Quadrilatère complet : un peu plus que Ménélaüs
Bonjour
Quelques relations algébriques (segments non orientés) dans un quadrilatère convexe complet ABCD+MN
Est-ce bien utile ?

(BC CD) / (MC CN) = (AB AD) / (AM AN)
Quelques relations algébriques (segments non orientés) dans un quadrilatère convexe complet ABCD+MN
Est-ce bien utile ?

(BC CD) / (MC CN) = (AB AD) / (AM AN)
(BC CD - MC CN)² = (BM BN CM CN DM DN) / (AM AN)
Note.
Pour la première formule, qu'il me semble avoir déjà publiée sous
(BC CD) / (BA AD) = (MC CN) / (MA AN)
si le quadrilatère est cyclique avec les deux diagonales internes AC et BD se coupant en un point E, nous pouvons rajouter
(BC CD) / (BA AD) = EC/AE [corrigé]
Cordialement,
Jean-Pol Coulon
Réponses
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Bonjour,
Il y a une erreur à la dernière formule.
Voilà, avec Morley circonscrit;% Gipsyc - 03 Juin 2023 - Quadrilatère complet : un peu plus que Ménélaüs % Soit un quadrilatère convexe complet ABCD+MN % Montrer que: % (BC CD) / (MC CN) = (AB AD) / (AM AN) % (BC CD - MC CN)^2 = (BM BN CM CN DM DN) / (AM AN) % si le quadrilatère est cyclique avec les deux diagonales internes % AC et BD se coupant en un point E, nous pouvons rajouter % (BC CD) / (BA AD) = AE/EC %----------------------------------------------------------------------- clc, clear all, close all syms a b c aB=1/a; bB=1/b; cB=1/c; % Conjugués (Morley circpnscrit) %----------------------------------------------------------------------- syms d dB % Un point quelconque [pad qad rad]=DroiteDeuxPoints(a,d,aB,dB); [pcd qcd rcd]=DroiteDeuxPoints(c,d,cB,dB); [m mB]=IntersectionDeuxDroites(1,a*b,-a-b,pcd,qcd,rcd); [n nB]=IntersectionDeuxDroites(1,b*c,-b-c,pad,qad,rad); % (BC CD) / (MC CN) = (AB AD) / (AM AN) ? BC2=(c-b)*(cB-bB); CD2=(d-c)*(dB-cB); MC2=(c-m)*(cB-mB); CN2=(n-c)*(nB-cB); AB2=(b-a)*(bB-aB); AD2=(d-a)*(dB-aB); AM2=(m-a)*(mB-aB); AN2=(n-a)*(nB-aB); X=(BC2*CD2)/(MC2*CN2); Y=(AB2*AD2)/(AM2*AN2); NulXY=Factor(X-Y) % Égal à 0, donc c'est gagné. % (BC CD - MC CN)^2 = (BM BN CM CN DM DN) / (AM AN) ? BM2=(m-b)*(mB-bB); CM2=(m-c)*(mB-cB); DM2=(m-d)*(mB-dB); BN2=(n-b)*(nB-bB); DN2=(n-d)*(nB-dB); DoubleProduit2=Factor(4*BC2*CD2*MC2*CN2); % On trouve: DoubleProduit2=4*(a-c)^4*(b-c)^4*(c-d)^2*(c*dB-1)^2*(a+c-d-a*c*dB)^2/(c^4*(a*b-c*d+c^2-a*b*c*dB)^2*(a*d-b*c-a^2+a*b*c*dB)^2); % Donc: DoubleProduit=-2*(a-c)^2*(b-c)^2*(c-d)*(c*dB-1)*(a+c-d-a*c*dB)/(c^2*(a*b-c*d+c^2-a*b*c*dB)*(a*d-b*c-a^2+a*b*c*dB)); % On vérifie: NulDouble=Factor(DoubleProduit2-DoubleProduit^2) Z=BC2*CD2+MC2*CN2-DoubleProduit; T=(BM2*BN2*CM2*CN2*DM2*DN2)/(AM2*AN2); NulZT=Factor(Z^2-T) % Égal à 0, donc c'est gagné. % Si le quadrilatère est cyclique % (BC CD) / (BA AD) = AE/EC ? % NON !! C'est (BC CD) / (BA AD) = EC/AE !! dB=1/d; % Pour que ABCD soit cyclique [e eB]=IntersectionDeuxDroites(1,a*c,-a-c,1,b*d,-b-d); % On trouve e=(a*b*c-a*b*d+a*c*d-b*c*d)/(a*c-b*d) BA2=(a-b)*(aB-bB); AE2=(e-a)*(eB-aB); EC2=(c-e)*(cB-eB); CD2=(d-c)*(dB-cB); AD2=(d-a)*(dB-aB); U=Factor((BC2*CD2)/(BA2*AD2)-EC2/AE2) % Égal à 0, donc c'est gagné.
Cordialement,Rescassol
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Merci Rescassol.
J’ai corrigé l’erreur (EC/AE et non AE/EC, géométriquement illogique). -
FORMULE (2)La démonstration de l’égalité (2) peut passer par le théorème de Menelaeus appliqué aux points colinéaires DCM et BCN. Il suffit d’égaliser le premier terme des deux formules et de simplifier.
Une autre approche possible est trigonométrique, en rajoutant le segment AC et à partir des 4 triangles NDC, DAC, ABC et BMC de sommet C, avec des angles en C respectivement (sens anti-horaire) par exemple η, α, β, μ (= η).
Nous avons donc
CM/CD · CN/BC = AM/AB · AN/AD à démontrer
AM/AB · AN/AD
= CM sin(α) / BC sin(β) · CN sin(β) / CD sin(α)
= CM/CD · CN/BC
FORMULE (3)
La formule (3) a été déterminée par une formule intermédiaire
CN/CB - CD/CM = DM/CM · DN/AD
et sa formulation symétrique
MC/CD - BC/CN = BN/CN · MB/ABqui peuvent faire l’objet d’un nouvel exercice (par exemple pour la première formule intermédiaire une application du théorème de Thalès avec des segments supplémentaires en D et C parallèles à AB).En multipliant les termes des deux équations(CN/CB - CD/CM)(MC/CD - BC/CN) = DM/CM · DN/AD · BN/CN · MB/AB
et en simplifiant autant que possible,
la suite n’est qu’un calcul qui aboutit à
(BC CD - CM CN)² = (BM BN DM DN) (BC CD)/(AB AD)
En combinant avec
BC CD/AB AD = MC NC / AM AN. (2)On trouve la formule (3) recherchée.Cordialement,
Jean-Pol Coulon -
Bonjour,
Quelques formules (segments non orientés) en vrac, reprises de mes notes, autour du quadrilatère convexe complet sans ses diagonales
Cordialement
Jean-Pol Coulon
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