Points de contact du cercle inscrit et polaire trilinéaire

gipsyc
Modifié (June 2023) dans Géométrie
Bonjour
Un petit problème.
Soit
• un triangle ABC
• son cercle inscrit (incercle) i avec ses trois points de contact D, E et F
• La A-cévienne AD
• AD ∩ incercle i = Q
• AD ∩ EF = P
Traçons les deux autres B et C-céviennes par P, qui nous donnent
• le triangle P-cévien TSD
• les points Z et U (B-cévienne par P ∩ incercle i)
• les points W et V (C-cévienne par P ∩ incercle i)

Montrer que
• TS est tangent au cercle inscrit au niveau de son intersection Q avec la A-cévienne AD
• les droites TS, FE et BC concourent avec VU et ZW en un point que nous nommerons M
• les droites SV, EF et CZ concourent de même en un autre point.

Si nous considérons BTSC comme un quadrilatère tangentiel aux propriétés bien particulières, les mêmes concourances qu'avec M sont constatées pour le point A et les droites BT, ZV, DQ, WU et CA. Les droites BV, DQ et CU concourent de même en un autre point.

Si nous traçons les polaires trilinéaires du point P et du point de Gergonne Ge, elles se croisent naturellement au niveau du point M ... ce qui lance déjà la démonstration (et sans doute les généralisations aux coniques inscrites).

Cordialement,
Jean-Pol Coulon 

Réponses

  • Rescassol
    Modifié (June 2023)
    Bonjour
    Bien que je n'aime pas tes notations, voilà une solution en barycentrique:
    % Gipsyc - 01 juin 2023 
    % Points de contact du cercle inscrit et polaire trilinéaire
    
    % Soient
    % Un triangle ABC
    % Son cercle inscrit I) avec le triangle de contact D,E,F
    % Q le point où (AD) recoupe (I)
    % P le point d'intersection des droites (AD) et (EF)
    % Le triangle P-cévien TSD
    % Les points d'intersection Z et U de (BS) avec (I)
    % Les points d'intersection W et V de (CT) avec (I)
    
    % Montrer que
    % (TS) est tangente à (I) en Q
    % Les droites (TS), (FE), (BC), (VU), (ZW) sont concourantes (en M)
    % Les droites (SV), (EF), (CZ) sont concourantes (en N)
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    clc, clear all, close all
    
    syms a b c real % Longueurs des côtés du triangle ABC
    
    Sa=(b^2+c^2-a^2)/2; % Notations de Conway
    Sb=(c^2+a^2-b^2)/2;
    Sc=(a^2+b^2-c^2)/2;
    
    Pyth=MatricePythagore(a,b,c);
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    A=[1; 0; 0]; % Sommets du triangle ABC
    B=[0; 1; 0];
    C=[0; 0; 1];
    
    BC=[1, 0, 0]; % Côtés du triangle ABC
    CA=[0, 1, 0];
    AB=[0, 0, 1];
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    syms x y z real
    Pt=[x; y; z]; % Point générique
    
    % Centre du cercle inscrit
    I=[a; b; c]; 
    % Triangle de contact
    D=[0; a+b-c; a-b+c]; E=[a+b-c; 0; -a+b+c]; F=[a-b+c; -a+b+c; 0];
    % Équation du cercle inscrit
    f(x,y,z)=4*(a^2*y*z+b^2*x*z+c^2*x*y) - (x+y+z)*((-a+b+c)^2*x+(a-b+c)^2*y+(a+b-c)^2*z);
    
    % Point Q:
    AD=Wedge(A,D); % Droite (AD): (a-b+c)*y - (a+b-c)*z=0
    NulQ=Factor(f(x,y,(a-b+c)*y/(a+b-c))); % On trouve:
    NulQ=a*x+4*a*y-b*x-4*b*y-c*x+4*c*y; % NulQ=(a-b-c)*x + 4*(a-b+c)*y
    Q=[x; -(a-b-c)*x/(4*(a-b+c)); -(a-b-c)*x/(4*(a-b+c))*(a-b+c)/(a+b-c)];
    Q=SimplifieBary(Q); % Ce qui donne:
    Q=[4*(a+b-c)*(a-b+c); (a+b-c)*(b-a+c); (a-b+c)*(b-a+c)]; % Point Q
    
    % Droite (EF)
    EF=Wedge(E,F); % On trouve EF=[a-b-c, a-b+c, a+b-c]
    P=SimplifieBary(Wedge(AD,EF)); % On trouve:
    P=[2*(a+b-c)*(a-b+c); (a+b-c)*(b-a+c); (a-b+c)*(b-a+c)];
    % Triangle P-cévien de p
    T=[2*(a-b+c); b-a+c; 0]; S=[2*(a+b-c); 0; b-a+c];
    
    % Points Z et U 
    BS=Wedge(B,S); % BS=[b-a+c, 0, 2*(c-b-a)]
    NulZU=Factor(4*f(x,y,(b-a+c)*x/(2*(a+b-c))));
    % On trouve NulZU=(b-a+c)^2*x^2 - 12*(a-b+c)*(b-a+c)*x*y + 4*(a-b+c)^2*y^2
    AA=(b-a+c)^2; BB=6*(a-b+c)*(b-a+c); CC=4*(a-b+c)^2;
    Delta=Factor(BB^2-AA*CC); % Delta=32*(a-b+c)^2*(b-a+c)^2
    syms r real % r=sqrt(2)
    DD=4*r*(a-b+c)*(b-a+c); % DD=sqrt(Delta) donc:
    Z=SimplifieBary([x; (BB+DD)/CC*x; (b-a+c)*x/(2*(a+b-c))]);
    Z=[2*(a+b-c)*(a-b+c); (3+2*r)*(a+b-c)*(b-a+c); (a-b+c)*(b-a+c)];
    U=[2*(a+b-c)*(a-b+c); (3-2*r)*(a+b-c)*(b-a+c); (a-b+c)*(b-a+c)];
    
    % De même, les points W et V:
    W=[2*(a+c-b)*(a-c+b); (a-c+b)*(c-a+b); (3+2*r)*(a+c-b)*(c-a+b)];
    V=[2*(a+c-b)*(a-c+b); (a-c+b)*(c-a+b); (3-2*r)*(a+c-b)*(c-a+b)];
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    % T,S,Q sont ils alignés ?
    NulTSQ=Factor(det([T S Q])) % NulTSQ=0 donc oui
    % (TS) et (IQ) sont elles ortogonales ?
    NulOrtho=Factor(Vecteur(T,S)*Pyth*Vecteur(I,Q).') % NulOrtho=0 donc oui
    % Donc (TS) est tangente en Q à (I)
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    % Les droites (TS), (FE), (BC), (VU), (ZW) sont concourantes (en M)
    
    M=Wedge(BC,EF); % On trouve:
    M=[0; -(a+b-c); a-b+c];
    
    NulTS=Factor(Wedge(T,S)*M) % NulTS=0 donc M est sur (TS)
    NulVU=Factor(Wedge(V,U)*M) % NulVU=0 donc M est sur (VU)
    NulZW=Factor(Wedge(Z,W)*M) % NulZW=0 donc M est sur (ZW)
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    % Les droites (SV), (EF), (CZ) sont concourantes (en N)
    
    SV=Wedge(S,V); % SV=[a-b-c, 4*(r-1)*(a-b+c), 2*(a+b-c)]
    CZ=Wedge(C,Z); % CZ=[-(2*r+3)*(b-a+c), 2*(a-b+c), 0]
    N=SimplifieBary(Wedge(SV,CZ)); % On trouve:
    N=[2*(a+b-c)*(a-b+c); (2*r+3)*(a+b-c)*(b-a+c); -(1+2*r)*(a-b+c)*(b-a+c)];
    NulN=Factor(EF*N) % NulN=0 donc N est sur (EF)
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    % Deux vérifications (réciprocité polaire)
    
    % Tripolaire du point P
    TriP=TripolaireBary(A,B,C,P); % TriP=[b-a+c, 2*(a-b+c), 2*(a+b-c)]
    NulTriP=Factor(TriP*M) % NulTriP=0 donc M est sur TriP
    
    % Tripolaire du point de Gergonne
    Ge=[b*c-Sa; c*a-Sb; a*b-Sc]; % Point de Gergonne
    TriGe=TripolaireBary(A,B,C,Ge); % TriGe=[b-a+c, a-b+c, a+b-c]
    NulTriGe=Factor(TriGe*M) % NulTriGe=0 donc M est sur TriGe
    Cordialement,
    Rescassol
    PS: AD, je ne comprends toujours pas le pourquoi de ces couleurs intempestives ...

  • gipsyc
    Modifié (June 2023)
    Bonjour Rescassol
    Merci pour ce bel effort.

    Le noir et blanc est en effet moins fatigant. J'adopterai cette présentation dans l'avenir
    Cordialement,
    Jean-Pol Coulon 
  • Rescassol
    Modifié (June 2023)
    Bonjour
    Non, je parlais de tes notations de points, qui ne reflètent pas le côté "permutation circulaire" d'un triangle.
    Par contre, tes dessins en couleur étaient très bien.
    Enfin, mes couleurs "intempestives" sont celles apparues dans mon code, sans que je parvienne à les supprimer.
    Cordialement,
    Rescassol
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