Majoration d'intégrales - valeur moyenne et inégalité de Cauchy-Schwarz

jc-marseille

https://les-mathematiques.net/serveur_exos/exercices/128/1902/
∫[a,c] (x−c)*(∫[c,x] (f′(t))^2dt)dx+∫[c,b](x−c)*(∫ [c,x] (f′(t))^2dt)dx <= ∫[a,c](c−a)*(∫[a,c] (f′(t))^2dt)dx+∫[c,b](b−c)*(∫[c,b](f′(t))^2dt)dx
j'ai du mal avec l'inégalité ci-dessus. Voir exercice pour lecture plus lisible. 
La deuxième inégalité est en fait une égalité. Pour la 3ième, je ne comprends pas comment l'auteur arrive à cette inégalité, cf. ci-dessus. La suite est claire et en découle.
Merci pour vos commentaires. 

Positif

Latex please \[ \int_a^c (x-c) \left( \int_c^x f(t)^2 \mathrm{d} t \right) \mathrm{d} x + \int_c^b (x-c) \left( \int_c^x f'(t)^2 \mathrm{d} t \right) \mathrm{d} x \leq \int_a^c (c-a) \left( \int_a^c f'(t)^2 \mathrm{d} t \right) \mathrm{d}x + \int_c^b (b-c) \left( \int_c^b f'(t)^2 \mathrm{d} t \right) \mathrm{d}x  
\] Il n'y a pas de $x$ dans le second terme ? 

math2

Surtout que s'il s'agit juste d'obtenir l'existence d'une constante, on peut se fouler un poil moins que ce que font les auteurs.

En reprenant la notation avec le $c$,
$|f(x)-\overline{f}|^2=\left| \int_c^x f'\right|^2 \leq (x-c) |\int_c^x f'^2|$
(th fondamental de l'analyse, puis Cauchy-Schwarz, enfin je conserve les valeurs absolues à la fin pour ne pas séparer selon la position de $x$ par rapport à $c$).
On majore grossièrement par $(b-a)   \int_a^b f'^2$ et en intégrant ensuite sur $[a,b]$, on obtient $C=(b-a)^2$.

math2

PS : en fait ils obtiennent la même constante que moi (j'avais le souvenir qu'on pouvait avoir mieux). On fait en fait la même chose ...

gebrane

Pour l'inégalité 3 qui te chagrine. Pour l'avoir tu démontres que

 $(1)\quad \int_a^c (x-c) \left( \int_c^x f(t)^2 \mathrm{d} t \right) \mathrm{d} x \leq \int_a^c (c-a) \left( \int_a^c f'(t)^2 \mathrm{d} t \right) \mathrm{d}x $ et

$(2) \quad  \int_c^b (x-c) \left( \int_c^x f'(t)^2 \mathrm{d} t \right) \mathrm{d} x \leq  \int_c^b (b-c) \left( \int_c^b f'(t)^2 \mathrm{d} t \right) \mathrm{d}x$
Je te fais la (1). on a $ \int_a^c (x-c) \left( \int_c^x f(t)^2 \mathrm{d} t \right) \mathrm{d} x= \int_a^c (c-x) \left( \int_x^c f(t)^2 \mathrm{d} t \right) \mathrm{d} x$. A remarquer que $\forall x\in [a,c],\, 0\leq c-x\leq c-a$ et $[x,c]\subset [a,c]$, d'où l'inégalité (1)

jc-marseille

Merci Gebrane ! "crystal clear".
L'inégalite' (2) est vérifiée de manière similaire à (1) puisque \(f'(t)^2 \geq0\) et que $[c,x] \subseteq [c,b]\subseteq [a,b]$.
En final, j'utilise la relation de Chasles plutôt que la fonction en $c$ de l'exemple, on obtient donc :
$$\int_{a}^{c} \Big((c-a) \int_{a}^{b} f'(t)^2 dt\Big) dx + \int_{c}^{b} \Big((b-c) \int_{a}^{b} f'(t)^2 dt\Big) dx = \int_{a}^{b} f'(t)^2 dt \int_{a}^{b} (b-a) dx = (b-a)^2\int_{a}^{b} f'(x)^2 dx.$$
[En $\LaTeX$, ce sont les expressions mathématiques au complet que l'on encadre par des $\$$. AD]