Points de contact du cercle inscrit et polaire trilinéaire
Bonjour
Un petit problème.
Un petit problème.
Soit
• un triangle ABC
• son cercle inscrit (incercle) i avec ses trois points de contact D, E et F
• La A-cévienne AD
• AD ∩ incercle i = Q
• AD ∩ EF = P
Traçons les deux autres B et C-céviennes par P, qui nous donnent
• le triangle P-cévien TSD
• les points Z et U (B-cévienne par P ∩ incercle i)
• les points W et V (C-cévienne par P ∩ incercle i)
• un triangle ABC
• son cercle inscrit (incercle) i avec ses trois points de contact D, E et F
• La A-cévienne AD
• AD ∩ incercle i = Q
• AD ∩ EF = P
Traçons les deux autres B et C-céviennes par P, qui nous donnent
• le triangle P-cévien TSD
• les points Z et U (B-cévienne par P ∩ incercle i)
• les points W et V (C-cévienne par P ∩ incercle i)

Montrer que
• TS est tangent au cercle inscrit au niveau de son intersection Q avec la A-cévienne AD
• les droites TS, FE et BC concourent avec VU et ZW en un point que nous nommerons M
• les droites SV, EF et CZ concourent de même en un autre point.

Si nous considérons BTSC comme un quadrilatère tangentiel aux propriétés bien particulières, les mêmes concourances qu'avec M sont constatées pour le point A et les droites BT, ZV, DQ, WU et CA. Les droites BV, DQ et CU concourent de même en un autre point.

Si nous traçons les polaires trilinéaires du point P et du point de Gergonne Ge, elles se croisent naturellement au niveau du point M ... ce qui lance déjà la démonstration (et sans doute les généralisations aux coniques inscrites).

Cordialement,
Jean-Pol Coulon
Réponses
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Bonjour
Bien que je n'aime pas tes notations, voilà une solution en barycentrique:% Gipsyc - 01 juin 2023 % Points de contact du cercle inscrit et polaire trilinéaire % Soient % Un triangle ABC % Son cercle inscrit I) avec le triangle de contact D,E,F % Q le point où (AD) recoupe (I) % P le point d'intersection des droites (AD) et (EF) % Le triangle P-cévien TSD % Les points d'intersection Z et U de (BS) avec (I) % Les points d'intersection W et V de (CT) avec (I) % Montrer que % (TS) est tangente à (I) en Q % Les droites (TS), (FE), (BC), (VU), (ZW) sont concourantes (en M) % Les droites (SV), (EF), (CZ) sont concourantes (en N) %----------------------------------------------------------------------- clc, clear all, close all syms a b c real % Longueurs des côtés du triangle ABC Sa=(b^2+c^2-a^2)/2; % Notations de Conway Sb=(c^2+a^2-b^2)/2; Sc=(a^2+b^2-c^2)/2; Pyth=MatricePythagore(a,b,c); %----------------------------------------------------------------------- A=[1; 0; 0]; % Sommets du triangle ABC B=[0; 1; 0]; C=[0; 0; 1]; BC=[1, 0, 0]; % Côtés du triangle ABC CA=[0, 1, 0]; AB=[0, 0, 1]; %----------------------------------------------------------------------- syms x y z real Pt=[x; y; z]; % Point générique % Centre du cercle inscrit I=[a; b; c]; % Triangle de contact D=[0; a+b-c; a-b+c]; E=[a+b-c; 0; -a+b+c]; F=[a-b+c; -a+b+c; 0]; % Équation du cercle inscrit f(x,y,z)=4*(a^2*y*z+b^2*x*z+c^2*x*y) - (x+y+z)*((-a+b+c)^2*x+(a-b+c)^2*y+(a+b-c)^2*z); % Point Q: AD=Wedge(A,D); % Droite (AD): (a-b+c)*y - (a+b-c)*z=0 NulQ=Factor(f(x,y,(a-b+c)*y/(a+b-c))); % On trouve: NulQ=a*x+4*a*y-b*x-4*b*y-c*x+4*c*y; % NulQ=(a-b-c)*x + 4*(a-b+c)*y Q=[x; -(a-b-c)*x/(4*(a-b+c)); -(a-b-c)*x/(4*(a-b+c))*(a-b+c)/(a+b-c)]; Q=SimplifieBary(Q); % Ce qui donne: Q=[4*(a+b-c)*(a-b+c); (a+b-c)*(b-a+c); (a-b+c)*(b-a+c)]; % Point Q % Droite (EF) EF=Wedge(E,F); % On trouve EF=[a-b-c, a-b+c, a+b-c] P=SimplifieBary(Wedge(AD,EF)); % On trouve: P=[2*(a+b-c)*(a-b+c); (a+b-c)*(b-a+c); (a-b+c)*(b-a+c)]; % Triangle P-cévien de p T=[2*(a-b+c); b-a+c; 0]; S=[2*(a+b-c); 0; b-a+c]; % Points Z et U BS=Wedge(B,S); % BS=[b-a+c, 0, 2*(c-b-a)] NulZU=Factor(4*f(x,y,(b-a+c)*x/(2*(a+b-c)))); % On trouve NulZU=(b-a+c)^2*x^2 - 12*(a-b+c)*(b-a+c)*x*y + 4*(a-b+c)^2*y^2 AA=(b-a+c)^2; BB=6*(a-b+c)*(b-a+c); CC=4*(a-b+c)^2; Delta=Factor(BB^2-AA*CC); % Delta=32*(a-b+c)^2*(b-a+c)^2 syms r real % r=sqrt(2) DD=4*r*(a-b+c)*(b-a+c); % DD=sqrt(Delta) donc: Z=SimplifieBary([x; (BB+DD)/CC*x; (b-a+c)*x/(2*(a+b-c))]); Z=[2*(a+b-c)*(a-b+c); (3+2*r)*(a+b-c)*(b-a+c); (a-b+c)*(b-a+c)]; U=[2*(a+b-c)*(a-b+c); (3-2*r)*(a+b-c)*(b-a+c); (a-b+c)*(b-a+c)]; % De même, les points W et V: W=[2*(a+c-b)*(a-c+b); (a-c+b)*(c-a+b); (3+2*r)*(a+c-b)*(c-a+b)]; V=[2*(a+c-b)*(a-c+b); (a-c+b)*(c-a+b); (3-2*r)*(a+c-b)*(c-a+b)]; %----------------------------------------------------------------------- % T,S,Q sont ils alignés ? NulTSQ=Factor(det([T S Q])) % NulTSQ=0 donc oui % (TS) et (IQ) sont elles ortogonales ? NulOrtho=Factor(Vecteur(T,S)*Pyth*Vecteur(I,Q).') % NulOrtho=0 donc oui % Donc (TS) est tangente en Q à (I) %----------------------------------------------------------------------- % Les droites (TS), (FE), (BC), (VU), (ZW) sont concourantes (en M) M=Wedge(BC,EF); % On trouve: M=[0; -(a+b-c); a-b+c]; NulTS=Factor(Wedge(T,S)*M) % NulTS=0 donc M est sur (TS) NulVU=Factor(Wedge(V,U)*M) % NulVU=0 donc M est sur (VU) NulZW=Factor(Wedge(Z,W)*M) % NulZW=0 donc M est sur (ZW) %----------------------------------------------------------------------- % Les droites (SV), (EF), (CZ) sont concourantes (en N) SV=Wedge(S,V); % SV=[a-b-c, 4*(r-1)*(a-b+c), 2*(a+b-c)] CZ=Wedge(C,Z); % CZ=[-(2*r+3)*(b-a+c), 2*(a-b+c), 0] N=SimplifieBary(Wedge(SV,CZ)); % On trouve: N=[2*(a+b-c)*(a-b+c); (2*r+3)*(a+b-c)*(b-a+c); -(1+2*r)*(a-b+c)*(b-a+c)]; NulN=Factor(EF*N) % NulN=0 donc N est sur (EF) %----------------------------------------------------------------------- % Deux vérifications (réciprocité polaire) % Tripolaire du point P TriP=TripolaireBary(A,B,C,P); % TriP=[b-a+c, 2*(a-b+c), 2*(a+b-c)] NulTriP=Factor(TriP*M) % NulTriP=0 donc M est sur TriP % Tripolaire du point de Gergonne Ge=[b*c-Sa; c*a-Sb; a*b-Sc]; % Point de Gergonne TriGe=TripolaireBary(A,B,C,Ge); % TriGe=[b-a+c, a-b+c, a+b-c] NulTriGe=Factor(TriGe*M) % NulTriGe=0 donc M est sur TriGe
Cordialement,
RescassolPS: AD, je ne comprends toujours pas le pourquoi de ces couleurs intempestives ...
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Bonjour Rescassol
Merci pour ce bel effort.
Le noir et blanc est en effet moins fatigant. J'adopterai cette présentation dans l'avenir
Cordialement,
Jean-Pol Coulon -
Bonjour
Non, je parlais de tes notations de points, qui ne reflètent pas le côté "permutation circulaire" d'un triangle.
Par contre, tes dessins en couleur étaient très bien.
Enfin, mes couleurs "intempestives" sont celles apparues dans mon code, sans que je parvienne à les supprimer.
Cordialement,
Rescassol
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