Est-il possible de démontrer Syracuse avec un système binaire ?

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Réponses

  • Dom
    Dom
    Modifié (June 2023)
    Quand on ne sait pas démontrer, on est en droit de se forger rapidement ou lentement une conviction. Les mathématiques, c'est justement un moyen de convaincre TOUT le monde à condition d'accepter un ensemble de règles données à l'avance.
  • 123rourou
    Modifié (June 2023)
    À la question pourquoi il y a plus de nombres pairs que de nombres impairs, voici ma réponse qui va être difficile à contester.
    <copier/coller> https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2430716/#Comment_2430716
    Ensuite, on constate que chaque fois que dans la suite $U_n$ il y a un élément impair, on change la parité de l'élément $U_{n+1}$, ce qui n'est pas le cas lorsque l'élément de $U_n$ est pair. Cette disparité de traitement de la parité entraîne mécaniquement plus de nombres pairs que de nombres impairs. Je vous laisse faire les calculs, mais nous serons d'accord pour dire que le changement de parité n'est pas équivalent lorsque $U_n$ est pair ou impair et qu'il y a plus $U_n$ pairs.
    </>
    Le problème, c'est plutôt l'unicité du cycle. 1 4 2 1 4 2..
  • Non, rien n'interdit a priori qu'il y ait une alternance pair/impair ce qui donnerait autant de pairs que d'impairs. Mais pour éviter ces élucubrations inutiles les mathématiciens travaillent sur des suites réduites comme $U_{n+1} = \begin{cases} \frac{u_n}{2} \text{ si } 2 \mid u_n \\ \frac{3u_n+1}{2} \text{ sinon} \end{cases}$.
  • 123rourou
    Modifié (June 2023)
    Je te laisse compter le nombre d'entiers de la forme $2^{n>1} \cdot p$.
    Pour l'unicité, j’émets une hypothèse $ 2\cdot 2 =3 \cdot 1+1$ , c'est la seule valeur pour $n$ que l'on peut écrire de deux manières différentes.
  • gerard0
    Modifié (June 2023)
    Bibix,
    est-ce vraiment utile de répondre à un enfonceur de portes ouvertes, qui a 95 ans de retard ?
    Cordialement.
  • 123rourou
    Modifié (June 2023)
    Complètement d'accord, surtout quand on fait valoir aucun argument mathématique.
    J'explique pourquoi les valeurs décroissent : Il y a plus de divisions que de multiplications.
    J'explique pourquoi il y a plus de divisions : Disparité de traitement de la parité.
    J'explique l'unicité du cycle : Pour rappel dans un cycle, il y a deux pivots, un point haut et un point bas, donc deux manières d'atteindre la même valeur.
    Maintenant, tu as le droit de ne pas être d'accord, mais c'est mieux si c'est argumenté ou, à défaut, étayé.
  • Math Coss
    Modifié (June 2023)
    Je définis une suite : \[1,\ 3,\ 2,\ 5,\ 7,\ 4,\ 9,\ 11,\ 6,\ 13,\ 15,\ 8,\ \text{etc.}\] Pour expliciter, j'énumère les nombres impairs et tous les deux nombres, j'intercale un nombre pair. Pour les amateurs de formules : \[\forall n\in\N,\quad u_n=\begin{cases}\frac{4n+3}3&\text{si $n\equiv0\pmod3$ ;}\\\frac{4n+5}3+2&\text{si $n\equiv1\pmod3$ ;}\\\frac{2n+2}3&\text{si $n\equiv2 \pmod3$.}\end{cases}\] Peut-on déduire de l'existence de cette suite qu'il y a deux fois plus de nombres impairs que de nombres pairs ?
  • Heuristique
    Modifié (June 2023)
    Tu dis qu'il y a plus de divisions que de multiplications : soit, c'est vrai, et personne ici ne conteste ce fait. Le problème vient de ce que tu en déduis : "les valeurs décroissent".
    Je prends un nombre, je le multiplie par 3, divise le résultat par 2, multiplie par 3, divise par 2 et enfin divise par 2. J'ai fait plus de divisions que de multiplications. Pourtant, j'ai au total multiplié par $\frac{9}{8}$ donc j'ai fait augmenter le nombre de départ.

    Tu peux considérer que tous les intervenants ne sont pas toujours très aimables avec ceux qui se présentent sur ce forum. Soit, mais je me permets de donner un peu de contexte (par des arguments qui ne sont effectivement pas mathématiques). La conjecture de Syracuse a 100 ans, de nombreux grands mathématiciens se sont penchés dessus et se sont cassé les dents (Veni, vidi, mais pas vici). Chaque semaine, une personne ayant arrêté les maths en collège ou en lycée vient sur le forum présenter une "preuve" de Syracuse. En général, leur manque de connaissances en maths mènent ces personnes à commettre une énormité logique dès le début, leur argumentation mathématique est vide de sens et ce sont toujours les mêmes erreurs qui reviennent. D'où un certain agacement des spécialistes au bout d'un moment.
    Tu as fait l'effort de ne pas arriver en prétendant avoir démontré Syracuse et je t'en remercie. Je travaille en informatique et il m'est fréquemment arrivé de démontrer la célèbre conjecture $P = NP$ (un problème du millénaire), ou de m'en approcher par une idée. Mon premier réflexe est alors de chercher l'énormité dans mon raisonnement, et elle tombe souvent dans les 5 minutes, car il est extrêmement improbable qu'une simple idée d'un non spécialiste n'ait pas déjà été explorée par la communauté. Je t'invite également à avoir ce type de réflexe, de se dire qu'il est quasiment impossible que quelqu'un qui n'a pas fait d'études de maths puisse un jour avoir un début de commencement de nano-idée sur Syracuse qui n'ait pas déjà été considérée par des spécialistes. Cela ne veut pas dire que tu ne peux pas jouer avec Syracuse, jouer avec les maths : tu ne trouveras rien de nouveau mais tu auras passé un moment amusant, et c'est cela la beauté des mathématiques !
    (EDIT : merci @gerard0 pour la correction sur l'âge de la conjecture de Collatz)

  • Je ne sais plus qui, mais il y a un intervenant qui a proposé un calcul qui estime la quantité de divisions et la quantité de multiplications. Si leur rapport est $< 0.5$ cela te conviendra-t-il ?
  • Dom
    Dom
    Modifié (June 2023)
    Le vrai problème, de toute manière c’est que le raisonnement démarre à « SI ça donne 1-4-2, alors… ». 
    Et comme ce qu’il y a derrière le alors n’apporte rien. Ça ne sert à rien.
    À la rigueur si c’était « Si ça donne 1-4-2, alors on obtient une contradiction…. » ce serait un coup de génie. 
  • Wilfrid
    Modifié (June 2023)

    Heuristique a écrit :
    il est quasiment impossible que quelqu'un qui n'a pas fait d'études de maths puisse un jour avoir un début de commencement de nano-idée sur Syracuse qui n'ait pas déjà été considérée par des spécialistes.

    Archi-faux, et en voici la preuve. Si tu n'es toujours pas convaincu tu n'as qu'à ouvrir mon profil et cliquer sur Discussions. Des idées que n'ont pas eues les "spécialistes", j'en ai à la pelle.

  • 123rourou
    Modifié (June 2023)
    from math import *
     
    qtPaire=0
    qtImpair=0
    n=1000000
    
    def syracuse(n,qtPaire,qtImpair):
        #print(n," ",end='')
        if n == 1 :
            print()
            print("qtPaire/qtImpair=",qtPaire/qtImpair)
            return
        elif n % 2 == 0 :
            qtPaire=qtPaire+1
            return syracuse(n/2,qtPaire,qtImpair)
        else :
            qtImpair=qtImpair+1
            return syracuse(3*n+1,qtPaire,qtImpair)
        
        
    while True:
          print(n)
          print(syracuse(n,qtPaire,qtImpair))
          n=n*2
    Je n'ai pas réussi à sourcer les données, donc du coup je te propose une petite mesure puisque tout le monde a une console Python qui traîne sur son écran. En gros, plus $n$ augmente, plus la densité de nombres pairs augmente, ce qui est logique parce qu'il y a de plus en plus de nombres de la forme $2^n \times p$. Si tu arrives à récupérer des données fiables, tu peux aussi les mettre dans https://www.wolframalpha.com/  histoire de clore le débat.
  • Wilfrid a dit
    Des idées que n'ont pas eues les "spécialistes", j'en ai à la pelle.
    Trop drôle, comment sais-tu que tes "idées" n'ont pas déjà été étudiées par les spécialistes ? Il faudrait être un spécialiste pour connaître l'état des lieux de la recherche sur une conjecture. Évidemment les idées ne donnant rien de pertinents ne sont pas publiées sauf dans shtam. Les scientifiques ont tous l'attitude de Heuristique : lorsqu'ils démontrent P=NP ou Syracuse ou n'importe quoi de réputé difficile, ils se relisent pour chercher l'erreur et progresser, ils ne se précipitent pas sur les forums pour essayer désespèrement de briller auprès d'une communauté qu'ils font au mieux rigoler, au pire inspirent de la pitié.
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • @123rourou Dans mon exemple, il y a 2 multiplications et 3 divisions, la proportion de multiplications est donc de $\frac{2}{5} < \frac{1}{2}$, cela ne veut toujours pas dire que le nombre a décru.
    @Wilfrid Tu as fait un programme pour calculer les différents termes de la suite de Syracuse et c'est très bien. Mais cela ne fait pas avancer le schmilblick sur la preuve que l'on arrive toujours au cycle 421.
  • 123rourou
    Modifié (June 2023)
    Si, parce que les proportions sont nettement plus importantes. Cela commence autour de 2 pour n=1000000 et ça finit à plus de 18 fois. Par contre, pour le cycle, je suis d'accord. Mon histoire d'unicité n'est qu'une hypothèse et comme on ne pourra pas être d'accord, je vais en rester là. Il faudrait que @Bibix source les formules qu'il a données ou les passe au crible de  https://www.wolframalpha.com/
  • Heuristique
    Modifié (June 2023)
    Tu constates que, sur tes exemples, les proportions sont bien différentes : c'est normal car les exemples que tu testes convergent vers le cycle 421. Mais cela ne prouve pas que de telles proportions apparaissent toujours. Quand bien même tu testerais sur des milliards de nombres, cela ne sera toujours pas une preuve.
    La source de Bibix est simplement la définition de l'algorithme de Syracuse lui-même.
  • Dom
    Dom
    Modifié (June 2023)
    Je suis d’accord pour dire que des néophytes peuvent avoir de nouvelles idées. 
    Je suis même d’accord pour dire qu’il est possible qu’une conjecture puisse être résolues en quelques lignes avec une bonne idée.
    Une fois dit cela, dans Shtam, on n’a pas avancé d’un iota quelle que soit la conjecture.
  • Wilfrid
    Modifié (July 2023)

    Vassillia a écrit :
    Trop drôle, comment sais-tu que tes "idées" n'ont pas déjà été étudiées par les spécialistes ?

    Parce qu'elles auraient figuré dans l'un des très nombreux ouvrages dédiés à cette conjecture, autant en français qu'en anglais, par exemple "La suite de Syracuse, un monde de conjectures", de Pochon et Favre, qui fait l'inventaire quasi-exhaustif de nos connaissances en la matière.

    Mais le pire est cette idée qu'il existerait des "spécialistes" de Syracuse. La réalité est que face à ce problème nous sommes tous égaux, quel que soit notre niveau en maths. Je concède que ce soit difficile à admettre de la part de mathématiciens, mais c'est ainsi.

  • Dom
    Dom
    Modifié (June 2023)
    Pourquoi « tous égaux » ?
    Il y a tout de même une expérience. 
    Un gamin de grande section est-il « égal » à quiconque sur cette conjecture ?
    Je veux bien être égal à quiconque dans le sens où je n’ai pas démontré la conjecture. Mais ce n’est pas très riche comme remarque. 
    Je ne citerai pas les noms mais on a quand même vu des gens annoncer « j’ai démontré ça » alors que le langage utilisé n’est même pas mathématique et qu’ils passent des heures à démontrer laborieusement des trivialités puis en une ligne attaquent l’argumentaire par « on voit bien que ». 
    Dans ce cas, pardon, mais je refuse d’être « égal » à ces gens là sur ces sujets de mathématiques. 
  • 123rourou
    Modifié (June 2023)
    Heuristique Essaie de générer une suite en maximisant le nombre d'impairs et tu comprendras ce que je dis. et @Bibix a sorti des proba je ne sais plus où.
  • Dom a écrit :
    Pourquoi « tous égaux » ?

    Tous égaux dans notre impuissance à démontrer la conjecture.

  • Dom
    Dom
    Modifié (June 2023)
    Bof. C’est assez pauvre comme commentaire. 
    Suis-je égal à quelqu’un qui ne sait même pas que cette conjecture existe ?
    Suis-je égal à quelqu’un qui a travaillé sur cette conjecture pendant trois décennies ?
    Un peu bizarre comme slogan.
  • Il y a ceux qui n'ont pas fait avancer la conjecture et qui le savent et ceux qui n'ont pas fait avancer la conjecture et qui croient l'avoir fait avancer. De mon point de vue, il y a un ordre entre ces 2 catégories et du coup n'importe quel gamin de maternelle appartenant au premier groupe est supérieur aux membres du deuxième groupe. Je vous laisse deviner qui je mets dans ce deuxième groupe (pas ceux qui arrivent modestement en demandant où ils se sont trompés et si leurs réflexions sont intéressantes, c'est tout à fait sain comme démarche).
    La philosophie nous enseigne à douter de ce qui nous paraît évident. La propagande, au contraire, nous enseigne à accepter pour évident ce dont il serait raisonnable de douter. (Aldous Huxley)
  • On est tous égaux. Mais il y en a qui disent : je suis champion de lancer du poids, je lance le poids à 13m60, donc je peux devenir champion de saut en longueur, et sauter 13m60. Sans même chercher à savoir si le record du monde actuel de saut en longueur est à 6m ou 8m ou 80m.

    Et ceux là, même si on est tous égaux, je pense qu'ils sont un peu moins égaux que les autres. 
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • @123rourou Tu me demandes un contre-exemple et je ne peux pas t'en donner, pour la simple et bonne raison que, si j'en trouvais un, ce serait déjà une immense avancée dans la fameuse conjecture de Syracuse. Je ne dis pas que ce que ta propriété sur les divisions et multiplications est fausse. Je dis que, en l'état, elle est très difficile à démontrer et que la démontrer ou l'infirmer par un contre-exemple serait un résultat incroyable.
    Les personnes qui s'attaquent à Syracuse avec peu de connaissances en maths et en logique font souvent la même erreur : ils énoncent une propriété qu'ils ont observé sur des millions de cas, proposent une preuve en général fausse car contenant un "On voit bien que" et en déduisent la conjecture. La propriété énoncée est souvent extrêmement difficile à démontrer ou infirmer (c'est un bon morceau de la conjecture en général), cela n'empêche que leur preuve est fausse et qu'ils n'ont rien prouvé, mais personne ne peut non plus démontrer que la propriété qu'ils énoncent est fausse.
  • Petite question : si cette conjecture est fausse parce qu'il existe un entier dont la suite des termes ne revient pas à 1, non pas du fait d'un autre cycle que 1-4-2, mais du fait qu'elle tend vers l'infini, comment va-t-on pouvoir le prouver ? 
    En effet, il faut aller y voir pour le savoir (car il me semble que si on "sait" à l'avance qu'il va redescendre suffisamment bas, disons en dessous de lui-même, on sait démontrer la conjecture), et on ne peut pas tester l'infini.
  • Et même pour l'histoire des cycles. 
    Partons d'un nombre $N$ très très grand (un nombre avec quelques millions de chiffres). On fait une série de montées/descentes, plein de fois. Avec des nombres aussi grands, la route peut être très très longue. On le voit déjà avec des petits nombres, on a de très grandes disparités : certains petits nombres vont arriver à 1 en 50 étapes, alors que l'impair immédiatement supérieur aura besoin de 10 fois plus d'étapes.
    Et au hasard de ces montées et descentes, rien ne nous garantit qu'on ne va pas retomber sur le nombre de départ $N$. Et donc on aurait un cycle.

    La suite fait qu'on passe plus souvent par des pairs, ok,
    Quand on passe par un pair, on descend, ok,
    donc en général, on descend, ok,
    donc en général, on arrive à 1, ok.
    Mais tous ces arguments, ils disent : en général, pour la majorité des nombres, en moyenne, ça se comporte de telles façon. Les disparités (énooooooormes) autour de ce comportement moyen ne sont jamais abordées. Et il y a une bonne raison pour ça, c'est tout simplement qu'aucun outil de calcul (purement arithmétique) ne permet de faire le tour du sujet.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • gerard0
    Modifié (June 2023)
    Attention, Julia Paule, il ne suffit pas qu'un nombre ait un successeur inférieur à lui-même, il faut que ce successeur aboutisse à 1.
    Si on teste les entiers 1 à 1 jusqu'à, disons, 2^68, chaque fois qu'un nombre a un successeur inférieur à lui-même, on peut s'arrêter, car on connaît la suite.
    Mais si on teste un nombre, disons à 10^1000 chiffres directement, le fait qu'il ait un successeur inférieur à lui-même ne prouve rien. Les successeurs suivant peuvent donner des nombres bien plus grands, qui ne retombent jamais à 1. D'ailleurs, "s'il existe un entier dont la suite des termes ne revient pas à 1, non pas du fait d'un autre cycle que 1-4-2, mais du fait qu'elle tend vers l'infini", 2x, son double aussi, mais le successeur de son double est x qui est inférieur à lui-même.
    Cordialement.
  • La conjecture de Syracuse est équivalente au fait que la suite de Syracuse retombe toujours strictement en dessous de l'entier de départ $u_0$ pour tout $u_0 \geqslant 2$.
    Si c'est faux, on pourrait le prouver par l'absurde. On suppose que c'est vrai, puis on en déduit qu'on arrive à trouver une infinité d'entiers $v_n$ satisfaisant $10^{100} \ln(\ln(v_n)) \geq v_n$ -> contradiction.
  • 123rourou
    Modifié (July 2023)
    Merci @lourrran pour
    La suite fait qu'on passe plus souvent par des pairs, ok,
    Quand on passe par un pair, on descend, ok,
    donc en général, on descend, ok,
    Perso, je virerais "en général" , et la fin de la démonstration pour moi , réside dans la démonstration de l'unicité du cycle final 1 4 2 , puisqu'elle ne peut pas tendre vers + infini ou diverger. Mais il peut très bien y avoir un autre cycle, sauf si l'on démontre que tout les  valeurs $n$  ont une représentation ou une écriture unique en "Syracuse"
  • La formulation de Julia Paule est en effet ambigue ... mais il faut changer très peu de choses pour la rendre vraie.
    Si un nombre $N$ 'redescend en dessous de lui-même' , alors il finit par arriver à 1 : ceci est faux.
    Si pour tout entier $N$, le chemin 'redescend en dessous de $N$' , alors il finissent tous par arriver à 1 : ceci est vrai.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • @123rourou
    Tu virerais 'en général'... pourquoi ?
    Tu ne veux pas écrire des trucs vrais, et tu tiens à écrire des trucs faux ?
    Je ne vois pas d'autre raison.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • 123rourou
    Modifié (June 2023)
    Par ce que
    lorsque 2 évènements sont compatibles, la probabilité que l'évènement A ou l'évènement B se produise est P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B).
    et toi tu me dis ben non,   peut-être que ..., hein va savoir ...
  • Qu'est-ce que les probabilités viennent faire là-dedans ?
  • Julia Paule
    Modifié (June 2023)
    Il me semble que si on montre que tout entier finit par redescendre en-dessous de lui-même, c'est gagné par une récurrence facile, non ?
    EDIT : Ok, @lourrran a confirmé.
    @gerard0 tu enfonces une porte ouverte.
  • Julia Paule
    Modifié (June 2023)
    @Bibix peux-tu expliquer ta formule, ou fournir un lien qui l'expliquerait ?
  • Tu parles de ça : $10^{100} \ln(\ln(v_n)) \geqslant v_n$ ? C'est juste un exemple d'absurdité que je trouve crédible (ça serait cohérent avec les $2^{68}$ nombres testés à ce jour).
  • gerard0
    Modifié (June 2023)
    Désolé, Julia Paule, mais j'ai mal interprété la fin de ton message. Tu parlais d'un nombre pour dire "n'importe quel nombre".
    Cordialement.
    NB. Sur ce sujet, on redit souvent ce qui est déjà connu. Comme tu le faisais dans ton message. Ce n'est pas ce que j'appelle "enfoncer des portes ouvertes".
  • Julia Paule
    Modifié (June 2023)
    Maintenant que l'ambiguïté est levée, dans le cas où cette conjecture est fausse du fait qu'il existe un entier dont la suite des termes tend vers l'infini, quelqu'un peut-il m'expliquer comment on va pouvoir le prouver (que la suite des termes tend vers l'infini) ?
    En effet, on ne peut pas matériellement prouver que cette conjecture est fausse du fait de cette raison-là, parce qu'on ne peut pas tester l'infini. On ne peut le faire que mathématiquement.
    Mais si on a trouvé le moyen de le faire mathématiquement, on a aussi le moyen de prouver que certains nombres reviennent à 1, et d'autres non.
    Ben oui, ça doit être ça la raison : en cherchant à prouver que la conjecture est vraie, on fait d'une pierre deux coups, on peut aussi espérer prouver qu'elle est fausse, mais on ne pourra pas le faire en testant un entier (même si cet entier tend effectivement vers l'infini).
    Du coup, j'ai répondu à ma question.
  • gerard0
    Modifié (June 2023)
    En fait, certains on tenté de montrer que certains nombres (impairs), de forme particulière, avaient un successeur de même forme supérieur à eux. ce qui aurait initié une suite de successeurs de plus en plus grands. Personne n'a trouvé.
    Cordialement.
  • @gerard0 Merci pour l'information. Cela me rassure, car on ne voit dans Shtam que des essais de démonstration que la conjecture est vraie, jamais qu'elle est fausse.
  • Je ne m’y connais pas bien. Cependant, prouver qu’il existe une suite non bornée ne se fera pas forcément directement. J’imagine plutôt un truc par l’absurde. Et là, l’argument peut s’avérer trivial (« si c’est non borné j’en conclus qu’il existe un entier impair qui est égal à son double », par exemple).
  • La démonstration du théorème de Fermat-Wiles a fait intervenir des branches des mathématiques totalement inattendues, pour une 'simple' question d'arithmétique.
    Si un jour quelqu'un réussit à prouver un résultat sur Syracuse (démontrer qu'elle est vraie, ou bien démontrer qu'elle est fausse), ce sera très probablement avec des arguments totalement inattendus, comme pour ce théorème de Fermat.

    Sauf évidemment l'existence d'un cycle, qui lui pourrait être trouvé par une recherche informatique.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • L’existence d’un cycle, clôturerait la conjecture mais relancerait « y en a-t-il d’autres ? » peut-être. 
    Aussi, ce serait marrant qu’on prouve qu’il existe une suite non bornée sans même savoir de quel ordre de grandeur ce maudit nombre a l’air. 
  • gerard0 a écrit :
    certains on tenté de montrer que certains nombres (impairs), de forme particulière, avaient un successeur de même forme supérieur à eux. ce qui aurait initié une suite de successeurs de plus en plus grands. Personne n'a trouvé.

    $I_q\,(x)=2^{q+1}\,(6\,x-2\,(-1)^q-3)-1 \quad \small q, x > 0$

    où $q$ représente le nombre de termes croissants, et $x$ un entier positif quelconque. Exemple : supposons qu'on veuille créer une suite dont les 9 premiers termes – comprenant donc son terme initial – sont croissants : $q$ vaut alors 8. En prenant $x=1$ on obtient 511, dont la suite est 511, 767, 1151, 1727, 2591, 3887, 5831, 8747, 13121, 9841, ... Cette suite est bien croissante sur ses 9 premiers termes.

    $q$ pouvant être infini, la suite correspondante ne passera jamais par 1. Code Python :

    def iota(q, x, m3=0):
        v = 2 * (2 * m3 - 1) * (-1)**q
        return 2**(q + 1) * (6 * x - 3 + v) - 1
    
    print(iota(8, 1))  # Affiche 511

    Le paramètre m3 (pour multiple de 3) vaut 0 par défaut, auquel cas le nombre renvoyé n'est pas un multiple de 3. Si on désire obtenir un multiple de 3, ce paramètre doit valoir 1. Par exemple, avec iota(8, 1, 1) la fonction renvoie 2559, égal à 3 * 853.

  • q ne peut pas être infini.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Encore une fausse preuve. Avec l'erreur classique : si ça peut marcher pour des nombres aussi grands que l'on veut, ça marche indéfiniment. Que Lourrran a résumé en une phrase courte.
  • 123rourou
    Modifié (June 2023)
    Un petit copier colle

    Un argument probabiliste

    Pour se convaincre qu’une divergence à l’infini est peu probable, on peut avoir recours à un argument probabiliste. Pour cela, il suffit d’observer que quand on a un nombre impair, et qu’on le multiplie par 3 en ajoutant 1, on tombe nécessairement sur un nombre pair. On peut donc directement le diviser par 2. Ceci donne naissance à la forme comprimée de la procédure :

    • si N pair ==> N/2
    • si N impair ==> (3*N+1)/2
    Quel est l’intérêt de cette forme comprimée ? Que le nombre N soit pair ou impair, le nombre sur lequel on tombe sera à 50% de probabilité pair, et à 50% de probabilité impair. Après K opérations, le nombre initial a en moyenne été multiplié K/2 fois par (1/2) et K/2 fois par en gros (3/2). Donc après K opérations, le nombre initial a en moyenne été multiplié par
    $(3/4)^{K/2}$
    Puisque 3/4<1, on voit quand itérant les opérations à l’infini, on doit en moyenne toujours décroitre. Bien sûr cet argument probabiliste n’est pas une démonstration, puisqu’il suppose qu’on tombe bien à chaque fois à 50% de chance sur un nombre pair ou sur un nombre impair. C’est vrai en moyenne, mais pas pour chaque suite prise individuellement. Donc ce raisonnement montre qu’un contre-exemple allant à l’infini est assez improbable, mais il peut très bien exister !
  • Que ce soit peu probable, ça apporte quoi ?

    Quand on lance une pièce en l'air, il est peu probable qu'elle retombe sur la tranche.
    Quand on lance 800 Milliards de milliards de milliards de fois une pièce en l'air, il n'est pas exclu qu'une fois ou deux, elle retombe sur la tranche.
    Et il suffit qu'elle retombe une seule fois sur la tranche pour que la théorie (jamais sur la tranche) devienne fausse.

    Je vois que tu conclues également ainsi, bien.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
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