Espace discret

Tamasushi

Bonjour

On nomme espace discret un ensemble  $X$ muni de la topologie discrète $P(X)$ l'ensemble des parties de $X$.

Mais comme on dit «espace discret» s'agit d'une propriété de l'espace $X$ ou de sa topologie ?
En soit, on pourrait très bien munir $\mathbb{R}$ de la topologie discrète.
Ou alors appelle-t-on espace discret un espace $X$ tel que si on définit une topologie sur $X$ alors c'est nécessairement la topologie discrète ? Et dans ce cas ce serait bien une propriété intrinsèque à l'espace lui-même et non plus à la topologie.
Enfin, si $X$ est infini, les éléments de $P(X)$ (à part $X$) peuvent-ils être infinis ou seulement la réunion finie de singletons ?
Merci.

Poirot

Oui, "être discret" est une propriété de la topologie. Dès que $X$ a au moins $2$ éléments, il existe des topologies non discrètes sur $X$. Les éléments de $\mathcal P(X)$ sont toutes les parties de $X$, finies et infinies.

Thierry Poma

Bonjour

Si $X$ est de type ensemble (infini ou non), $\mathfrak{P}(X)$ appartenant à $\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(X))$ est la plus riche en ouverts de toutes les topologies sur $X$ ; en particuliers les singletons sont ouverts pour cette topologie. Elle n'est pas très intéressante en vertu du fait qu'il y a beaucoup trop d'ouverts ; toute partie de $X$ est ouverte pour cette topologie. Les éléments de $\mathfrak{P}(X)$ sont à la fois ouverts et fermés pour cette topologie, ce qui la rend encore moins intéressante.

Tamasushi

Merci de vos réponses.

Thierry Poma

Si elle ne présente aucun intérêt du point de vue des topologies sur $X$, l'on ne peut s'en passer : considérons $\mathcal{P}\in\mathfrak{P}(\mathfrak{P}(X))$ qui n'est pas nécessairement une topologie sur $X$ (mais qui pourrait être une tribu sur $X$). L'ensemble $\mathfrak{S}_X$ des topologies sur $X$ incluant $\mathcal{P}$ n'est pas vide, vu que $\mathfrak{P}(X)$ est une telle topologie. Que dire de l’intersection de $\bigcap\limits_{\mathfrak{O}\in\mathfrak{S}_X}\mathfrak{O}$ ?

Math Coss

Thierry Poma a dit :

[La topologie discrète] n'est pas très intéressante en vertu du fait qu'il y a beaucoup trop d'ouverts.

Objection ! La définition de connexité, très importante, exprime que toute application continue vers un espace discret ayant (au moins) deux points est constante.

Thierry Poma

@Math Coss : bonjour. Je t'invite à relire ma première intervention. Effectivement, le cas que tu évoques est intéressant pour ne pas dire primordial. Et après ?

Math Coss

Eh bien, après on ne devrait plus dire que la topologie discrète n'est pas intéressante.

D'autres exemples ? La définition de « réalisation géométrique » d'un graphe ici ; la proposition 1.5 de cet exposé au séminaire Bourbaki (elle intervient via la topologie produit sur $X^X$ où $X$ est discret) ; l'exercice 3.4 de ce document ; les dix interventions de la topologie discrète dans ce cours ; toutes les études ou situations où on étudie un sous-groupe discret d'un groupe topologique ou de Lie (réseaux, rigidité, groupes arithmétiques...).