Majoration d'intégrales - valeur moyenne et inégalité de Cauchy-Schwarz

jc-marseille
Modifié (June 2023) dans Analyse
https://les-mathematiques.net/serveur_exos/exercices/128/1902/
∫[a,c] (x−c)*(∫[c,x] (f′(t))^2dt)dx+∫[c,b](x−c)*(∫ [c,x] (f′(t))^2dt)dx <= ∫[a,c](c−a)*(∫[a,c] (f′(t))^2dt)dx+∫[c,b](b−c)*(∫[c,b](f′(t))^2dt)dx
j'ai du mal avec l'inégalité ci-dessus. Voir exercice pour lecture plus lisible. 
La deuxième inégalité est en fait une égalité. Pour la 3ième, je ne comprends pas comment l'auteur arrive à cette inégalité, cf. ci-dessus. La suite est claire et en découle.
Merci pour vos commentaires. 
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Réponses

  • Positif
    Modifié (June 2023)
    Latex please \[ \int_a^c (x-c) \left( \int_c^x f(t)^2 \mathrm{d} t \right) \mathrm{d} x + \int_c^b (x-c) \left( \int_c^x f'(t)^2 \mathrm{d} t \right) \mathrm{d} x \leq \int_a^c (c-a) \left( \int_a^c f'(t)^2 \mathrm{d} t \right) \mathrm{d}x + \int_c^b (b-c) \left( \int_c^b f'(t)^2 \mathrm{d} t \right) \mathrm{d}x  
    \] Il n'y a pas de $x$ dans le second terme ? 
    ---> I believe in Chuu-supremacyhttps://www.youtube.com/watch?v=BVVfMFS3mgc <---
  • math2
    Modifié (June 2023)
    Surtout que s'il s'agit juste d'obtenir l'existence d'une constante, on peut se fouler un poil moins que ce que font les auteurs.
    En reprenant la notation avec le $c$,
    $|f(x)-\overline{f}|^2=\left| \int_c^x f'\right|^2 \leq (x-c) |\int_c^x f'^2|$
    (th fondamental de l'analyse, puis Cauchy-Schwarz, enfin je conserve les valeurs absolues à la fin pour ne pas séparer selon la position de $x$ par rapport à $c$).
    On majore grossièrement par $(b-a)   \int_a^b f'^2$ et en intégrant ensuite sur $[a,b]$, on obtient $C=(b-a)^2$.
  • PS : en fait ils obtiennent la même constante que moi (j'avais le souvenir qu'on pouvait avoir mieux). On fait en fait la même chose ...
  • Pour l'inégalité 3 qui te chagrine. Pour l'avoir tu démontres que
     $(1)\quad \int_a^c (x-c) \left( \int_c^x f(t)^2 \mathrm{d} t \right) \mathrm{d} x \leq \int_a^c (c-a) \left( \int_a^c f'(t)^2 \mathrm{d} t \right) \mathrm{d}x $ et
    $(2) \quad  \int_c^b (x-c) \left( \int_c^x f'(t)^2 \mathrm{d} t \right) \mathrm{d} x \leq  \int_c^b (b-c) \left( \int_c^b f'(t)^2 \mathrm{d} t \right) \mathrm{d}x$
    Je te fais la (1). on a $ \int_a^c (x-c) \left( \int_c^x f(t)^2 \mathrm{d} t \right) \mathrm{d} x= \int_a^c (c-x) \left( \int_x^c f(t)^2 \mathrm{d} t \right) \mathrm{d} x$. A remarquer que $\forall x\in [a,c],\, 0\leq c-x\leq c-a$ et $[x,c]\subset [a,c]$, d'où l'inégalité (1)


    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • jc-marseille
    Modifié (June 2023)
    Merci Gebrane ! "crystal clear".
    L'inégalite' (2) est vérifiée de manière similaire à (1) puisque \(f'(t)^2 \geq0\) et que $[c,x] \subseteq [c,b]\subseteq [a,b]$.
    En final, j'utilise la relation de Chasles plutôt que la fonction en $c$ de l'exemple, on obtient donc :
    $$\int_{a}^{c} \Big((c-a) \int_{a}^{b} f'(t)^2 dt\Big) dx + \int_{c}^{b} \Big((b-c) \int_{a}^{b} f'(t)^2 dt\Big) dx = \int_{a}^{b} f'(t)^2 dt \int_{a}^{b} (b-a) dx = (b-a)^2\int_{a}^{b} f'(x)^2 dx.$$
    [En $\LaTeX$, ce sont les expressions mathématiques au complet que l'on encadre par des $\$$. ;) AD]
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