Relation d'équivalence

OShine

Bonsoir
Je n'ai rien compris aux deux passages encadrés.

bd2017

Il suffit de faire le travail pour comprendre l'encadré en vert:   $x R_{cl_R} y$   (par définition) est équivalent à  $cl_R(x)= cl_R(y) $  qui est (encore par définition ) équivalent à $xR y. $

Pour l'encadré en rouge c'est sûrement un résultat d'algèbre connu. 

Soient $A$ et $B$  sym . réelles   (comme dans l'énoncé)   telles  que  $B=P^t A P$  ($P$ inversible)  alors $A$ et $B$  ont la même signature.  Autant le démontrer en exercice pour s'en convaincre.      

Thierry Poma

@OShine : bonsoir. Que penser de la relation binaire $\mathcal{R}_{\mathrm{cl}_{\mathcal{R}}}$ définie sur $\mathscr{E}$ comme suit ? \[x\in\mathscr{E}\text{ et }y\in\mathscr{E}\text{ et }\mathrm{cl}_{\mathcal{R}}(x)=\mathrm{cl}_{\mathcal{R}}(y)\]Revoir le point c).

Fin de partie

@Oshine: Après tout ce temps à balancer des exos d'algèbre ce petit encadré vert ne te semble pas évident?

Fin de partie

Pour l'encadré rouge, si je me souviens bien, une matrice carrée réelle symétrique est diagonalisable ce qui fait que la donnée d'une liste ordonnée de $n$ réels détermine une classe d'équivalence pour cette relation d'équivalence si on considère l'ensemble des matrices réelles symétriques carrées de dimension $n$.

PS:

Ce n'est pas tout à fait exact, semble-t-il, c'est bien la signature qui détermine une classe d'équivalence.

Fin de partie

Associer un élément à sa classe d'équivalence, c'est déterminer une application surjective qu'on appelle souvent projection. L'ensemble d'arrivée est l'ensemble des classes, l'ensemble quotient (pour la relation d'équivalence sous-jacente).

PS.
Les propriétés d'une partition assure qu'on définit bien une application (un élément est dans une seule classe), et que l'application est surjective (tout élément est dans une classe).

OShine

D'accord merci, mais c'est quoi la signature d'une matrice ? 

@Thierry Poma
D'après le point $c$ c'est une relation d'équivalence, en prenant $f=\mathrm{cl}_{\mathcal{R}}$.

Donc $x \mathcal{R}_{\mathrm{cl}_{\mathcal{R}}} y \iff \mathrm{cl}_{\mathcal{R}}(x)=\mathrm{cl}_{\mathcal{R}}(y)$.

Et on a $\mathrm{cl}_{\mathcal{R}}(x)=\mathrm{cl}_{\mathcal{R}}(y) \iff x \mathcal R y$.

Fin de partie

La signature d'une matrice carrée symétrique est, sauf erreur, le couple d'entiers formé par le nombre de valeurs propres négatives et le nombre de valeurs propres positives.

Jamais entendu parler de la loi d'inertie de Sylvester?

OShine

@Fin de partie
Je n'ai pas entendu parler de forme quadratique depuis plus de 10 ans... 
Tant pis, je vais zapper cette partie pour l'instant, un jour j'étudierai un livre qui aborde cette notion.

bisam

Si seulement tu te mettais à étudier les notions plutôt que les livres... Ce serait tellement plus efficace !

Fin de partie

@Oshine:  La relation d'équivalence donnée sur les matrices symétriques réelles n'est qu'un exemple. Pour se rendre compte que c'est bien un exemple de la notion étudiée il faut quelques connaissances d'algèbre mais tu peux zapper pour le moment cet exemple (le théorème d'inertie de Sylvester était au programme des deux premières années de fac' si je me souviens bien quand j'y étais)

Mais la notion de classes d'équivalence et tout ce qui va autour (partition d'un ensemble, ensemble quotient etc) ne peut pas être zappée si on prétend faire de l'algèbre puisque c'est une notion qui intervient souvent.

OShine

@bisam
En effet mais j'aime étudier dans les livres.
J'ai compris la notion d'injection canonique en regardant sur wikipédia.

@Fin de partie
D'accord mais les formes quadratiques ne sont plus étudiées en prépa.
À la fac c'est possible en L2-L3.

Fin de partie

@OShine: Le théorème de Sylvester pour ce que j'en comprends, affirme qu'on peut trouver une base de l'espace vectoriel réel $\mathbb{R}^n$ dans laquelle la forme quadratique étudiée s'écrive: $\displaystyle \sum_{i=1}^p x_i^2-\sum_{i=1}^q x_i^2$, avec, $p+q=n$ et, de plus, les entiers $p,q$ sont des invariants, si on est capable de trouver deux bases dans lesquelles on peut exprimer la forme quadratique comme une différence de sommes de carrés, les nombres $p,q$ seront les mêmes deux à deux.

GaBuZoMeu

Variante : les classes d'équivalence pour la relation d'équivalence sur $M_{n\times p}(\mathbb K)$ (rappelons que deux matrices $M,N$ de taile $n\times p$ sont dites équivalentes quand il existe des matrices inversibles $P$ de taille $n\times n$ et $Q$ de taille $p\times p$ telles que $N=PMQ$) sont les sous-ensembles de matrices de rang donné entre $0$ et $\min(n,p)$.

GaBuZoMeu

Fin de partie a dit :

@OShine: Le théorème de Sylvester pour ce que j'en comprends, affirme qu'on peut trouver une base de l'espace vectoriel réel $\mathbb{R}^n$ dans laquelle la forme quadratique étudiée s'écrive: $\displaystyle \sum_{i=1}^p x_i^2-\sum_{i=1}^q x_i^2$, avec, $p+q=n$

Hum hum ... plutôt $\displaystyle \sum_{i=1}^p x_i^2-\sum_{i=1}^q x_{p+i}^2$ avec $p+q\leq n$.

OShine

GaBuZoMeu a dit :

Variante : les classes d'équivalence pour la relation d'équivalence sur $M_{n\times p}(\mathbb K)$ (rappelons que deux matrices $M,N$ de taile $n\times p$ sont dites équivalentes quand il existe des matrices inversibles $P$ de taille $n\times n$ et $Q$ de taille $p\times p$ telles que $N=PMQ$) sont les sous-ensembles de matrices de rang donné entre $0$ et $\min(n,p)$.

Le livre donne cet exercice dans la partie exercices.

lourrran

"Je n'ai pas entendu parler de forme quadratique depuis plus de 10 ans... "

Et alors ? 
Ton travail quotidien sur tous ces exos, il sert normalement à accumuler les connaissances. Ce que tu apprends aujourd'hui s'ajoute à ce que tu as appris il y a 5 ans, et tout ça s'ajoute à ce que tu as appris il y a 10 ans.
Normalement.
C'est comme ça que tout étudiant fonctionne.

Et effectivement, dans ton cas, on constate que ça ne fonctionne pas comme ça. Les bases, ce que tu as appris au début, au lycée par exemple, tu l'as effacé de ta mémoire à chaque fois que tu apprenais une nouvelle notion.
Tant que chaque nouvelle notion 'compliquée' viendra effacer une notion simple et essentielle dans ton cerveau, tu ne progresseras pas, tu régresseras.

Dom

Ça fait penser à un RESET récurrent. 

Des élèves font ça. 

Lundi : les vecteurs c’est quoi ?
Mardi : les vecteurs c’est quoi ? 

Ben on te l’a dit hier. 

Ha oui ok. 

Mercredi : les vecteurs c’est quoi ?
M’enfin, on a eu la discussion hier.
Ha oui avec la flèche… oui ok. 

Jeudi : les vecteurs c’est quoi ?

Ça ne fixe pas. 

Fin de partie

@lourrran , @Dom :  Vous savez sans doute que dans une phase d'apprentissage il y a, malgré toute la bonne volonté de l'apprenant, des phases de régression. L'apprentissage n'est pas un phénomène à évolution constante.
Oshine  me fait plutôt penser à un cavalier qui arrête sa monture devant un obstacle qu'il a peur de ne pas pouvoir franchir.
Son leitmotiv c'est :

Tant pis, je vais zapper cette partie pour l'instant, un jour j'étudierai un livre qui aborde cette notion.

Dom

Oui. Disons que là c’est exacerbé et proche de la caricature. 

Bien sûr qu’on oublie. Mais pas comme le poisson rouge après un tour dans le bocal. 

Wàng

Tout ce qui est appris de façon superficielle ne peut pas se fixer à long terme. 

Or pour avoir 20 au bac une connaissance très superficielle des notions est plus que suffisante (quelques exos types par cœur). Pas besoin de passer du temps (perdre du temps, sic) à réfléchir sur les points délicats. "un vecteur c'est un truc avec une flèche dessus sur lesquels on applique 2 ou 3 calculs stéréotypés"

Du coup faut pas s'étonner si tout doit être repris de 0 après le lycée. C'est un choix !

gerard0

Wàng, que dis-tu dans le cas de quelqu'un qui a fait 2 ans de prépa, puis a étudié dans des livres de L1/L2 (surtout L1) pendant tous ses loisirs pendant 5 ans ?

Cordialement.

Wàng

A priori que c'est un bon travail de fond qui devrait payer, mais faudrait voir ses méthodes. Faut pas sauter trop vite à la première difficulté, il y a plusieurs façons de lire des livres de maths, comme plusieurs lectures pour un cours plus ou moins approfondies.

La prépa ça va vite, ça oblige à approfondir, à réfléchir et à se frotter aux démonstrations, mais en même temps il y a des tas de choses que l'on doit mettre entre parenthèses. (et il y a aussi la physique, la chimie, l'info, la SI, le français ...)

Kraw

gerard0 a dit :

Wàng, que dis-tu dans le cas de quelqu'un qui a fait 2 ans de prépa, puis a étudié dans des livres de L1/L2 (surtout L1) pendant tous ses loisirs pendant 5 ans ?

5 ans pour une L1 c'est un peu long...

Thierry Poma

Je ne pense pas que le livre de Cortella soit vraiment indiqué pour aborder le concept de quotient. Je conseille la lecture de cet excellent cours, à partir de la page 7. Il est vraiment excellent.

gerard0

Kraw,
" 2 ans de prépa, puis a étudié dans des livres de L1/L2 (surtout L1) pendant tous ses loisirs pendant 5 ans" ça fait même 6 ans de L1.
Et pourtant c'est le cas.
Cordialement.

Dom

Rappelons qu’après ces années de « L1 », on bute sur des questions de pourcentage. Rien n’est anodin. 

En fait, il y a un trou dans la formation initiale : tout le secondaire est vide ainsi que la partie « logique de L1 ». Ça n’empêche pas de calculer des intégrales ou encore d’effectuer un produit de matrices 9x9 ni encore de manipuler plein de symboles. 

OShine

@Thierry Poma
Oui je suis d'accord que le chapitre sur les groupes quotients dans le livre d'Anne Cortella n'est pas approfondi. 
Ton lien donne un cours d'un niveau très avancé. 
Le Liret explique bien la notion de quotient, même si ça reste des bases.