Distances dans $\R^3$

celrek19

Bonsoir à tous je bloque sur la question 1 
là où je dois prouver que la distance vérifie l’inégalité triangulaire

celrek19

Voici ce que j’ai tenté et j’ai aussi souligné la ou je bloquais dans ma démarche.

Poirot

Notons $f$ l'endomorphisme de $\mathbb R^3$ envoyant $(x,y,z)$ sur $(x/2, y/3, z/5)$. Alors pour tout $u, v \in \mathbb R^3$, $d(u,v) = ||f(u-v)||$ où $|| \cdot ||$ désigne la norme euclidienne. A partir de ça tu peux établir l'inégalité triangulaire facilement !

celrek19

okay j'essaie ça.

celrek19

@Poirot j'ai l'impression qu'il y a erreur dans ton indication on a affaire ici a une fonction à trois variables pourtant tu demandes la norme de f(u,v).

celrek19

ça devrait f(u,v,w) avec w dans R3 

Poirot

Oui pardon, je voulais écrire $f(u-v)$.

celrek19

merci 

bisam

Tu peux aussi prouver que cette norme est UNE norme euclidienne en trouvant un produit scalaire dont elle dérive.

celrek19

J’ai pu terminer

celrek19

Pour la question b j’essaie de trouver des inégalités mais j’y arrive pas quelqu’un pourrais m’aider

Barjovrille

Bonjour @celrek19 montre que : 
pour tout $x,y \in \mathbb{R}^3, d(x,y)^2 \leq \delta(x,y)^2$ et $\delta(x,y)^2 \leq 25 d(x,y)^2$ où $\delta$ est la distance euclidienne usuelle et conclu.

celrek19

ok j'essaie ça 

celrek19

j'ai une question pourquoi avoir choisi précisément le coefficients 25 pour la démonstration @Barjovrille
j'aurais pu prendre un  autre réel non nul qui me permettait de conclut n'est-ce pas ?? 

celrek19

Puisque nous avons affaire à des rationnels l'idée serait d'augmenter le nombre au numérateur de sorte à vérifier l'inégalité  2 
 comme 25 est le plus grand dénominateur ici mis en jeu il suffirait de prendre un nombre supérieur ou égale à 25 pour conclure
Est-ce que mon raisonnement est juste @Barjovrille  ?

Barjovrille

Oui c'est ça, (même si tu as des irrationnels tu peux appliquer la même idée il faut juste multiplier par un nombre assez grand) la question un peu plus dure c'est est ce qu'on peut trouver plus petit que 25, mais c'est un autre exercice.

celrek19

Je comprends merci pour votre aide 

celrek19

J’ai pu finir l’exercice regardez et donnez-moi des conseils au niveau de la rédaction svp

Barjovrille

@celrek19 , il y a plusieurs problèmes : 
1) Ca c'est pas très grave mais dans une démonstration évite d'utiliser forcément quand tu as écris "donc forcément", met juste donc ça suffit ce que tu as dis avant est assez clair (en général quand on dit forcément c'est qu'on n'est pas sûr et on se sent obliger d'ajouter une couche).

2) Dans la question de la complétude ce que tu dis n'est pas faux, mais vu la question précédente tu n'as pas le droit d'utiliser le résultat que tu as énoncé.
Tu dois le prouver. Donc il faut prouver que si $d$ et $\delta_2$ sont équivalentes et $(\mathbb{R}^3, \delta_2)$ est complet alors $(\mathbb{R}^3,d)$ est complet, tu peux (dois) t'aider de ce que tu as montré sur les suites de Cauchy.

3) Pour la question b)  c'est là où tu as fais le plus de fautes. Déjà Les boules dépendent des distances, donc pour que ça soit plus clair pour toi et tes lecteurs, indice les boules, $B_d$ pour une boule de la distance $d$ et , $B_{\delta_2}$ pour une boule de la distance $\delta_2$.
Et il y a des problèmes de quantificateurs ça ne traduit pas vraiment la bonne chose. Quand tu dis $\forall x,y \in \Omega, \exists r>0 , \delta_2(x,y)<r$ cette phrase est trivialement vraie (même sans parler de boule) et ce n'est pas ça qui te permettra de conclure.
Je reformule ce que tu dois prouver. Soit $\Omega$ un ouvert de $(\mathbb{R}^3,\delta_2)$, soit $x \in \Omega$, montre qu'il existe $r>0$ tel que $B_d(x,r) \subset \Omega$. Donc une fois que tu trouve un bon $r$ tu montres une inclusion comme d'habitude.
(Au lieu de mettre des pour tout, tu fixes des éléments quelconques, en disant soit $x$ ou soit $y$..., tu peux mettre des pour tout quand c'est facile mais la ce n'est pas facile)

Ps: Pour trouver le bon $r$ il faut utiliser la bonne inégalité tu as pris la mauvaise parmi les deux dans ce que tu as écris.

celrek19

okay merci j'essaie ça.