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Trouver le numéro d'une carte

Modifié (June 2023) dans Combinatoire et Graphes

Bonjour à tous
Je suis tombé sur ce petit problème d’apparence très simple mais qui reste pour moi une véritable énigme.

Nous avons devant nous un jeu de 28 cartes numérotées (face cachée) de 1 à 28 et nous devons découvrir le numéro de l’une d’entre elles (que l’on pourra choisir librement à la fin de l'interrogatoire ). Pour ce faire on propose à un robot un lot de 10 cartes, il nous livrera alors gracieusement mais sans commentaire le numéro de l’une d’elles. On peut renouveler l’opération à volonté jusqu’à ce que la mission soit accomplie. Est-on assuré de parvenir à nos fins sachant que le robot ne fera rien pour nous aider ?

Merci d'avance pour votre participation  :smile:
Domi.
«1

Réponses

  • Je ne suis pas certain d'avoir compris l'énoncé, mais je ne vois pas ce qui empêcherait le robot de toujours te donner un numéro qui est déjà sorti.
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Le numéro donné par le robot est celui d'une des cartes du lot .
    Domi 
  • Certes, mais si le robot décide de donner systématiquement le numéro d'une des cartes qui n'est pas celle que l'on cherche dans le lot ? Il faudrait préciser comment le robot "choisit", ou alors il manque des informations puisque le problème est clairement insoluble en l'état.
  • Modifié (June 2023)
    Oui, Soc, mais tu peux te battre. Tant que la réponse du robot est toujours la même, tu changes juste une carte. A un moment, il va forcément devoir te donner un nouveau numéro.
    Le combat va être long !
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Ce que j'ai compris, sans doute mal:
    Il y a 28 cartes noires sauf une qui est rouge. Elles sont numérotées de 1 à 28, mais le numéro reste caché pour nous. On tend 10 cartes au robot et il nous dit le numéro de l'une d'elle. On sait laquelle, ou l'on sait juste que le numéro est parmi les 10?
    Je ne vois cependant toujours pas comment tu peux échapper au fait que le robot choisisse au bout d'un moment de te donner un numéro qui ne te fournisse aucune information.
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Pour être plus explicite disons qu'au bout d'un moment tu connaisses tous les numéros sauf 9, le robot pourra toujours à partir de ce moment te donner un résultat que tu as déjà.
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • On peut proposer tous les lots de 10 cartes que l'on souhaite , le robot est tout de même un peu gêné .
    Domi
  • SocSoc
    Modifié (June 2023)
    Si le robot choisit au hasard, et que tu as une infinité de tirages, tu peux toujours invoquer la loi des grands nombres! Mais c'est beaucoup une infinité...
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Les propositions de 10 cartes sont en nombre fini et si GPT est un peu malin , il fournira toujours la même réponse à la même question .
    Domi
  • Modifié (June 2023)
    Bonjour.
    Tel que, le problème est analogue au suivant. Un compère choisit sans nous le dire, un nombre entier de 1 à 28. On propose autant de fois que l'on veut des suites de 10 numéros entre 1 et 28 à un programme qui en choisit 1 au hasard. Est-on assuré de deviner le bon numéro ?
    La réponse est évidemment non, car les réponses du programme ne changent pas la probabilité que chacun des nombres ait été choisi.
    En fait, ne manque-t-il pas la règle : "Si le numéro choisi est dans les 10, le robot le donne" ? Ou une règle analogue, qui fait que les réponses du robot donnent de l'information.
    Cordialement.
  • Il y a beaucoup de réponses en même temps , je rappelle qu'il faut simplement trouver le numéro d'une carte que l'on a choisi après l'interrogatoire .
    Domi
  • Rien compris.
  • J'ai 28 cartes.
    Je peux faire $N_0=\frac{28!}{18! 10!}$ paquets de 10 cartes , et donc poser $N_0$ questions au robot. Je pars du principe que ça ne sert à rien de poser 2 fois la même question, il me répondra 2 fois la même chose.
    Je pose donc mes $N_0$ questions, et je note toutes les réponses.

    Les 28 cartes sont en ligne devant moi, et la carte 'cible' est la carte la plus à gauche.
    Le robot a mis sa stratégie au point, il a isolé les 2 cartes de gauche, et il a décidé qu'il ne donnera jamais un de ces 2 numéros là. Il a de la marge, il pourrait même isoler les 9 cartes de gauche.
    A la fin de toutes mes questions, soyons optimiste, j'ai réussi à identifié les 26 autres cartes.
    Je sais donc que les 2 cartes de gauche portent les numéros A et B, mais dans quel ordre ?
    Je n'ai aucun moyen de trancher entre les 2 cartes de gauche.
    Le robot gagne. 
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Modifié (June 2023)
    Je simplifie car les réponses m'affolent :smile:

    J'ai trois cartes dont je ne connais pas le numéro, j'en propose deux à un robot qui me donne le numéro de l'une d'entre elles sans préciser laquelle. Je lui en propose deux autres et il me donnera à nouveau une réponse, ...
    Vais-je finir par trouver le numéro d'une des trois cartes ?
    Domi
    lourrran : il faut simplement trouver le numéro d'une carte
  • Modifié (June 2023)
    Bonjour, 
    En fait non, toujours pas si le robot joue bien.

    Exemple : je choisis la carte 3 
    Lorsque je donne 12 le robot dit 1
    Lorsque je donne 13 le robot dit 1
    A ce stade je suis contente, j'en déduis que ma carte n'est pas 1 et je sais quelle carte vaut 1 
    Lorsque je donne 23 le robot dit 2 ou dit 3 (peu importe).
    Je suis incapable de savoir si le robot a donné ma carte ou non donc je ne pourrais jamais déterminer entre 2 ou 3 le numéro de ma carte.
    In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
  • Ahhhh, 
    Dès qu'on connait le numéro d'une des cartes, on a gagné.
    J'avais compris comme SOC, il y a une carte rouge et 27 noires, et il faut trouver le numéro de la carte rouge. 
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • SocSoc
    Modifié (June 2023)
    Non, même si tu connais les numéros.
    Tu as 3 paires à lui proposer. S'il te donne 2 fois le même numéro tu identifies 1 carte (intersection). Dans le cas contraire il te donne 3 réponses différentes et il y a alors 2 répartitions différentes qui donnent les mêmes réponses, tu ne peux donc pas trancher.
    PS: il faut reformuler ton énoncé qui n'était pas clair du tout.
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Soc : quelle formulation proposes-tu ?
    Domi
  • Modifié (June 2023)
    @lourrran si c'est une des cartes, n'importe laquelle, le joueur est certain de gagner au premier tour, ce n'est pas passionnant.
    Perso, je trouvais la version de Soc avec les cartes rouges suffisamment explicite.
    In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
  • On dispose de 28 numérotés de 1 à 28. Elles sont alignées devant nous dans le désordre. Les numéros restent, pour nous, tout le temps cachés. Pour gagner il faut réussir à déterminer le numéro de n'importe laquelle d'entre elles. Pour cela on peut en avancer 10 devant un robot, qui nous donnera le numéro de l'une d'elle, sans préciser laquelle. On peut lui avancer autant de tas de 10 que l'on désire, mais le but du robot est de nous empêcher de trouver.
    Parviendra-t-on à remporter la partie?
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Ah je viens de comprendre le problème, il ne s'agit pas juste de dire le numéro X existe mais le numéro X existe et est attribué à telle carte peu importe laquelle. Effectivement ce n'était pas clair ou alors c'est moi qui comprend bizarrement.
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  • P(2,3) non. P(2,4) oui. P(10,28) je ne sais pas :)
    The fish doesnt think. The Fish doesnt think because the fish knows. Everything. - Goran Bregovic
  • Modifié (June 2023)
    Bonjour,
    Domi a déjà posé le problème sur ilemath. Il y avait les mêmes ambiguïtés, je leui ai fait préciser https://www.ilemaths.net/sujet-trouver-un-seul-numero-887480.html .
    Une approche qui ne suffit pas : On suppose qu'on a $N$ cartes et qu'on peut demander le numéro d'une carte appartenant à un paquet de 10. On fait ça pour tous les paquets de 10 possibles, soit $C_N^{10}$.
    Il y a au moins un numéro qui ressort un nombre de fois supérieur ou égal à $C_N^{10}/N$. Les paquets de 10 correspondants ne peuvent avoir une autre carte en commun que si ce nombre de paquets de 10 est inférieur ou égal à $C_{N-2}^8$. Le premier entier $N$ tel que $C_{N-2}^8 < C_N^{10}/N$, soit $N-1>\dfrac{10!}{8!}$, est 92.
    On est encore loin de 28. Il faut aller au-delà de cette approche simpliste.

  • On peut commencer petit.
    Avec des paquets de deux cartes au lieu de 10, s'il y a $N=3$ cartes en tout on ne peut pas s'en sortir et avec $N=4$ cartes ça marche. $4-1 > \dfrac{2!}{0!}$.
    Avec des paquets de trois cartes ça marche pour $N=8$, le premier entier tel que $N-1>\dfrac{3!}{1!}$. Et avec$N=7$, est-ce qu'on s'en tirerait ?
  • Modifié (June 2023)
    Je me réponds : oui, avec $N=7$, ça marcherait.
    On a 35 parties à 3 cartes. Si un des 7 n° apparaît 6 fois ou plus, c'est gagné : on peut identifier la carte qui porte de n°.
    Supposons alors que chaque n° apparaîsse 5 fois. Si on ne peut pas identifier la carte n°1, c'est que les cinq paquets de 3 pour lesquels le n°1 a été nommé ont deux cartes en commun, une carte en plus du 1. Mezalor cette autre carte peut être identifiée par les cinq paquets de 3 pour lesquels son n° a été donné.
    Et avec $N=6$, est-ce que ça marcherait ?
  • Modifié (June 2023)
    Par contre, ce qui est sûr c'est quavec $N=5$ ça ne marche pas :
    123 -> 1
    124 -> 1
    125 -> 5
    134 -> 3
    135 -> 5
    145 -> 4
    234 -> 2
    235 -> 2
    245 -> 4
    345 -> 3
  • Modifié (June 2023)
    J'avais pronostiqué $N=3P-2$ pour gagner, sans l'ombre d'un début de preuve. C'est-à-dire, pour des propositions à 2 cartes : N=3*2-2=4, pour 3 cartes : N=3*3-2=7 ... et pour 10 cartes N=28. La réponse au problème serait donc positive. 
    Domi
  • $N=6$ ne marche pas pour des tas de 3 cartes, tu en as la preuve ?
  • Modifié (June 2023)
    Absolument pas et je crains qu'il soit très difficile d'établir précisément la limite du gain pour une taille donnée des propositions . Après tout on demande "simplement" si on peut gagner à coup sûr avec des propositions de 10 cartes sur un total de 28.
    Domi.
  • Modifié (June 2023)
    Ce que j'ai compris.
    0) Il y a vingt-huit cartes, numérotées par les entiers de $1$ à $28$. Elles sont face cachée.
    1) Alice choisit dix cartes et les tend à Bob.
    2) Bob les regarde et annonce un entier entre $1$ et $28$. Un arbitre regarde également les cartes et déclare Bob perdant si l'entier qu'il a annoncé n'est pas écrit sur l'une des cartes que lui a tendues Alice. Il les rend ensuite à Alice.
    3) Alice peut : 
    - soit revenir en 1), soit désigner une carte et annoncer un entier ; auquel cas, elle retourne la carte, gagne si l'entier annoncé est écrit sur la carte, et perd sinon.

    Le problème est de savoir si Alice a une stratégie gagnante.
  • Non,
    Alice choisit 10 cartes, 
    Bob ne triche pas, il annonce un numéro qu'il choisit comme il veut, parmi les 10 cartes.
    et on répète l'opération aussi longtemps que Alice le demande.
    Quand Alice a identifié une carte, elle le dit.

    Par exemple, si Alice présente un premier paquet de 10 cartes, puis un autre paquet de 10 cartes avec une seule carte en commun entre ces 2 propositions, et si Bob a répondu 2 fois le même numéro, Alice peut '''deviner''' sans aucune ambiguïté le numéro de la carte qui était commune aux 2 paquets.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Modifié (June 2023)
    Ce n'est pas tout à fait ça . 
    2) Bob donne le numéro de l'une des 10 cartes qui lui a été proposée .
    Domi
    PS : ma réponse fait doublon avec celle de @lourran
  • Pour moi, $N=6$ fonctionne pour 3 cartes mais possible que j'ai oublié des cas de figure.
    Il y a au moins un chiffre qui apparait 4 fois ou plus mettons 1 qui apparait dans
    ABC -> 1
    ABD -> 1
    ABE -> 1
    ABF -> 1
    On en déduit que A ou B = 1 donc par la suite si 1 apparait sans être dans un groupe avec la lettre B, on a gagné
    Lorsque A est joué avec 2 cartes parmi C,D,E,F le robot ne peut pas choisir 1, il va donc choisir au moins 2 chiffres qui apparaissent 2 fois, sans perte de généralité, il peut prendre :
    ACD -> 3 ou 4
    ACE -> 3
    ACF -> 3
    ADE -> 4
    ADF -> 4
    On en déduit que A ou C = 3 donc par la suite si 3 apparait sans être dans un groupe avec la lettre A, on a gagné
    Et aussi que A ou D = 4 donc par la suite si 4 apparait sans être dans un groupe avec la lettre A, on a gagné
    Le robot fera alors obligatoirement :
    BCD -> 2
    CDE -> 5
    CDF -> 6
    Pour CEF, le robot peut choisir entre 5 ou 6, sans perte de généralité, il peut prendre :
    CEF -> 5
    On en déduit que C ou E = 5 donc par la suite si 5 apparait sans être dans un groupe avec la lettre C, on a gagné.
    Le robot fera alors obligatoirement :
    BDE -> 2
    AEF -> 6
    DEF -> 6
    On en déduit que B ou D = 2 donc par la suite si 2 apparait sans être dans un groupe avec la lettre D, on a gagné
    Et aussi que E ou F = 6 donc par la suite si 6 apparait sans être dans un groupe avec la lettre E, on a gagné
    Que faire pour BCF ? Rien, le robot est obligé de nous permettre de deviner la valeur de l'une des cartes.

    In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
  • Modifié (June 2023)
    Je coince déjà ici :
    Lorsque A est joué avec 2 cartes parmi C,D,E,F le robot ne peut pas choisir 1, il va donc choisir au moins 2 chiffres qui apparaissent 2 fois, sans perte de généralité, il peut prendre :
    ACD -> 3 ou 4
    ACE -> 3
    ACF -> 3
    ADE -> 4
    ADF -> 4
  • Modifié (June 2023)
    Ah possible que je me sois loupée mais je ne vois pas pourquoi.
    Si le robot dit ACD -> 1 alors il a perdu car je sais que A vaut 1 (pareil pour les autres) donc il est obligé de m'indiquer une autre lettre que A.
    Au final, il va me donner certains chiffres correspondants aux lettres C,D,E,F même si évidemment moi je ne peux pas savoir qu'il va s'agir des chiffres correspondants à ces lettres. On retombe en quelque sorte sur la configuration avec 2 cartes parmi 4 pour toutes les fois où je vais associer A avec un couple de lettres parmi C,D,E,F.
    Non ?
    In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
  • "il est obligé de m'indiquer une autre lettre que A." Si tu voulais écrire "S'il m'indique 1, j'ai gagné", alors je suis d'accord.
    S'il m'indique pour les six triplets contenant A et pas B tous les nombres 2,3,4,5,6, j'ai aussi gagné
    Reste le cas où il indique au plus quatre nombre parmi 2,3,4,5,6 pour les six triplets.
    S'il indique le même nombre quatre fois, j'ai gagné.
    S'il indique deux nombres trois fois chacun, j'ai gagné.
    Restent les cas 3-2-1,  3-1-1-1, 2-2-2, 2-2-1-1.
    Pourquoi ne considères-tu que le premier ?
  • Modifié (June 2023)
    Excellente question, en fait les cas 3-2-1, 2-2-2, 2-2-1-1 sont inclus car j'ai juste besoin d'au moins 2 chiffres qui apparaissent 2 fois (la première ligne étant au choix ne me sert pas pour la suite)
    Par contre pour 3-1-1-1 et bien c'est un cas de figures que j'ai oublié, il faudrait le pousser jusqu'au bout pour voir si on s'en sort ou pas.
    Sinon, j'ai réfléchi à comment automatiser le processus de l'étude de cas mais je ne vois rien de simple et toutes mes idées font exploser la complexité, tu n'aurais pas une idée ?
    In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
  • Modifié (June 2023)
    Bonjour
    Cas (6,3):
    Alice pose 20 questions. A chacune Bob renvoie le plus petit des trois numéros. Bob ne renvoie donc jamais 5 ni 6.
    (Bob renverra 10 fois 1, 6 fois 2, 3 fois 3, 1 fois 4.)
    Alice ne pourra pas savoir quel est le numéro de la carte F: elle saura seulement, au mieux, que c'est 5 ou 6:
    ABCDEF=123456 ou 123465.
    À supposer que j'ai compris le problème !
    Cordialement
    Paul
  • Je crois bien que non, tu n'as pas compris le problème mais ce n'est pas de ta faute, ce n'était vraiment pas clair initialement et le fil commence à être long à lire.
    Dans ta configuration, Alice pourra sans difficulté deviner A=1 et comme elle a deviné au moins une carte, elle a gagné.
    J'avoue avoir un peu la flemme de recommencer l'étude de tous les cas possibles manuellement surtout que je me suis déjà loupée une fois, je persiste à chercher une manière de le faire faire efficacement.
    In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
  • Merci Vassilia

    " nous devons découvrir le numéro de l’une d’entre elles (que l’on peut choisir librement)" dit l'énoncé originel. Dans ma réponse je ( =Alice)  "choisis librement" de découvrir le numéro de la carte F et le robot (= Bob) se débrouille pour je n'y arrive pas.
    Si je comprends bien ta réponse, la bonne formulation de la question aurait dû être: "Alice gagne dès qu'elle connaît le numéro d'une carte".
    C'est ça ou je n'ai toujours pas compris?
    Cordialement
    Paul
  • Modifié (June 2023)
    C'est exactement ça, tu as tout compris.
    Dans la formulation initiale, il fallait comprendre Alice choisit librement mais après le jeu et comme elle n'est pas complétement idiote elle va choisir librement le numéro de la carte qu'elle a réussi à deviner pendant la partie.
    In mémoriam de tous les professeurs assassinés dans l'exercice de leurs fonctions en 2023, n'oublions jamais les noms de Agnes-Lassalle et Dominique-Bernard qui n'ont pas donné lieu aux mêmes réactions sur ce forum (et merci à GaBuZoMeu)
  • Modifié (June 2023)
    Même si je n'ai pas encore tout compris, il me semble qu'avec l'intervention de LittleFox, il y a une avancée majeure sur le forum cité par GaBuZoMeu.
    Domi.
  • Modifié (June 2023)
    Une réponse à la question de GaBuZoMeu
    $N=6$ ne marche pas pour des tas de 3 cartes, tu en as la preuve ?
    Le robot considère la permutation P = (1,2,3) . (4,5,6) et adopte la stratégie suivante :  si on lui propose un ensemble Q de trois cartes, il donne un élément appartenant à la fois à Q et à P(Q). Tout triplet a deux points dans le même cycle et comme P n'a aucun point fixe, on ne pourra jamais savoir si la valeur d'un i quelconque est i ou P(i).
    Domi
  • Modifié (June 2023)
    Bonjour,
      Dans le cas où le robot est programmé pour empêcher le joueur de gagner (en nommant toujours la même carte pour une même partie de 10 cartes du total), il lui est possible de ne jamais nommer 9 cartes (dont celle qui intéresse le joueur), quelque soit le nombre de cartes total ($\geq 10$).
     Je me demande si il est possible qu'aucune carte ne soit clairement identifiée (c'est à dire que même celle qui sont nommées peuvent être confondues avec au moins une autre carte), je remarque que c'est vrai pour un total de 10 ou 11 cartes.
  • Modifié (June 2023)
    Quand un sujet est mal lancé, il est difficile de corrigé le tir. Je pensais avoir été clair mais je ne l'étais pas : il nous suffit de trouver le numéro d'une carte, n'importe laquelle.
    Domi
  • Ajoute un PS à ton premier message : 
    PS : Précision pour lever l'ambiguïté : dès que le joueur à réussi à identifier au moins une carte (n'importe laquelle), il a gagné.

    Souvent, quand on lit une discussion qu'on n'avait pas du tout regardé, on lit le premier message, on réfléchit, et on ne lit pas forcément toute la discussion.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Modifié (June 2023)
    J'ai suivi ton conseil, je n'ai pas ce réflexe car je participe à des sites qui refusent les correctifs.
    Domi
  • Je sais que j'arrive un peu tard pour cela, mais je propose cette reformulation (encore une).
    On dispose d'un jeu de $N$ cartes doublement numérotées. L'un des numéros est visible (il est dit "public") et permet de différencier les cartes et l'autre est invisible (il est "privé").
    On peut proposer à un oracle autant de lots de $K$ cartes que l'on souhaite et celui-ci renvoie pour chaque lot le numéro privé de l'une des cartes de ce lot. À chaque fois qu'un lot donné est présenté, l'oracle renvoie la même réponse (autrement dit, la relation qui à un lot associe le numéro privé est fonctionnelle).
    Une stratégie est une suite finie de lots présentés à l'oracle.

    Existe-t-il une stratégie permettant de trouver le numéro privé d'au moins une des cartes du jeu ?
  • Modifié (June 2023)
    Bonjour Bisam

    Chacun est libre de reformuler le problème à sa façon et la tienne me convient tout à fait . Après il n'y a plus qu'à le résoudre :)
    Domi 
  • Modifié (June 2023)
    Belle idée pour l’impossibilité. Ça marche aussi pour montrer que quand on fonctionne par paquets de 10 cartes et qu'il y a en tout 27 cartes, il n'y a aucune stratégie gagnante pour deviner une carte.
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