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Est-il possible de démontrer Syracuse avec un système binaire ?

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Réponses

  • Modifié (18 Jan)
    J'avance tranquillement donc :

    $2^{12}(\frac{3^6}{2^{12}}+\frac{3^5}{2^{12}}+\frac{3^4}{2^{10}}\frac{3^3}{2^{8}}\frac{3^2}{2^{6}}\frac{3^1}{2^{4}})=2^{12}= 3^6+  3^5  +3^4\cdot2^2     +3^3\cdot2^4  +3^2\cdot2^6  +3^1 \cdot2^8  +2^{10}=2^{12}$
    $\frac{(3^6+  3^5  +3^4\cdot2^2     +3^3\cdot2^4  +3^2\cdot2^6  +3^1 \cdot2^8  +2^{10})-451}{3^5}=15$
    $\frac{(3^6+  3^5  +3^4\cdot(2^2+1)     +3^3\cdot(2^4+2)  +3^2\cdot(2^6+2^2)  +3^1 \cdot(2^8+2^3)  +2^{10}+2^8)-451}{2^{12}}  =1$  , $451= 3^4 +3^3\cdot 2   +3^2\cdot 2^2  +3\cdot 2^3  +2^8$.
    Donc, tous les entiers $n_b$ qui seront utilisés dans ce contexte, tels que $n_a = \frac{(2^n - n_b)}{3^p}$, auront une écriture similaire, ce qui veut dire que cela revient à écrire un entier en base 3 et à modifier les coefficients en $2 ^n$ pour qu'il soit égal à la quantité de division associée à l'image ici $n_a$.
    D'où, la notion de pivot associée aux puissances de 2, je ne vous cache pas que je recherche le moyen de sortir la notion de pivot. Une idée pour ceux qui ont réussi à me suivre.
  • Modifié (19 Jan)
    Cela avance , je n'ai pas encore tout les tenant et aboutissant, mais en gros.
    Dans :  $n_a = \frac{(2^n - n_b)}{3^p}$    $n_b=\sum_{n=0}^{p}{ (2^n\cdot 3^{p-n})}+2 ^q\cdot n_x$
    La décomposition de $n_b$  induite par Syracuse ne peut pas avoir une évolution des puissances autre que avec une raison de 1. Et cela, quelle que soit la quantité de divisions par 2 consécutives effectuées par Syracuse. Après cela, cela peut être une impasse a voir.
    Exemple numérique:
    (2^12-451)/3^5
    (((2^12-451)/3^5)*3+1)/2
    (2^12-451+3^4)/(2*3^4)

    (((2^12-451+3^4)/(2*3^4))*3+1)/2
    (2^12-451+3^4+3^3*2)/(2^2*3^3)

    (((2^12-451+3^4+3^3*2)/(2^2*3^3))*3+1)/2
    (2^12-451+3^4+3^3*2++3^2*2^2)/(2^3*3^2)

    (((2^12-451+3^4+3^3*2++3^2*2^2)/(2^3*3^2))*3+1)/2^5
    (2^12-451+3^4+3^3*2+3^2*2^2+3*2^3)/(2^8*3^1)

    (((2^12-451+3^4+3^3*2++3^2*2^2)/(2^3*3^2))*3+1)/2^6
    ((2^12-451+3^4+3^3*2++3^2*2^2+3*2^3)/(2^9*3^1))
    modif de 14h
      $n_a = \dfrac{(2^n - n_b)}{3^p}$   $n_b=\sum_{n=0}^{p}{ (2^n\cdot 3^{p-n})}+2 ^q\cdot n_a$
  • Modifié (22 Jan)
    Donc, pour démontrer que la suite de Syracuse décroît, je propose d'écrire $n_a=(2^p−n_x )/3^q$  Il est inutile de préciser que, par construction, $2^q>3^p$ avec un exemple pour $n_a=19$

    $\frac{2^{14}-2533}{3^6}=19$
    $(((\frac{2^{14}-2533}{3^6})3+1)/2=$  $\frac{2^{14}-2533+3^5}{2\cdot3^5}=29$
    $((\frac{2^{14}-2533+3^5}{2\cdot3^5})\cdot3+1)/2^3=$ $\frac{2^{14}-2533+3^5+3^4\cdot2}{2^4\cdot3^4}=11$
    $((\frac{2^{14}-2533+3^5+3^4\cdot2}{2^4\cdot3^4})\cdot 3+1)/2=$$\frac{2^{14}-2533+3^5+3^4\cdot2+2^4\cdot3^3}{2^5\cdot3^3}=17$
    $((\frac{2^{14}-2533+3^5+3^4\cdot2+2^4\cdot3^3}{2^5\cdot3^4})\cdot3+1)/2^2=$$\frac{2^{14}-2533+3^5+3^4\cdot2+2^4\cdot3^3+3^2 \cdot 2^5}{2^7\cdot3^2}=13$
    $((\frac{2^{14}-2533+3^5+3^4\cdot2+2^4\cdot3^3+3^2 \cdot 2^5}{2^7\cdot3^2})\cdot 3+1)/2^3=$$\frac{2^{14}-2533+3^5+3^4\cdot2+2^4\cdot3^3+3^2 \cdot 2^5+3^1\cdot2^7}{2^{10}\cdot3^1}=5$
    $((\frac{2^{14}-2533+3^5+3^4\cdot2+2^4\cdot3^3+3^2 \cdot 2^5+3^1\cdot2^7}{2^{10}\cdot3^1})\cdot3+1)/2^4=$  $\frac{2^{14}-2533+3^5+3^4\cdot 2+3^3\cdot 2^4+3^2\cdot 2^5+3^1\cdot 2^7+2^{10}}{2^{14}}=1$
    Cependant, cela ne démontre pas que cela soit égal à 1. Je recherche un moyen de le mettre en évidence de manière simple et indiscutable. En attendant, je reste à l'écoute concernant ma proposition ci-dessus.
  • Modifié (22 Jan)
    Dit différemment .
    $n_a=(2^p−n_b )/3^q$
    $\dfrac{2^{n0+n1+n2+n3+n4}}{2^{n0+n1+n2+n3+n4}}+(3\cdot(3\cdot(3\cdot(3\cdot(3\cdot(3+2^{n_0})+2^{n_1})+2^{n_2})+2^{n_3})+2^{n_4})+2^{n_5}-n_b)=1+0=1$
    Pourquoi $3\cdot(3\cdot(3\cdot(3\cdot(3\cdot(3+2^{n_0})+2^{n_1})+2^{n_2})+2^{n_3})+2^{n_4})+2^{n_5}-n_b=0$
  • Modifié (23 Jan)
    Bon à l'arrivée, je peux dire que Syracuse est équivalent à une ""nouvelle"" décomposition sous forme de somme des puissances de 2 ou multiple de puissance de 2.Par contre, je ne sais toujours pas dire pourquoi.Pour le mettre en évidence, on a vu qu'à chaque tour, on ajoute un élément, mais cette somme est incomplète. Il y a un reliquat lié au modulo. Bon bref, voir pièce joint .Je passe à autre chose.
  • Modifié (24 Jan)
    Donc
    $2^q=3^p2^{n_0}+3^{p-1}2^{n_1}+3^{p-2}2^{n_1}+3^{p-3}2^{n_3}+....+((3^{p+1})\pmod{2^q}\cdot n_a$
    Si je respecte les règles, puissances de 2 strictement croissantes $n_0<n_1$ et puissances de 3 strictement décroissantes, de raison 1, implique un $n_a$ unique.Puis par récurrence,je peux démontrer et  donc dire que tous les entiers convergent vers 1. 
    Bon bref ce problème, comme déjà dit et pressenti, et sans grand intérêt.
  • Tu avais promis que tu passais à autre chose, et au bout d'un jour, tu ne tiens pas ta promesse.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Modifié (24 Jan)
    Je savais que je pouvais compter sur toi. En gros, si j'ai raison, cela veut dire que tous les entiers peuvent s'écrire sous cette forme.
    $\forall n\in  \N,\ n=\dfrac{2^{n_{\max}+4}-3^p2^{n_0}+3^{p-1}2^{n_1}+3^{p-2}2^{n_1}+3^{p-3}2^{n_3}+\dots+3^02^{n_{\max}}}{3^{p+1}}$
    Tu peux même vérifier avec   https://calculis.net/syracuse un petit bricolage à partir de 19
     $(2^{10+4}-( 3^5+3^4\cdot 2+3^3\cdot2^4+3^2\cdot2^5+3\cdot2^7+2^{10}))/3^6=19$
    $n=2$, $(2^{10+4+n}-( 3^6+3^5\cdot 2^n+3^4\cdot 2^{1+n}+3^3\cdot 2^{4+n}+3^2\cdot 2^{5+n}+3\cdot 2^{7+n}+2^{10+n}))/3^7=25$
    $n=4$, $(2^{10+4+n}-( 3^6+3^5\cdot 2^n+3^4\cdot 2^{1+n}+3^3\cdot 2^{4+n}+3^2\cdot 2^{5+n}+3\cdot 2^{7+n}+2^{10+n}))/3^7=101$
    $n=6$, $(2^{10+4+n}-( 3^6+3^5\cdot 2^n+3^4\cdot 2^{1+n}+3^3\cdot 2^{4+n}+3^2\cdot 2^{5+n}+3\cdot 2^{7+n}+2^{10+n}))/3^7=405$
    Bon, bref, comme ma démonstration par récurrence ne me semble pas très claire, voire trop alambiquée, n'hésite pas. Il paraît que nous sommes sur un forum de maths. Il y a peut-être un moyen de le faire plus simplement.
  • Et que donne le sytème « 101n+1 et n/10 » ?
    je repars ça fait « troll binaire ». 
  • Modifié (24 Jan)
    Oui, mais non, on peut faire cela avec plusieurs valeurs, et l'on peut aussi ajouter des éléments.
    n=0
    (2^(8+4+n)-(3^4+3^3*  2^(1+n)+3^2*  2^(2+n)+3*2^(3+n)+2^(8+n)))/3^5=15
    15 - 46 - 23 - 70 - 35 - 106 - 53 - 160 - 80 - 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1   qt impaire $\ne 1, 5$
    n=2
    (2^(8+4+n)-(3^4+3^3*  2^(1+n)+3^2*  2^(2+n)+3*2^(3+n)+2^(8+n)))/3^5=61
    61 - 184 - 92 - 46 - 23 - 70 - 35 - 106 - 53 - 160 - 80 - 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1  qt impaire $\ne 1,5$
    n=4
    (2^(8+4+n)-(3^4+3^3*  2^(1+n)+3^2*  2^(2+n)+3*2^(3+n)+2^(8+n)))/3^5=245
    245 - 736 - 368 - 184 - 92 - 46 - 23 - 70 - 35 - 106 - 53 - 160 - 80 - 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1 qt impaire $\ne 1, 5$
    n=6
    (2^(8+4+n)-(3^4+3^3*  2^(1+n)+3^2*  2^(2+n)+3*2^(3+n)+2^(8+n)))/3^5=981
    981 - 2944 - 1472 - 736 - 368 - 184 - 92 - 46 - 23 - 70 - 35 - 106 - 53 - 160 - 80 - 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1  qt impaire $\ne 1, 5$

  • Modifié (24 Jan)
    Et je peux aussi ajouter des nombres pairs où je veux.
    n=2
    m=0
    (2^(8+4+n+m)-(3^4+3^3*  2^(1+n)+3^2*  2^(2+n+m)+3*2^(3+n+m)+2^(8+n+m)))/3^5
    61 - 184 - 92 - 46 - 23 - 70 - 35 - 106 - 53 - 160 - 80 - 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1
    n=2
    m=6
    (2^(8+4+n+m)-(3^4+3^3*  2^(1+n)+3^2*  2^(2+n+m)+3*2^(3+n+m)+2^(8+n+m)))/3^5=3981
    3981 - 11944 - 5972 - 2986 - 1493 - 4480 - 2240 - 1120 - 560 - 280 - 140 - 70 - 35 - 106 - 53 - 160 - 80 - 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1
    n=2
    m=12
    (2^(8+4+n+m)-(3^4+3^3*  2^(1+n)+3^2*  2^(2+n+m)+3*2^(3+n+m)+2^(8+n+m)))/3^5=254861
    254861 - 764584 - 382292 - 191146 - 95573 - 286720 - 143360 - 71680 - 35840 - 17920 - 8960 - 4480 - 2240 - 1120 - 560 - 280 - 140 - 70 - 35 - 106 - 53 - 160 - 80 - 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1
    Un avis peut-être : comment expliquer cela pour démontrer que tous les entiers convergent vers 1, et cela le permet-il ? Ou
     cette approche constitue-t-elle une avancée permettant de démontrer la conjecture ?
    Ensuite, pour les esprits chafouins
    Dans mon monde, ce sont des connerie, car il y a certainement une clause qui fait que la boîte ne versera jamais aucun centime. Bon, bref. Et si cela peut rassurer, je m'engage à remettre 95%  au Resto du Cœur.
  • Modifié (24 Jan)
    Imaginons un lycéen qui entend parler de cette conjecture. Imaginons qu'il s'y intéresse. Imaginons que ce soit un lycéen plutôt débrouillard. 
    Au bout de 2 jours, s'il travaille tout seul dans son coin sans lire ce qui se dit sur les sites 'sérieux', il va écrire des trucs comme ça : 

    3981 - 11944 - 5972 - 2986 - 1493 - 4480 - 2240 - 1120 - 560 - 280 - 140 - 70 - 35 - 106 - 53 - 160 - 80 - 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1

    254861 - 764584 - 382292 - 191146 - 95573 - 286720 - 143360 - 71680 - 35840 - 17920 - 8960 - 4480 - 2240 - 1120 - 560 - 280 - 140 - 70 - 35 - 106 - 53 - 160 - 80 - 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1

    (2^(8+4+n+m)-(3^4+3^3*  2^(1+n)+3^2*  2^(2+n+m)+3*2^(3+n+m)+2^(8+n+m)))/3^5=254861

    Le 3ème jour, il va se dire : bon, tout ça ne va mener nulle part, aucun espoir que ça permette de démontrer la conjecture.
    Peut-être une semaine s'il est moyennement débrouillard.
    Et s'il continue de s'intéresser à cette conjecture, il va s'informer, il va lire des sites sérieux, il va ECOUTER ce que les autres disent, au lieu de MONOLOGUER.
    Toi, au bout de plusieurs années, tu n'as toujours pas compris ce qu'un bon lycéen va comprendre en une semaine.

    Évidemment, ce prix ne te concerne pas. Évidemment, tu ne toucheras jamais le moindre centime pour ton '''travail'''.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Modifié (25 Jan)
    Quand tu prends un entier, tu ne sais pas où il va atterrir. Si tu pars de 1 et que tu vas vers n, tu sais d'avance où tu vas atterrir. La différence réside dans les conditions initiales. En gros,tout ce qui sort de cette relation atterrit obligatoirement vers 1, avec un parcours préalablement établi, défini et contraint par la relation.
    Donc comment puis-je, à partir d'un entier quelconque, trouver l'entier impair strictement plus grand ? Et comment puis-je trouver un entier impair strictement plus grand, mais avec 2,3,4 entiers pairs entre eux .Voilà, j'espère que tu as appréhendé ma démonstration par récurrence "" alambiquée"".
  • Modifié (25 Jan)
    Rien de nouveau. Ce que tu expliques là, c'est clair depuis des semaines voire des mois. Depuis que tu as lancé cette discussion en fait.
    Et ce qui est également clair, c'est qu'il n'y a aucun espoir que ça aboutisse à une démonstration.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Modifié (25 Jan)
    Tu ne veux pas essayer d'invalider ma démonstration par récurrence puisque tu l'as comprise. Cela serait plus simple non, ou à défaut, essaie de trouver un lien qui reprenne cette approche. Et en quoi une démonstration par récurrence n'est-elle pas recevable d'un point de vue arithmétique. Pour rappel, ma relation me permet d'introduire une quantité arbitrairement longue de nombres pairs dans une suite de Syracuse, là où je le souhaite.
  • Modifié (25 Jan)
    Ta démonstration dit : 
    - Regardons un nombre  N, qui aboutit à 1 par la suite d'opérations de Syracuse.
    - Du coup, ce nombre vérifie une certaine formule.
    - Du coup, il aboutit à 1 par la suite d'opérations de Syracuse. 
    - Du coup les autres nombres aboutissent aussi à 1 par la suite d'opérations de Syracuse.

    Je pense que j'ai résumé fidèlement ton travail. J'ai essayé.
    Si ma traduction n'est pas fidèle, essaye de résumer ton plan, comme je viens de le faire, en 4 ou 5 phrases courtes.

    Si mon résumé est bien fidèle à ce que tu fais, vois-tu que la démonstration est bancale (je dis bancale, je devrais dire totalement fausse).
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Modifié (25 Jan)
    Non, tu fais semblant de ne pas me comprendre et tu t’arc-boutes dans tes certitudes en disant que ce n'est pas possible. J'ai donc raison et il va se planter au bout.
    Bon bref, pour l'instant, je recherche un moyen simple d'expliquer la démonstration.
    n=0
    (2^(14+n)-(3^5*(2^n)+3^4*2^(1+n)+3^3*2^(4+n)+3^2*2^(5+n)+3*2^(7+n)+2^(10+n)  ))/3^6=19
    19 - 58 - 29 - 88 - 44 - 22 - 11 - 34 - 17 - 52 - 26 - 13 - 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1
    je rajoute 4 nombres pairs  devant 19
    n=4
    (2^(14+n)-(3^6+3^5*2^n+3^4*2^(1+n)+3^3*2^(4+n)+3^2*2^(5+n)+3*2^(7+n)+2^(10+n)  ))/3^7=101
    101 - 304 - 152 - 76 - 38 - 19 - 58 - 29 - 88 - 44 - 22 - 11 - 34 - 17 - 52 - 26 - 13 - 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1
    J'ajoute un nombre impair devant les quatre nombres pairs précédemment ajoutés
    (101*2-1) /3
    (2^(14+n+1)-(3^7+3^6*2+3^5*2^(n+1)+3^4*2^(1+n+1)+3^3*2^(4+n+1)+3^2*2^(5+n+1)+3*2^(7+n+1)+2^(10+n+1)  ))/3^8=67
    67
    - 202 - 101 - 304 - 152 - 76 - 38 - 19 - 58 - 29 - 88 - 44 - 22 - 11 - 34 - 17 - 52 - 26 - 13 - 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1
    Nous serions donc d'accord pour dire qu'en combinant ces deux méthodes (ajout de nombres pairs et ajout de nombres impairs), je peux construire toutes les séquences alternées paire-impaire sans aucune limitation. Cela devrait faire un bon début.
    Tiens, à la l'arrache, une idée à la con qui a émergé en même temps que l'écriture du message. Il y a peut-être une mise en facteur d'un parcours possible chez les entiers, cela serait rigolo.
    Sinon, je sens bien que cela n'intéresse personne.donc pour le pdf, hummm à voir si j'arrive à trouver quelque chose de simple.
  • Modifié (25 Jan)
    A quel moment mon résumé est-il faux ?
    Laquelle des 4 phrases n'est pas fidèle à ton '''travail''' ?
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Modifié (25 Jan)
    - Du coup les autres nombres aboutissent aussi à 1 par la suite d'opérations de Syracuse.

    Je vais créer ce PDF, mais pour l'instant, je n'ai pas d'idée qui vaille vraiment la peine d'être incluse, sauf à entrer dans un dédale où  je ne souhaite pas en entrée. il me manque une idée.

  • Modifié (25 Jan)
    Bien évidemment, je n'ai pas pu m'empêcher de vérifier, donc cela semble logique, mais je ne sais absolument pas l'expliquer concrètement. Je pars de deux constructions complètement différentes mais similaires ici 11 et 23 avec $3^4$, et je leur applique la même déformation. Entre nous, ce serait sympa que ce soit un peu du n'importe quoi et pas du tout généralisable.
    @lourran je compte sur toi pour faire d'autres exemples.
    (2^11-(3^3+3^2*2^1+3*2^2+2^7))/3^4=23
    (2^10-(3^3+3^2*2^1+3*2^3+2^6))/3^4=11
    n=1,3,5,7,9
    (2^(11+n)-(3^4+3^3*2^n+3^2*2^(1+n)+3*2^(2+n)+2^(7+n)))/3^5
    (2^(10+n)-(3^4+3^3*2^n+3^2*2^(1+n)+3*2^(3+n)+2^(6+n)))/3^5

    n=1    (15-7)/2^(2+1)=1                Par rapport à 23 et 11, j'ajoute 1 entier pair devant
    n=3   (61-29)/2^(2+3) =1                                                          3 entier pair devant
    n=5   (245-117)/2^(2+5) =1                                                      5 entier paire devant
    n= 7  (981-469)/2^(2+7)=1                                                       7 entier paire devant

    n= 9  (3925-1877)/2^(2+9) =1                                                   9 entier paire devant
                                                                                   15 - 46 - 23 - 70 - 35 - 106 - 53 - 160 - 80 - 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1
                                                                    61 - 184 - 92 - 46 - 23 - 70 - 35 - 106 - 53 - 160 - 80 - 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1
                                                245 - 736 - 368 - 184 - 92 - 46 - 23 - 70 - 35 - 106 - 53 - 160 - 80 - 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1
                            981 - 2944 - 1472 - 736 - 368 - 184 - 92 - 46 - 23 - 70 - 35 - 106 - 53 - 160 - 80 - 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1
    3925 - 11776 - 5888 - 2944 - 1472 - 736 - 368 - 184 - 92 - 46 - 23 - 70 - 35 - 106 - 53 - 160 - 80 - 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1
                                                                            7 - 22 - 11 - 34 - 17 - 52 - 26 - 13 - 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1
                                                              29 - 88 - 44 - 22 - 11 - 34 - 17 - 52 - 26 - 13 - 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1
                                            117 - 352 - 176 - 88 - 44 - 22 - 11 - 34 - 17 - 52 - 26 - 13 - 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1
                          469 - 1408 - 704 - 352 - 176 - 88 - 44 - 22 - 11 - 34 - 17 - 52 - 26 - 13 - 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1
    1877 - 5632 - 2816 - 1408 - 704 - 352 - 176 - 88 - 44 - 22 - 11 - 34 - 17 - 52 - 26 - 13 - 40 - 20 - 10 - 5 - 16 - 8 - 4 - 2 - 1
  • En fin de compte, c'est normal et généralisable. Inutile de préciser qu'il n'y aura pas nécessairement une puissance 2 la différence et  liée à la 'déformation'. Ben la voilà mon idée a la con. un parcoure et décomposable en sous ensemble .
  • Tout ça me rappelle une discussion du printemps 2020 avec PMF. ... Quand on connaît le chemin du nombre $n$ (exemple $n=469$), on en déduit immédiatement le chemin de 4n+1 (4*469+1=1877) 
    J'ai illustré avec 469 et 1877, les 2 derniers nombres de ton exemple.
    4*7+1=29
    4*29+1=117
    4*117+1=469 
    etc
    Je pense que le dénommé Collatz avait déjà remarqué cela, il y a plus de 80 ans, bien avant d'aller dire à ses collègues mathématiciens : je réfléchis sur un truc là, je conjecture que ... ...
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Modifié (26 Jan)
    Oui, donc je considère 2 entiers, donc 2 suites. L'une est constituée de 200 entiers impairs et l'autre de 150 entiers impairs, avec exactement la même séquence ou enchaînement pair/impair sur les 100 premiers éléments. Maintenant, que tu sois de mauvaise foi ou pas d'accord, tu seras obligé d'admettre que tu vas générer exactement le même polynôme tant que tu seras dans la partie commune aux 2 entiers (voir lien ou pdf ). Cette  approches permettent de justifier ton coef et ma relation.
    Ensuite, si je continue la décomposition sous forme de pseudo  polynôme et que je considère l'ensemble de la représentation d'un côté, j'ai à minima  un 2^50 (voir forme canonique )  pour l'entier de 150 et de l'autre 2^100. Il n'y a donc pas d'autre choix que d'admettre qu'une même séquence n'a pas la même incidence en fonction de sa position dans le polynôme. Puis, par récurrence, j'arrive à 1.
     Bon, là je vais peut-être un peu vite, mais c'est aussi parce que je suis très à la bourre. Donc, suite au prochain épisode, même si la conclusion me déçoit… le pdf pour le pseudo polynôme https://www.cjoint.com/doc/24_01/NAAiPj2TRCJ_conjecture-de-Syracuse.pdf
  • C'est quand même inquiétant cette insistance depuis plus de 6 mois à dérouler des évidences !
    Ici, ça revient à dire que si deux suites coïncident la traduction de ces deux suites coïncidera aussi ! Quelle découverte !
    Ça fait des mois que 123rourou balance son idée de traduire par des calculs les suites, en annonçant que ça va permettre de progresser, mais sans jamais écrire de preuve (il laisse ça aux autres, lui il est le génie !). Alors que ça a été fait bien avant lui mais jamais publié puisque ça n'aboutit pas !
    La seule chose qui progresse, c'est la taille de cette "discussion", interminable !
  • Modifié (26 Jan)
    L'idée est de pouvoir justifier une mise en facteur lorsqu'une séquence donnée est identique entre deux entiers différents, tout en expliquant les bizarreries liées à certaines circonstances.
    Ici, ça revient à dire que si deux suites coïncident la traduction de ces deux suites coïncidera aussi ! Quelle découverte !

    Ok merci pour ton aval . Donc maintenant, tu rajoutes la notion de 'rand'.  Et quelle est la différence si une même séquence se trouve entre 10-20 et le 100-110 rand ? Je te remercie par avance pour ton éclairage et ton expertise.

  • Modifié (26 Jan)
     je vais peut-être un peu vite, mais c'est aussi parce que je suis très à la bourre. 
    Normal que tu sois très à la bourre, vu le temps que tu passes sur ce sujet...
    Et quand on voit le nombre d'heures que tu passes sur ce sujet, tout ça pour atteindre un niveau digne d'un collégien très faible ...
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Modifié (26 Jan)
    Parce que, en théorie des nombres, une démonstration est liée à une notion conceptuelle ou à une approche, et n'est pas liée à un bagage ou une savoir ou à l'utilisation d'un outil abscons.
    Bien, pour la démonstration, il doit être possible de traiter la séquence d'entiers par petits morceaux ou de décomposer l'entier. Mais je suis d'accord, la notion est très simple et se limite à un tronçonnage de séquence, donc de petites valeurs que l'on sait converger vers 1.
  • Modifié (26 Jan)
    "Et quelle est la différence si une même séquence se trouve entre 10-20 et le 100-110 rand ?"
    Quand tu parleras en français, on pourra savoir de quoi tu parles.
    Finalement, tu remplaces par des "notions" ("tu rajoutes la notion de 'rand'.") tes manques de réflexion et de mathématisation. Tu sembles croire que du baratin constitue une preuve mathématique ("en théorie des nombres, une démonstration est liée à une notion conceptuelle ou à une approche, et n'est pas liée à un bagage ou une savoir ou à l'utilisation d'un outil abscons", belle absurdité !). Le mot "abscons" est une belle révélation sur ton niveau intellectuel, et le mot "bagage" indique que tu refuses d'apprendre. C'est idiot !
    Depuis le temps qu'on te fait remarquer qu'ici c'est des maths, que du baratin ne sert à rien, je commence à me demander si c'est seulement de l'incompétence doublée du refus d'apprendre, car l'autre option te classerait dans les "mal comprenant".
  • Modifié (26 Jan)
    Déjà, tu as admis que je te cite.
    Ici, ça revient à dire que si deux suites coïncident la traduction de ces deux suites coïncidera aussi ! Quelle découverte !
    Bon, ben ta ""coïncidence"" , tu ne la places pas au même endroit dans le pseudo  polynôme. Elle est où la complexité que tu ne comprends pas quoi  ? Je ne vais pas te construire un exemple.
    Je sens poindre un soupçon de mauvaise foi et d'esprit chafouin .Si si, ce n'est pas très grave, ce ne sont que des maths.
  • Modifié (26 Jan)
    Heu ... la mauvaise foi ... tu n'en manques pas !
    "Je ne vais pas te construire un exemple" ?? Des exemples, c'est ce que tu fais depuis le début, et à part les commenter, tu n'en as pas fait grand chose ...
    Sinon, une simple réflexion sur un grand nombre d'exemples (ce que font la plupart de ceux qui s'intéressent à la conjecture)  montre que des variations de la même forme, des successions de multiplications par 3 et ajout de 1, et de divisions par 2 tant que c'est possible, se retrouvent à différents endroits. Si j'ai bien traduit ton charabia, c'est ce que tu remarques. Un exemple basique est 24 et 56, qui donnent 3 divisions par 2 puis multiplications par 3 et ajout de 1.
    Depuis le début, tu ne fais que t'extasier d'avoir trouvé des évidences ...
  • Modifié (26 Jan)
    Non, non et non, il ne faut pas raisonner avec des valeurs, mais avec des séquences. Pour moi, dans ce contexte, une séquence est une alternance de nombres pairs et impairs dans la suite générée par Syracuse. La valeur n'est pas importante, c'est le comportement, l'évolution de la suite qui est important. De toute manière, ce n'est pas grave. J'ai autre chose sur le feu, fais comme tu le sens.
  • La valeur n'est pas importante, c'est le comportement
    L'écart entre 24 est 56 est de 32, c'est à dire $2^5$ ; les 5 premières étapes de leurs chemins (suite compressée) sont donc similaires.

    Et en généralisant, si l'écart entre $a$ et $b$ est un multiple impair de $2^k$, alors les $k$ premières étapes des suites compressées partant de $a$ ou de $b$ sont identiques (même succession de montées et de descentes), mais la k+1 ème étape sera différente.

    C'est un résultat simple à démontrer, que 123rourou devrait pouvoir ""découvrir"" dans quelques années.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Modifié (26 Jan)
    Donc pour l'instant nous en somme ici.
    Oui, donc je considère 2 entiers, donc 2 suites. L'une est constituée de 200 entiers impairs et l'autre de 150 entiers impairs, avec exactement la même séquence ou enchaînement pair/impair sur les 100 premiers éléments. Maintenant, que tu sois de mauvaise foi ou pas d'accord, tu seras obligé d'admettre que tu vas générer exactement le même polynôme tant que tu seras dans la partie commune aux 2 entiers (voir lien ou pdf ). Cette  approches permettent de justifier ton coef et ma relation.

    Maintenant, peut-on faire l'effort de traiter cette séquence en dehors de son contexte ou de la placer à un autre endroit ? Est-ce possible ?

    Ensuite, si je continue la décomposition sous forme de pseudo  polynôme et que je considère l'ensemble de la représentation d'un côté, j'ai à minima  un 2^50 (voir forme canonique pdf )  pour l'entier de 150 et de l'autre 2^100. Il n'y a donc pas d'autre choix que d'admettre qu'une même séquence n'a pas la même incidence en fonction de sa position dans le polynôme.
    oui/non
  • Modifié (4 Feb)
    Voici peut-être ce que tu cherchais, une preuve en binaire concernant Collatz, le cas 3X+1 reste inaccessible.
    Tu peux essayer de démontrer des résultats ou des problèmes plus faciles ou essayer de trouver une autre démonstration d'un théorème que tu connais.
    Je pense que c'est cet état d'esprit que les contradicteurs cherchent dans cette rubrique du forum.
    Il faut accepter ses limites en mathématiques, on n'a pas tous le même niveau et surtout on doit reconnaitre ses erreurs pour avancer et savoir écouter.

    A mon avis reviens dans neuf mois, tu verras que le temps te permettra d'y voir beaucoup plus clair. Le travail concernant une conjecture est d'abord personnel. Personnel dans le sens de la documentation pour ne pas réinventer la roue et comprendre qu'une conjecture c'est comme l'Everest.
    1X+1.pdf 124.6K
  • Modifié (31 Jan)
    Sauf que, dans le cas de 123rourou, ça fait plusieurs années qu'il planche sur le sujet et qu'il écrit sur ce forum (autrefois sous un autre pseudo). Donc visiblement, même le temps ne fait rien à l'affaire.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Voici un outil qui permet de visualiser les suites pour 3X+1, dans la mesure du raisonnable.
    On peut cocher aussi pour visualiser en $binaire$.
    C'est vertigineux.

  • Modifié (31 Jan)
    Vous voulez que je vous dise, la vieillesse est un naufrage et votre problème est complètement stupide, bien que la question puisse paraître légitime. J'ai passé 6 mois sur ce problème complètement stupide , j'ai honte bon bref ....
    Démonstration de la convergence de la conjecture de Syracuse:
    Ligne 24, à partir du moment où l'on admet la forme canonique de la représentation de la suite de Syracuse, vous allez être obligé d'admettre que la suite converge.Parce que la puissance de 2 du premier élément du pseudo polynôme aura, à un moment donné, une valeur plus grande que son numérateur.Cela impliquera qu'il n'y aura plus de partie entière, et donc le résultat sera une puissance de 2 et donc égale à 1.En gros, pour ceux qui ne voudront pas comprendre, toutes les autres valeurs avant cette 'bascule' seront plus grandes que 1 parce que  $n_a\cdot 3^p/2^q>1$ Donc, à vous de justifier une erreur dans ce que j'appelle la forme canonique de la représentation de la suite de Syracuse

    voir ligne 24 du pdf
  • Modifié (31 Jan)
    Bonjour 123rourou,
    Il m'importe peu les états d'âme concernant ce problème, ce qui m'importe ce sont les choses vraies en mathématiques.
    Je te propose de débattre à la Descartes, avec raison.
    J'ai lu ton manuscrit et je suppose que la méthode que tu proposes pour le cas 3X+1 soit vraie.
    Je vais faire ce que feront les mathématiciens face à ta preuve de la conjecture pour le cas 3X+1.
    Ils vont la mettre à l'épreuve.
    Par chance, la conjecture de Collatz donne deux cas simples: le cas 1X+1 qui vérifie la conjecture (c'est un théorème), le cas 5X+1 qui ne vérifie pas la conjecture (on a des contre-exemples).
    Ta méthode appliquée au cas 1X+1 indique que tous les entiers naturels différents de zéro finissent par donner 1 à coup sûr, ce qui est bien.
    Ta méthode appliquée au cas 5X+1 indique que tous les entiers naturels différents de zéro finissent par donner 1 à coup sûr, ce qui n'est pas bien.
    En mathématique, on dit que ta méthode est incomplète, car elle ne reflète pas la réalité des choses pour le cas 5X+1.
    En effet, pour le cas 5X+1 et pour $(U_{0})=5$ cette suite forme un cycle, tu peux le vérifier.
    Ce cycle n'est pas mis en évidence par ta méthode.
    D'autre part, pour le cas 5X+1 et pour $(U_{0})=7$ cette suite semble devenir de plus en plus grande et sans fin, tu peux le vérifier.
    Ce cas n'est pas mis en évidence par ta méthode.
    Conclusion : Ce que tu as écrit n'est pas suffisant pour démontrer la conjecture de Collatz. En mathématique on dit que c'est une condition nécessaire mais pas suffisante. Ce que tu as écrit est nécessaire mais pas suffisant. Il y a donc un $trou$ que seul toi dois combler, pour sauver ta méthode. Ce trou est une condition suffisante pour avoir Collatz. C'est cette condition suffisante qui ne se vérifiera pas pour le cas 5X+1.
    Ce n'est pas grave, soit tu mets tout à la poubelle et tu recommences à zéro avec d'autres idées, soit tu dois chercher cette condition suffisante pour avoir Collatz et sauver ta méthode.
    Souvent, la corbeille est une bonne option.
    J'espère avoir été le plus clair possible.
    Note : Lorsque je dis : Ta méthode appliquée au cas 1X+1 et au cas 5X+1, il va de soit que l'on change les coefficients du numérateur du point 22 par 1 et par 5.
    Au plaisir.
  • Modifié (1 Feb)
    Je te remercie pour ton attention et je suis sincère. ,Je vais compléter le PDF, mais pas maintenant ,Pour le 5X+1, cela veut juste  dire qu'il n'y aura jamais assez de divisions par 2 voir les  $\frac{1}{2^{n_x}}$  pour que $n_a\cdot 5^p/2^q<1$ pour les cas où la suite diverge.
    $n_a\cdot \biggl( \frac{3}{2}\biggl)^p \cdot \frac{1}{2^{n_1}}+ \biggl(\frac{3}{2}\biggl)^{p-1}\cdot \frac{1}{2^{n_2}}+  \biggl(\frac{3}{2}\biggl)^{p-2}\cdot \frac{1}{2^{n_3}} +\biggl(\frac{3}{2}\biggl)^{p-3}\cdot  \frac{1}{2^{n_4}} +... +\biggl(\frac{3}{2}\biggl)^{p-n}\cdot \frac{1}{2^{n_p}}=n_b$
    Sinon, pour le reste, je suis d'accord. J'ai juste été dessus par le résultat.
  • Modifié (1 Feb)
    Je n'ai pas osé faire un mélange anglais-français, du coup tout est en anglais, mais c'est relativement simple. Bon, bref, il reste cependant à justifier que ce cas se produit toujours pour 3x+1 et pas pour 5x+1, puisque cela semble être important sauf erreur bien sûr toujours à l’écoute et pas très réactif.
    https://www.cjoint.com/doc/24_02/NBbqsn80V2J_conjecture-de-Syracuse.pdf  
  • Modifié (2 Feb)
    Inutile de préciser que je souhaite que l'on mette en défaut le fond ou la démonstration, et je rajoute que toutes vos éventuelles remarques constructives permettront d'améliorer le PDF en français actuellement, mais qui sera en anglais à la fin. Bon, bref. J'ai ajouté un paragraphe qui traite le cas 5x+1  comme demandé.
    https://www.cjoint.com/doc/24_02/NBcqy4Q5WBJ_conjecture-de-Syracuse---fr.pdf
    Merci pour votre attention .
  • Modifié (2 Feb)
    Bonjour
    J'ai fait défiler les pages en une première lecture visuelle pour voir si mon œil ne tombait pas sur une incohérence flagrante du genre :  4 + 2 = 42.
    Malheureusement, c'est arrivé en fin de manuscrit.
    Au point 97 on y trouve une inégalité stricte qui montre que le nombre à gauche de l'inégalité stricte est plus petit que zéro. Dans ce cas ce nombre doit être forcément négatif. Si tu essaies une valeur quelconque pour $n$ de $\mathbb{N}$, tu trouveras que ce calcul donnera toujours un nombre positif.
    Ton inégalité est donc fausse.
    Même remarque pour le point 98, l'inégalité est fausse.
    Pour t'en convaincre, utilise une calculatrice scientifique, prends une valeur pour $n$ (disons 4) et regarde le signe du résultat.
    J'ai donc arrêté la lecture.
    Tu dois résoudre ce problème d'inégalité.
  • Modifié (5 Feb)
    Oups, bien vu. C'est la valeur de la partie entière qui est égale à zéro. J'ai corrigé et simplifié en supprimant un peu de blabla.Par contre, il reste à trouver quelque chose pour la notion de cycle et éventuellement un petit corollaire.
    https://www.cjoint.com/doc/24_02/NBfkNGbNzrJ_conjecture-de-Syracuse---fr.pdf
    PS. J'ai aussi ajouté une notion de récursivité, voir ligne 53.
  • Modifié (5 Feb)
    Bonjour
    Point 22, il faudrait commencer par un : soit $(U_{0})$ un élément de $\mathbb{N}^*$.
    Point 23, il faudrait indiquer : On définit la formule suivante où les $n_a$, $n_b$, $p$, $a_0$, $a_1$, ... $a_n$ sont des entiers non nuls (je suppose, c'est toi qui dois savoir, pour ne pas y mettre des éléments de $\mathbb{C}$).
    Remarque. Si je comprends bien ta démonstration, tout entier naturel différent de zéro peut s'écrire sous la forme (point23). Ceci n'est pas démontré. Il faut prouver cette $existence$ et peut-être $l'unicité$ pour tout entier naturel.
    En effet, regarde l'entier naturel que j'ai mis en pièce jointe, qui me dit qu'il peut s'écrire sous la forme du point23 ?. Et si c'était un contre-exemple ?. comment peux-tu me convaincre ?.
    Les mathématiciens n'aiment pas les $croyances$, ils aiment les certitudes, une petite $preuve$ pour ce passage rassurera tout le monde.
    Point 27, le mot $polynôme$ est déjà utilisé en mathématique, tu verras que les polynômes sont autre chose, regarde : https://fr.wikipedia.org/wiki/Polynôme. Tu dois définir le point 23 d'une autre façon, tu as le droit, c'est ta démonstration.
    Point 53, je n'ai pas trouvé de raisonnement par récurrence. Il faut annoncer clairement la propriété à démontrer, définir sur quoi porte la récurrence, définir l'hypothèse de récurrence, vérifier l'initialisation sur le/les premier/s terme/s, et démontrer l’hérédité de la propriété. Enfin, il faut conclure en utilisant le principe de récurrence.
    Point 97, Argument non prouvé. Il faut trouver cette condition suffisante qui s'applique au cas 3X+1 et 1X+1 et pas pour 5X+1.
    Tu dois trouver une condition suffisante disons $Truc$, pour que les itérations des suites de Collatz,  $C$x+1 avec $C$ un entier impair, donnent 1.
    Lorsque je traite le cas 1X+1, on peut appliquer $Truc$ et $Truc$ est bien vérifié et donc toutes les suites finissent en 1.
    Lorsque je traite le cas 3X+1, on peut appliquer $Truc$ et $Truc$ est bien vérifié et donc toutes les suites finissent en 1.
    Lorsque je traite le cas 5X+1, malheureusement on ne peut pas appliquer $Truc$ et $Truc$ n'est pas vérifié, on ne peut pas conclure que les suites finissent en 1.
    Maintenant, c'est extrêmement difficile de trouver $Truc$, c'est pour cela que l'on parle de conjecture.
    Conclusion. Il faut tenir compte de la remarque point23, faire proprement la récurrence du point 53, trouver la condition suffisante pour le point 97.
    Au plaisir.
  • Modifié (6 Feb)
    Point 22, il faudrait commencer par un : soit (U0) un élément de N∗.

    ok

    Point 23, il faudrait indiquer : On définit la formule suivante où les na, nb, p, a0, a1, ... an sont des entiers non nuls (je suppose, c'est toi qui dois savoir, pour ne pas y mettre des éléments de C).
    ok
    Ceci n'est pas démontré. Il faut prouver cette existence et peut-être l′unicité pour tout entier naturel.
    OK, le pseudo-polynôme n'est qu'une transposition et j'ai démontré l'existence de la forme canonique
    "car pour chaque entier impair dans la séquence de Syracuse, il y a un entier pair." Cependant, cela va dépendre de la démonstration liée à l'absence de cycle. Donc, oui, mais s'il n'y a pas de cycle, par contre, sous réserve de l'absence de cycle, cela doit être possible. Il doit même exister un peu de littérature, un lien peut-être. Sinon, cela doit être démontrable.
    J'ai noté que mon explication n'était pas très claire.
    Point 27, le mot polynôme est déjà utilisé en mathématique,
    Oui, je sais, c'est un abus de langage. Je ne sais pas encore si je prends pour pseudo-polynôme ou expression "décomposition en base de Syracuse"
    Point 53, je n'ai pas trouvé de raisonnement par récurrence.

    Le raisonnement est écrit, mais pas très clair. Je suis d'accord, l'idée est de repartir de zéro en changeant le point d'entrée, sous réserve que l'entier fasse partie de la suite et que la partie entière du précédent  soit égale à zéro. J'ai justement pensé à ton contre-exemple quand j'ai ajouté cette ligne

    Point 97, Argument non prouvé.

    j'ai écrit en tout lettre en premier approximation donc ... , je vais changer l'explication
    ou utiliser un coef multiplicateur pour passe de 3^p/2^q ->5^p/2^q avoir

    trouver la condition suffisante pour le point 97.
    Pour le point 97, je ne dis pas que ce n'est pas possible, je dis qu'il en faut beaucoup plus, c'est tout. Et je propose une estimation du 'beaucoup plus'.
    Merci pour ton avis constructif.
  • Modifié (6 Feb)
    J'ai développé et ajouté les domaines de définition, mais cela devient de plus en plus verbe, bon bref, j'ai opté pour la transposition de la suite. Ainsi, il n'y a plus de notion d'unicité et la démonstration est liée à la méthode, bien connue et établie donc en dehors du champ du PDF . Ensuite, pour la récurrence, j'ai développé, par contre, je reste sur ma notion de première estimation. Je ne pense pas que la priorité réside dans la généralisation, mais plutôt dans la notion de cycle qui reste a faire.
    https://www.cjoint.com/doc/24_02/NBgmQqD1b3J_conjecture-de-Syracuse---fr.pdf  
    PS. Je rajoute que ce ne sera pas la version française qui sera proposée pour une éventuelle publication, s'il y en a une. Elle est là que pour expliquer et mettre en évidence les éventuelles erreurs de raisonnement.
  • Modifié (6 Feb)
    Pour le truc et truc dans le cas 5x+1, pour chaque entier impair en plus ou chaque fois qu'il y a un entier impair de nouveaux dans la suite  , il faut que je double la quantité de divisions par 2 pour la faire converger . Cela devrait  suffire à te faire  admettre que la suite diverge, non ?
  • Modifié (6 Feb)
    Pour la démonstration
    $\frac{3^n}{2^{(n+\frac{2n}{3})}}<1 \quad ,\quad 3^n\cdot2^{-5n/3} \quad,\quad 3^n<\frac{1}{2^{-5n/3}}$
    Mais je ne suis pas sûr que cela ait sa place dans le PDF.
  • Modifié (12 Feb)
    Bonjour, je vais avoir un planning assez chargé, mais j'aimerais bien finir cette histoire. Comme personne n'a émis un avis étayer qui invaliderait ma proposition, je me demande si quelqu'un aurait une idée pour démontrer l'absence de cycle.Pour l'instant, la seule idée que j'ai consiste à penser qu'il ne peut pas y avoir de cycle, car le pseudo-polynôme de Syracuse inversé est complètement différent du polynôme construit par la transposition induit pas Syracuse. 
    $U_n=\{n_{pivot1},....n_{pivot2},....n_{pivot1},....n_{pivot2}\}$
    Syracuse    $n_{pivot2} \rightarrow n_{pivot1}$
    Syracuse inversé  $n_{pivot1} \leftarrow n_{pivot2}$
    Un avis ?
  • Quand on ne te dit rien, tu dis que tu as un planning chargé.
    Et quand on te dit que ce que tu écris est totalement faux, tu essaie d'argumenter, en écrivant d'autres choses tout aussi fausses, et donc tu perds encore plus de temps.
    Donc pour ton bien, le mieux est de ne rien te dire.
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
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