Montrons qu'une suite est entière
Bonsoir à tous, je dois montrer qu'une suite définie par $x_n=cx_{n-1}+\sqrt{(c^2-1)(x_{n-1}^2-1)}\ ,n\geq 1$ avec $x_1=c$ est entière si et seulement si $c$ est un entier. J'ai essayé sans succès. J'avais voulu montrer que $\forall p $ entier premier $v_p(x_n-cx_{n-1})\geq 0$. Quelqu'un a-t-il une approche ?
Mots clés:
Réponses
-
J'ai pu avoir une inégalité de type $v_p(x_n-cx_{n-1})\geq \min(v_p(x_{n-1}-1),v_p(x_{n-1}+1))$ mais pas suffisant
-
Bonjour
On peut facilement montrer que $x_n = T_n(c)$, où $T_n$ est le $n-$ième polynôme de Tchebychev de première espèce. -
Mais les ( ajout oubli fonctions) polynômes de Tchebychev de première espèce sont définis seulement sur $ [-1,1]$.Une idée (je n'ai pas fait les calculs) on veut montrer que $$c\in \N\iff \forall n\geq 1, \ x_n\in \N.$$Le sens réciproque est évident. Pour démontrer le sens direct, on procède par récurrence.Soit $ P_n: \quad x_n\in \N$ et $(c^2-1)(x_n^2-1)$ est un carré.Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
-
Un polynôme est un polynôme (i.e. essentiellement une suite de coefficients) ! Quel sens cela aurait-il de dire qu'il est "défini sur un intervalle" ?
-
Gebrane met le doigt sur le théorème d'identification entre fonctions polynomiales et polynômes qui n'est plus valable en caractéristique $p.$
-
Gebrane s'inquiète pour rien. Ici on est tranquillement en caractéristique zéro : on peut identifier un polynôme et une fonction polynomiale sans inconvénient, en choisissant librement l'intervalle de définition (pour peu qu'il ne soit pas réduit à un point). Il est vrai que quand on manipule les polynômes de Tchebychev, il est classique de les voir comme fonctions sur $[-1,1]$ à cause de la formule fondamentale $T_n(\cos t)=\cos(nt)$ mais hey! rien n'empêche de calculer $T_n(2)$ pour $n$ quelconque !
-
Je m’inquiétais pour rien
Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Merci $ x_{n+1}=cx_{n}+\sqrt{(c^2-1)(x_{n}^2-1)}$ donc $(x_{n+1}-cx_n)^2= (c^2-1)(x_n^2-1)$$$ x_{n+1}^2=2cx_nx_{n+1}-c^2-x_n^2+1,\qquad x_n=T_n(c)$$\begin{align*}
T_{n+1}^2(c)&=2cT_n(c)T_{n+1}(c)-c^2-T_n(c)^2+1&\text{donc}\\
( 2cT_n(c)-T_{n-1}(c))^2&=2cT_n(c)( 2cT_n(c)-T_{n-1}(c))-c^2-T_n(c)^2+1\\
4c^2T_n(c)^2-4cT_n(c)T_{n-1}(c)+T_{n-1}(c)^2&=4c^2T_n(c)^2-2cT_n(c)T_{n-1}(c)-c^2-T_n(c)^2+1\\
T_n^2(c)&=2cT_n(c)T_{n-1}(c)-c^2- T_{n-1}^2(c)+1
\end{align*} -
Et c'est fini? Il faut démontrer que $T_{n}(x) = 2xT_{n-1}(x) - T_{n-2}(x)$ à partir de ton identité $T_n^2(x) = 2xT_n(x)T_{n-1}(x) - x^2 - T_{n-1}^2(x) + 1$
Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Tu as une racine qui gêne beaucoup mais pourtant, le résultat que je t'ai donné est polynomial en $c$. Ça ne te choque pas ? Ça veut dire que la racine est éliminée formellement, non ? Il faut donc regarder ce que donne le polynôme $(T_n^2 - 1)(X^2-1)$. En identifiant en $\cos(x)$, on trouve... $\sin^2(x) \sin^2(n x)$ ! Ça ne te dit rien ?
-
$$4(T_n^2(\cos x)-1)(\cos^2x-1)=4\sin^2(x)\sin^2(nx)=( \cos(n-1)x-\cos(n+1)x)^2=(T_{n-1}(\cos x)-T_{n+1}(\cos x))^2$$
-
\begin{align*}
4(T_n^2(\cos x)-1)(\cos^2x-1)&=4\sin^2(x)\sin^2(nx)=( \cos(n-1)x-\cos(n+1)x)^2=(T_{n-1}(\cos x)-T_{n+1}(\cos x))^2\\
T_{n+1}(\cos x)&=T_{n-1}(\cos x)+2\sqrt{T_n^2(\cos x)-1)(\cos^2x-1)}\\
2 x_{n+1}&=2cx_{n}+2\sqrt{(x_n^2-1)(x^2-1)}\\
2 x_{n+1}-T_{n+1}(c)&=2cx_{n}-T_{n-1}(c)+2(\sqrt{(x_n^2-1)(c^2-1)}-\sqrt{T_n^2(c)-1)(c^2-1)}
\end{align*} -
@Keynes Pourquoi te compliques-tu la vie ? J'ai initié une méthode simple ici. J'ai effectué les calculs et cela fonctionne très bien, à moins que tu n'aies pas la foi.Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
-
Chacun fait comme il l'entend. On dirait Oshine qui reproche aux solutions d'être trop compliquées. Pour ma part, je trouve formidable de voir apparaître les polynômes de Tchebychev !
-
C'est la troisième fois que je poste un message et que tu me tombes dessus , Jlapin, alors que mes messages ne te sont pas destinés.
Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Désolé, c'est un forum !Je voulais principalement signaler que j'aimais bien l'esprit de cette preuve afin qu'il n'efface pas son message pour le remplacer par une preuve plus simple.
-
Mais tu vois qu'il tourne en rond et Bibix que je salue n'a pas le temps pour lui expliquer les détails. Peux-tu t'en charger Jlapin ?
Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
C'est drôle mais tout le monde interprète "entier" comme "entier naturel" alors que le résultat est vrai pour $c \in \Z$.
Si $c \leqslant -1$, on montre facilement que $(x_n)$ alterne entre les valeurs $c$ et $2c^2-1$ et l'égalité $x_n=T_n(c)$ n'est pas vérifiée pour $n \geqslant 3$.
Si $c=0$, la suite n'est pas définie.
Si $c \geqslant 1$, on a clairement $x_n > 0$ pour tout $n\in\N^*$. On peut alors montrer que $x_n=T_n(c)$ pour tout $n\in\N^*$ de la manière suivante.
On vérifie l'égalité pour $n\in\{1,2\}$.
Soit un entier $n \geqslant 1$. On suppose que $x_n=T_n(c)$ et $x_{n+1}=T_{n+1}(c)$. On peut remarquer que l'égalité $(x_{n+1}-cx_{n})^2=(c^2-1)(x_{n}^2-1)$ implique que $x_{n}$ est racine du polynôme $X^2-2cx_{n+1}X+x_{n+1}^2+c^2-1$ donc $x_{n}$ vaut $cx_{n+1} - \sqrt{(c^2-1)(x_{n+1}^2-1)}$ car $x_{n+1} \geqslant cx_{n} \geqslant x_{n}$ (puisque $c \geqslant 1$). Dès lors,
\begin{align*}
T_{n+2}(c)&=2cT_{n+1}(c)-T_{n}(c)=2cx_{n+1}-x_{n} \\
&=2cx_{n+1}-\left(cx_{n+1} -\sqrt{(c^2-1)(x_{n+1}^2-1)}\right) \\
&=cx_{n+1}+\sqrt{(c^2-1)(x_{n+1}^2-1)} \\
& = x_{n+2}
\end{align*}
ce qui montre le résultat par récurrence. -
$\newcommand{\ch}{\cosh}\newcommand{\sh}{\sinh}$Les polynômes de Tchebychev vérifient $\forall x\in\R, \ T_n(\ch x) = \ch(nx)$.Comme $c\geq 1$, on peut fixer $x\in \R_+$ tel que $c = \ch x$.On fait l'hypothèse de récurrence que $x_{n-1} = T_{n-1}(c) = \ch((n-1)x)$ et quelques calculs de trigonométrie hyperbolique montrent que $x_n = \ch x\ch((n-1)x) + \sh x \sh((n-1)x) = \ch(nx)=T_n(c)$.Effectivement, je ne comprends pas non plus grand chose à certains calculs ci-dessus.[Pafnouti Tchebychev(1821-1894) prend toujours une majuscule. AD]
-
Je peux quand même expliquer que le résultat $x_n = T_n(c)$ n'est valable que pour $c > 1$. Si $c < 1$, alors $x_n = \begin{cases} \max(2c^2-1, 1) \text{ si } 2 \mid n \\ c \text{ sinon} \end{cases}$. Mais bon, c'est un cas facile à éliminer.
-
Avec Pafnouti Tchebychev , vous répondez partiellement à la question car vous mettez des conditions sur c.Avec une récurrence, je n'ai pas besoin des conditions sur c. Me trompé-je ?Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs..
-
Voilà une démonstration qui nécessite seulement de connaitre l'existence des polynômes $T_n$ et $U_n$ de degré $n$ tels que $T_n(\cos(x)) = \cos(n x)$ et $U_n(\cos(x)) = \frac{\sin((n+1)x)}{\sin(x)}$. Cette existence est garantie par la formule de Moivre.
On pose $P(n) : "x_n = \begin{cases} T_n(c) \text{ si } c > 1 \\ 1 \text{ si } c \in [-1,1] \text{ et } 2 \mid n \\ T_2(c) \text{ si } c < -1 \text{ et } 2 \mid n \\ c \text{ sinon} \end{cases}"$.
$n = 1$ : $x_1 = c$ donc $P(1)$ est vraie.
$n \geq 2$ : on suppose $P(n-1)$. On obtient $x_n = \begin{cases} c T_{n-1}(c) + \sqrt{(c^2-1)(T_{n-1}(c)^2-1)} \text{ si } c > 1 \\ c \text{ si } c \in [-1, 1] \text{ et } 2 \not\mid n \\ c \text{ si } c < -1 \text{ et } 2 \not\mid n \\ 2 c^2-1 = T_2(c) \text{ si } c < -1 \text{ et } 2 \mid n \\ 1 \text{ si } c \in [-1,1] \text{ et } 2 \mid n\end{cases}$. Or $(X^2 - 1)(T_{n-1}^2 - 1)(\cos(x)) = \sin^2(x) \sin^2((n-1)x) = \sin^4(x) U_{n-2}^2(\cos(x))$ pour tout $x \in \R$ avec $U_{n-2}$ le $(n-2)-$ième polynôme de Tchebychev de seconde espèce. On a alors $(X^2-1)(T_{n-1}^2-1) = (X^2-1)^2 U_{n-2}^2$ or $U_{n-2}(1) = \underset{x \to 0}{\lim} \frac{\sin((n-1) x)}{\sin(x)} = n-1 > 0$ et toutes les racines de $U_{n-2}$ sont dans $[-1,1]$ (car son degré est $n-2$ et $U_{n-2}(\cos(\frac{k \pi}{n-1})) = 0$ pour tout $1 \leq k \leq n-2$). On en déduit que $U_{n-2}(c) > 0$ pour tout $c > 1$ donc $\sqrt{(c^2-1)(T_{n-1}(c)^2 - 1)} = (c^2-1) U_{n-2}(c)$. Pour $c > 1$, on a donc $x_n = c T_{n-1}(c) + (c^2-1) U_{n-2}(c) = T_n(c)$ car $(X T_{n-1}+(X^2-1)U_{n-2})(\cos(x)) = \cos(x) \cos((n-1)x) - \sin(x)\sin((n-1)x) = \cos(n x) = T_n(\cos(x))$. -
Il doit être utile de savoir que ces polynômes ont des coefficients entiers.
-
Jlapin, il te reste à compléter ta méthode pour c<1. Je donne ma méthode facile que tu n'aimes pas pour laisser une trace.
Soit la propriété $P_n$: $x_n\in \mathbb{Z}$ et $\exists m\in\mathbb{N},, x_n^2-1=(c^2-1)m^2$. Bien sûr, m dépend de n.
$P_1$ est vraie car $x_1=c\in \mathbb{Z}$ et $x_1^2-1=(c^2-1)1^2$.
Supposons $P_n$ vraie, alors $x_{n+1}=cx_n+|c^2 -1| m\in \mathbb{Z}$. Il reste à montrer que $x_{n+1}^2 -1=(c^2-1)M^2$.
Avec un calcul facile, on trouve si $|c|\geq 1$ que $x_{n+1}^2 -1=(c^2-1)(cm+x_n)^2$, et si $|c|\leq 1$, que $x_{n+1}^2 -1=(c^2-1)(cm-x_n)^2$
Lorsque notre cher Nico, le professeur, intervient dans une question d'analyse, c'est une véritable joie pour les lecteurs.. -
Elle est très jolie aussi cette preuve : merci pour le partage !
-
Cela reprend un peu les calculs fait par @LP2 mais j'ai une démonstration qui n'utilise pas les polynômes de Tchebychev.
Je me place dans le cas où $c>1$ et je démontre la relation $x_{n+1}=2cx_n-x_{n-1}$ à partir de la définition $x_n=cx_{n-1}+\sqrt{(c^2-1)(x_{n-1}^2-1)}$. Comme $x_{n+1}>cx_n$ et $cx_n>x_{n-1}$ on a :
\begin{align}x_{n+1}=2cx_n-x_{n-1}&\Leftrightarrow ( x_{n+1}-cx_n)^2=(cx_n-x_{n-1})^2\\ &\Leftrightarrow (c^2-1)( x_n^2-1)=(cx_n-x_{n-1})^2\\ &\Leftrightarrow x_n^2+x_{n-1}^2-2cx_nx_{n-1}+c^2-1=0\\ &\Leftrightarrow (x_n-cx_{n-1})^2=(c^2-1)( x_{n-1}^2-1)\end{align}
C'est bien vérifié par définition de la suite. Comme $x_0=1$ et $x_1=c$ entier on en déduit que $x_n$ est entier pour tout $n$ (bien sûr on retrouve la relation de récurrence des polynômes de Tchebychev).
-
Merci
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 164.9K Toutes les catégories
- 53 Collège/Lycée
- 22.1K Algèbre
- 37.5K Analyse
- 6.3K Arithmétique
- 57 Catégories et structures
- 1.1K Combinatoire et Graphes
- 13 Sciences des données
- 5.1K Concours et Examens
- 20 CultureMath
- 50 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.7K Géométrie
- 82 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 77 Informatique théorique
- 3.9K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 334 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10.1K Probabilités, théorie de la mesure
- 794 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.8K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres