficile de fournir une réponse précise.
    En physique, différentes techniques de régularisation et de sommation sont utilisées en fonction du problème spécifique rencontré. Par exemple, en théorie quantique des champs, la régularisation peut être réalisée à l'aide de méthodes de coupure, telles que la régularisation par coupure d'impulsion ou la régularisation par coupure de masse. Pour la sommation de séries divergentes, des méthodes telles que la sommation de Borel ou la sommation de Padé peuvent être utilisées.
    Il est important de choisir la méthode de régularisation ou de sommation appropriée en fonction du contexte physique et mathématique spécifique, et cela nécessite souvent une expertise dans le domaine concerné. Si vous pouvez fournir plus de détails sur le problème physique ou l'équation spécifique que vous souhaitez traiter, je pourrais peut-être vous donner des recommandations plus spécifiques concernant les techniques de régularisation ou de sommation à envisager.
  • Bibix
    Modifié (June 2023)
    Ce cher octobre pense encore malgré les explications qu'on lui a donné que l'effet Casimir est calculé en utilisant des méthodes de sommation alors que le calcul est rigoureux et repose sur des régularisations qui ont un sens physique (et qui donnent évidemment le même résultat que les maths).
    [Hendrik Casimir (1909-2000) prend toujours une majuscule. AD]
  • octobre
    Modifié (June 2023)
    Bon voilà ce que j'ai compris de la sommation de Ramanujan 1+2+3...=-1/12. Dites-moi si c'est correct ou pas.
    D'abord, cette sommation est régulière, stable et linéaire, car la façon de faire la sommation de 1+2+3... respecte certaines règles de sommation pour obtenir -1/12.
    Voici un lien qui montre cela plus clairement :
    https://accromath.uqam.ca/2019/01/une-somme-qui-seme-la-controverse/
    Ensuite, on parle de régularisation par la fonction de Riemann zêta pour obtenir également 1+2+3...=-1/12.
    Ce que j'ai compris, c'est qu'ici on ne considère pas 1, 2, 3... comme des nombres, mais comme des impulsions de Dirac car les fluctuations de vide sont plutôt des impulsions de Dirac . Ainsi, nous sommes dans le domaine des distributions, et cette somme d'impulsions 1+2+3+... donne aussi -1/12.
    Donc, en utilisant une sommation régulière, stable et linéaire ou en changeant notre façon de voir ces nombres 1, 2, 3..., avec une régularisation on obtient -1/12.
    Ici dans le lien wikipidia en mentionne ce pagraphe:
    "En physique théorique, dans de nombreuses situations, on ne peut calculer des solutions qu'au moyen de la théorie des perturbations, qui fournit des résultats sous la forme de séries qui sont le plus souvent divergentes ; l'utilisation de sommes partielles convenables donne cependant d'excellentes approximations numériques. De façon plus surprenante, les valeurs obtenues par des méthodes de sommation telles que la régularisation zêta ont souvent un sens physique, par exemple dans le calcul de l'effet Casimir"
    https://fr.wikipedia.org/wiki/Série_divergente
    En dit que l'utilisation de sommes partielles convenables donne cependant d'excellentes approximations numériques. De façon plus surprenante, les valeurs obtenues par des méthodes de sommation telles que la régularisation zêta ont souvent un sens physique
    Ici, je n'arrive pas à comprendre pourquoi on dit qu'une régularisation est une méthode de sommation. Ces deux concepts sont normalement différents, n'est-ce pas?
    Je pense que la sommation de Ramanujan est à la fois une sommation et une régularisation, n'est-ce pas car ils aboutissent au même resultat -1/12 ?
    Pour résumer ce que j'ai compris, dites-moi si c'est correct ou pas : ces méthodes de sommation qui attribuent une valeur finie à une série divergente utilisent des manipulations de cette expression de somme divergente auxquelles on n'a normalement pas le droit de recourir mathématiquement, afin d'obtenir une valeur finie.
    Il existe une infinité de manipulations possibles, mais on distingue des méthodes qui respectent certaines règles telles que la régularité, la linéarité et la stabilité.
    Et pour la régularisation, on se place dans le contexte physique et on essaie de comprendre ce à quoi ces nombres correspondent réellement, afin de changer notre facon de voir les choses pour calculer une somme divergente issus de la physique , d'où 1+2+3...=-1/12. Le contexte physique affirme que les fluctuations du vide sont des impulsions d'énergie, donc 1, 2, 3 ne sont pas des nombres, mais des impulsions de Dirac dont la somme vaut -1/12.
    Et dans certains cas en physique, comme l'effet Casimir, cette sommation et régularisation donnent le même résultat, -1/12.
  • Quelle sont les définitions de "méthode de sommation" et "régularisation" ? Quelle est la définition de la sommation de Ramanujan ? Qu'en déduis-tu ?
    Les définitions varient selon les auteurs, certains considérant que la sommation de Ramanujan n'est pas une méthode de sommation par exemple.
  • octobre
    Modifié (June 2023)
    ET pour ma question qui consiste a trouver $R(S)=m_0$

    D'abord, il faut chercher une sommation régulière, linéaire et stable qui vérifie cette équation.
    Pour info si cette somme est linéaire, il suffit de factoriser avec $m_0$ pour trouver  une sommation régulière, linéaire et stable ou $S_n/m_0$  égal 1.

    Puis on essaye de se placer dans un contexte physique où même en appliquant une série d'impulsions l'objet ne bouge pas pour accélérer, l'objet garde la même masse $m_0$ et reste immobile un petit moment, puis passe d'une vitesse $v=0$ directement à une vitesse v=c, afin de pouvoir également trouver une régularisation égale à cette sommation trouvée, Les OVNI font cela et lors de la phase immobile, ils lancent une série d'impulsions d'énergie qui perturbent les instruments à proximité pour aller d'une vitesse $v=0$ à$ v=c$.
  • octobre
    Modifié (June 2023)
    @Bibix
    Pour l'effet Casmir ou 1+2+3...=-1/12
    J'en déduis qu'on a trouvé une manipulation régulière, linéaire et stable de cette somme divergente 1+2+3... qui donne -1/12, c'est pourquoi on l'appelle la sommation de Ramanujan.
    Et en même temps, en se plaçant dans un contexte physique et en changeant notre manière de voir les choses, on considèrant les nombres 1, 2, 3... non pas comme de simples chiffres, mais comme des fluctuations du vide. On peut les représenter par des impulsions d'énergie de Dirac grâce à une régularisation de la fonction zêta de Riemann, ce qui nous permet également d'obtenir -1/12,c'est pourquoi en dit que 1+2+3...=-1/12 et aussi une régularisation.
    [Hendrik Casimir (1909-2000) prend toujours une majuscule. AD]
  • La sommation de Ramanujan dépend d'une fonction $f$ qui relie les termes $a_n = f(n)$ de la série divergente. Ce n'est donc pas une méthode de sommation tel que défini dans l'article de wikipédia. Dans le cas de $1+2+3+...=\frac{-1}{12}$, la valeur est indépendante du choix de la fonction $f$ (s'il est suffisamment raisonnable). Mais ce n'est pas toujours le cas.
  • octobre
    Modifié (June 2023)
    Il y a d'autres articles qui montrent comment on peut manipuler cette somme divergente 1+2+3... de manière régulière, linéaire et stable pour aboutir à -1/12. J'ai déjà vu une vidéo à ce sujet.
    Oui, Wikipedia n'est pas clair à ce sujet. Normalement, il ne s'agit pas d'une sommation qui donne une valeur finie à proprement parler, mais plutôt d'une régularisation de cette somme par des séries, qui peuvent également être trouvées par une sommation régulière, linéaire et stable pour obtenir la même valeur.
  • octobre
    Modifié (June 2023)
    Bon, avec la méthode de sommation de Cesàro, la serie $S_n$ diverge vers l'infini, donc elle ne converge pas au sens de Cesàro, comme c'est le cas pour 1+2+3...
    Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Sommation_de_Cesàro
    Mais existe-t-il une méthode de sommation où elle converge, comme pour 1+2+3... = -1/12 ?
  • octobre
    Modifié (June 2023)
    Bon j'ai reformulé le problème en langage mathématique pour être plus clair.
    Il est plus clair comme ça ou vous ne comprenez pas encore @noobeyBibixtr@troisquaJLapinbisam .
    Pourriez-vous répondre aux questions de ce problème ?
    Considérez la fonction :
    $M(v) = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \left(\frac{v}{c}\right)^2}} $, où $v \in ]-c;c[ $, $m_0\in\mathbb{R}^{*+}$, et $c=3.10^8$.
    Soit $(U_n)$ une suite avec un terme général $U_n = M\left(c-\frac{1}{n+2}\right)-M\left(c-\frac{1}{n+1}\right) $ où $n \in \mathbb{N}$.
    Soit la suite des sommes partielles $S_n$ définie comme $S_n = U_0+U_1+U_2+\ldots+U_n$.
    Soit $S$ la somme de cette série définie par $S = U_0+U_1+U_2+\ldots$.
    La série $S = U_0+U_1+U_2+\ldots=+\infty$ diverge vers l'infini et n'est pas sommable au sens de Cesàro, c'est-à-dire qu'elle ne converge pas au sens de Cesàro, tout comme la série $1+2+3+\ldots=+\infty$ (pour plus de détails, veuillez vous référer à l'article Wikipedia sur la sommation de Cesàro).
    https://fr.wikipedia.org/wiki/Sommation_de_Cesàro
    D'autre part, la série divergente $1+2+3+\dots$ peut être sommée en utilisant la méthode de sommation par régularisation zêta pour obtenir $-1/12$ (pour plus de détails, veuillez-vous référer à l'article Wikipédia correspondant ci-joint)
    https://fr.wikipedia.org/wiki/1_+_2_+_3_+_4_+_⋯
    Question de puzzle.
    Existe-t-il une méthode de sommation où la série divergente $S = U_0+U_1+U_2+\ldots$ converge vers une valeur finie ?
    Existe-t-il une méthode de sommation où la série divergente $S = U_0+U_1+U_2+\ldots$ converge vers une valeur finie égale à $m_0$ ?
    Pour votre information S représente la divergence de $M(v)$ à $v=c $ car à $v=c$, nous avons $M(c)=\lim_{v \to c-} M(v)$.
    Je pose $x+2=1/(c-v)$, donc $v=c-1/(x+2)$ Par conséquent :
    $M(c)=\lim_{v \to c-} M(v)=\lim_{{x \to +\infty}}M(c-1/(x+2))$.
    Ainsi, nous avons : $M(c)=\lim_{v \to c-} M(v)=\lim_{{x \to +\infty}}M(c-1/(x+2))=\lim_{{n\to +\infty}}M(c-1/(n+2))$.
    Je pose $S_n=M(c-1/(n+2))$ Donc $U_n=S_n-S_{n-1}$ donc $S_n = U_0+U_1+U_2+\ldots+U_n$ et $S = U_0+U_1+U_2+\ldots$.
    Donc on a : $M(c)=\lim_{v \to c-} M(v)=\lim_{{n\to +\infty}}S_n=S$.
    Donc $S$ représente bien la divergence de $M(v)$ à $v=c $.

    Juste pour rigoler :

    Si cette idée est exacte et qu'il est possible d'atteindre la vitesse de la lumière et de voyager dans le temps,je n'ai pas besoin de protéger cette idée, tout voleur de cette idée serait le plus grand tricheur de tous les temps, car peut-être que les OVNI que nous voyons sont des humains du futur qui ont pu aller loin avec cette idée... :D
  • octobre
    Modifié (July 2023)
    Voici une solution possible à la première question :
    https://mathoverflow.net/questions/449868/is-there-a-summation-method-where-the-divergent-series-s-u-0u-1u-2-dots-c/449945#449945
    Pourriez-vous ensuite trouver la solution de la deuxième question ?
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