Différentiabilité d'une fonction

celrek19

[Celrek. Il ne faut pas créer deux discussions avec le même exercice. AD]

bonjour à tous après avoir fais la question 1-a) je bloque sur la question 1-b

D

celrek19

voici ce que j'ai fait pour 1-a)

celrek19

pour la question 1-b) j'essaie de montrer d'abord l'existence des dérivées partielles puis prouver leurs continuités 

mais je bloque sur la deuxième phase c'est a dire montrer la continuité des dérivées partielles; j'ai tenté d'utiliser la valeur absolue de la différences entre   la dérivée partielle de f par rapport à x évaluer en (x,y) et la dérivée partielle de f par rapport x évaluer en (0,0); mon but est de montrer que cette quantité est majorer par une expression qui tend vers 0 lorsque (x,y) tendent vers 0

celrek19

Je me suis bloqué ici après une majoration je n'arrive pas à conclure quant à la limite.

celrek19

j'ai pu trouver en fait je devais calculer la limites dans deux cas
1er cas x^2-y^2 différent de 0 
2ème cas x^2-y^2 égale à 0.

john_john

La fonction $f$ se décompose volontiers en la composée de deux applications de classe $\infty$ !

bd2017

Bonjour   $f$ est une fonction composée :   $(x,y) \mapsto u=x^2- y^2 \mapsto \dfrac{\sin(u)}{u} $

La première fonction est polynomiale donc aucun problème pour la régularité. 

La seconde prolongée  par continuité en $u=0$ et $C^{\infty }$  sur $\R.$   Donc tu peux récupérer la régularité pour $f$  en tous les points $(x,y)$  tels que $x^2-y^2=0 $   

celrek19

ah ouais c'est plus simple merci 

celrek19

pour déterminer la différentielle j'aurais besoin des différentielles partielles vue que je cherche à écrire la matrice jacobienne de f en (0,0) 
après calculs les différentielles partielles sont nulles en (0,0) ; la différentielle est donc la fonction nulle @bd2017.

celrek19

J'ai terminé mais je n'ai pas vraiment d'idée sur la dernière question  aide-zmoi svp

john_john

Pas besoin de calcul diff pour la question 2) ; il suffit de remarquer que le membre de gauche est compris entre $||OM||^2/16$ et $||OM||^2/4$ et cela permet d'encadrer $||OM||$ lorsque $M$ appartient à l'ellipsoïde $S$.