Cori/Lascar - erratum

Thierry Poma
Modifié (June 2023) dans Fondements et Logique
$\newcommand{\suite}[1]{\left(#1\right)_{n\in\N^*}}\newcommand{\sfonct}[1]{\mathscr{F}_{#1}}\newcommand{\srelat}[1]{\mathscr{R}_{#1}}\newcommand{\sconst}[]{\mathscr{C}}\newcommand{\svar}[]{\mathscr{V}}\newcommand{\slang}[]{\mathcal{L}}\newcommand{\termes}[2]{\mathscr{T}_{#1}\left(#2\right)}\newcommand{\formules}[2]{\mathfrak{F}_{#1}\left(#2\right)}\newcommand{\ens}[2]{\left\{\begin{array}{c|c}#1&#2\end{array}\right\}}$Page 140 du tome 1 : La deuxième partie [d'un langage du premier ordre $\slang$ qui] varie d'un langage à l'autre, est la réunion d'un ensemble $\sconst$ et de deux suites $\suite{\sfonct{n}}$ et $\suite{\srelat{n}}$ d'ensembles (deux à deux disjoints et tous disjoints de $\sconst$).
Page 142 : L'ensemble des termes d'un langage du premier ordre $\slang$ se définit par le bas (ou de bas en haut) comme suit : On pose $\termes{0}{\slang}=\svar\cup\sconst$ et, pour chaque entier $k$,\[\termes{k+1}{\slang}=\termes{k}{\slang}\cup\bigcup\limits_{n\in\N^*}\ens{ft_1\cdots{}t_n}{f\in\sfonct{n},\,t_1\in\termes{k}{\slang},\,\cdots,\,t_n\in\termes{k}{\slang}}\]d'où\[\mathscr{T}\left(\slang\right)=\bigcup\limits_{n\in\N}\termes{n}{\slang}\]
Page 150 et 151 : nous en venons à la partie du texte où il convient de bien distinguer l'ensemble des formules qui nous préoccupe ici des ensembles de symboles de prédicat de la suite $\suite{\sfonct{n}}$ introduite à la 140 (ce que ne font pas les auteurs). Cet ensemble se définit de bas en haut de la façon suivante.  On pose $\formules{0}{\slang}=\mathrm{At}\left(\slang\right)$ et, pour chaque entier $m$,\[\begin{array}{lclclcl}\formules{m+1}{\slang}&=&\formules{m}{\slang}&\cup&\ens{\neg\varphi}{\varphi\in\formules{m}{\slang}}\\&&&\cup&\ens{\varphi\,s\,\varphi'}{s\in\{\vee,\,\wedge,\,\Rightarrow,\,\Leftrightarrow\},\,\varphi\in\formules{m}{\slang},\,\varphi'\in\formules{m}{\slang}}\\&&&\cup&\ens{\forall_{v_k}\varphi}{k\in\N,\,\varphi\in\formules{m}{\slang}}\\&&&\cup&\ens{\exists_{v_k}\varphi}{k\in\N,\,\varphi\in\formules{m}{\slang}}\end{array}\]d'où l'ensemble des $\slang$-formules du premier ordre cherché :
\[\mathfrak{F}\left(\slang\right)=\bigcup\limits_{n\in\N}\formules{n}{\slang}\]
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).

Réponses

  • Bonjour,
    En quoi ce qu'écrivent Cori et Lascar est erroné ?
  • Thierry Poma
    Modifié (June 2023)
    $\newcommand{\suite}[1]{\left(#1\right)_{n\in\N^*}}\newcommand{\sfonct}[1]{\mathscr{F}_{#1}}\newcommand{\srelat}[1]{\mathscr{R}_{#1}}\newcommand{\sconst}[]{\mathscr{C}}\newcommand{\svar}[]{\mathscr{V}}\newcommand{\slang}[]{\mathcal{L}}\newcommand{\termes}[2]{\mathscr{T}_{#1}\left(#2\right)}\newcommand{\formules}[2]{\mathscr{F}_{#1}\left(#2\right)}\newcommand{\ens}[2]{\left\{\begin{array}{c|c}#1&#2\end{array}\right\}}$Page 140 du tome 1 : La deuxième partie [d'un langage du premier ordre $\slang$ qui] varie d'un langage à l'autre, est la réunion d'un ensemble $\sconst$ et de deux suites $\suite{\sfonct{n}}$ et $\suite{\srelat{n}}$ d'ensembles (deux à deux disjoints et tous disjoints de $\sconst$).
    Page 150 et 151 Voici ce que l'on trouve dans leur texte.  On pose $\formules{0}{\slang}=\mathrm{At}\left(\slang\right)$ et, pour chaque entier $m$,\[\begin{array}{lclclcl}\formules{m+1}{\slang}&=&\formules{m}{\slang}&\cup&\ens{\neg\varphi}{\varphi\in\formules{m}{\slang}}\\&&&\cup&\ens{\varphi\,s\,\varphi'}{s\in\{\vee,\,\wedge,\,\Rightarrow,\,\Leftrightarrow\},\,\varphi\in\formules{m}{\slang},\,\varphi'\in\formules{m}{\slang}}\\&&&\cup&\ens{\forall_{v_k}\varphi}{k\in\N,\,\varphi\in\formules{m}{\slang}}\\&&&\cup&\ens{\exists_{v_k}\varphi}{k\in\N,\,\varphi\in\formules{m}{\slang}}\end{array}\]d'où l'ensemble des $\slang$-formules du premier ordre cherché :
    \[\mathscr{F}\left(\slang\right)=\bigcup\limits_{n\in\N}\formules{n}{\slang}\]N'y a-t-il un problème ?

    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Tu veux dire simplement qu'ils emploient la même lettre $\mathcal F$ pour les ensembles de symboles de fonctions et pour les ensembles de formules ?
    OK, ce n'est pas bien.
  • @GaBuZoMeu : oui, tout simplement. Cela me gêne. Toi, non ?
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Une faute d'inattention des auteurs qui ne me gène pas trop ; on la corrige aisément.
    Ton premier message noie le poisson. Deux lignes auraient suffi.
  • @GaBuZoMeu : je suis entièrement de ton avis sur ce point. La prochaine fois, je serai plus succinct, car il va y avoir une prochaine fois. Je te remercie.
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
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