Exercice 293 du serveur d'exercices

jc-marseille
Modifié (May 2023) dans Analyse
La solution proposée me semble fausse ou bien je n'ai rien compris au développement.
En appliquant le théorème de la moyenne, on a qu'il existe au moins un "c" sur [a,b] tel que f(c) = 1/(b-a) * ∫f(t)dt sur [a, b]. Il faut montrer qu'il existe un "c" excluant "a" et "b".
En supposant c = a, on montre par l'absurde, car contradiction avec théorème de la moyenne, qu'il existe des points x de f sur le segment (a,b) exclus "a" et "b" tels que f(x) est a` la fois > et < a` f(a) et comme f continue par le théorème des valeurs intermédiares, l'équation f(a) intersecte f sur le segment (a, b) "a" et "b" exclus.
D'où il existe bien au moins un c sur (a, b), (extrémités exclues) tel que f(c) = 1/(b-a) * ∫f(t)dt sur [a,b].
Ma conclusion, f continue et monotone sur [a, b] alors "c" est unique et dans (a, b) extrémités exclues, sinon (f toujours continue mais pas monotone) alors il existe des "c" (y compris "a") tels que f(c) = f(a) et c != a compris sur segment (a, b) extrémités exclues.
Idem en considérant c = b
Pourriez-vous m'éclairer sur la solution telle que dans l'exercice et sur mon raisonnement.
Merci bien !
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Réponses

  • Pomme de terre
    Modifié (May 2023)
    La solution du site semble en effet incomplète.
    Dans ton raisonnement, il faudrait aussi détailler l'utilisation du théorème de la moyenne.
    Par ailleurs, je ne comprends pas pourquoi tu parles de monotonie.
  • jc-marseille
    Modifié (May 2023)
    Merci bien PdT pour ta réponse. Oui, j'omettais le th. de la moyenne qui se démontre par l'utilisation du max et min d'une fonction continue sur un segment et donc aboutit à f(c) * (b-a) = ∫f(t)dt sur [a,b] et ainsi me sert de ce résultat pour prouver que si a = c, alors il existe un sous-segment sur [a,b] tel que la valeur f(a) est à la fois supérieure et inférieure aux images de ce sous-segment et donc par application du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation y= f(a) intersecte la fonction f sur au moins un c qui est dans (a, b) extrémités exclues.
    Je parle dune fonction monotone comme exemple où il existe une valeur "c" unique sur ]a, b[ ouvert qui vérifie la formule de la moyenne, et sinon, solutions multiples "c_i" de l'équation (b-a) * f(c_i) - ∫f(t)dt sur [a,b] = 0 avec au moins un c_i dans [a, b] extremités exclues.
    En fait je me reprends sur la 2ième partie de ma conclusion barrée ci-dessus. En effet fonction monotone => un "c" unique sur ]a, b[ ouvert mais la réciproque n'est pas vraie : fonction non monotone sur [a,b] n'implique pas nécessairement solutions multiples. C'est vrai seulement pour le cas où c= a (ou "b") alors f ne peut pas être monotone et il existe au moins une autre solution sur ]a, b[ ouvert.
    Tu mentionnes aussi la solution de l'exercice incomplète, comment arrive-t-on à ce résultat sur [0,1] et pourquoi cela prouverait qu'il existe c sur [a,b] extremités exclues.
    Cordialement.
    [Ne pas confondre couple et intervalle ouvert ! AD]
  • Il y a une coquille, il fallait lire donc $\varphi$ s'annule en un point $c\in ]a,b[$, car sinon $\varphi$ garde un signe constant sur $]a,b[$. Ensuite , je crois que  les auteurs utilisent un résultat du cours : si $f$ est continue sur $[a,b]$ et $f>0$ sur $]a,b[$, alors $\int_a^b f>0$ pour obtenir une contradiction
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • jc-marseille
    Modifié (May 2023)
    Merci Gebrane pour cette réponse.
     Il fallait lire: φ s'annule en au moins un point c ∈ ]a,b[. Je pense qu'en plus de la "coquille", la solution de l'auteur(e) laisse à désirer... Mon raisonnement est bien plus rigoureux.
    Cordialement
  • gebrane
    Modifié (May 2023)
    Allons allons $\varphi$ s'annule en un point $c\in\, ]a,b[$ signifie $\exists c\in \,]a,b[,\, \varphi(c)=0$.
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • jc-marseille
    Modifié (May 2023)
    Oui selon le théorème que tu as énoncé, la conclusion en découle. si f de même signe alors son aire sur [a,b] est soit positive soit négative => contradiction puisque aire de φ sur [a,b] nulle et donc φ change de signe et passe donc par l'axe des "x". Ainsi c tel que φ(c) = 0 sur ]a,b[ ouvert existe bien.
    Cordialement.
    [Ne pas confondre couple et intervalle ouvert ! AD]
  • gebrane
    Modifié (May 2023)
    jc-marseille a dit :
     si f de même signe alors son aire sur [a,b] est soit positive soit négative
    Mais qu'est-ce que tu racontes ; l'aire reste toujours positive.
    Le 😄 Farceur est fasciné par  notre  cher Nico-le prof le sérieux


  • jc-marseille
    Modifié (May 2023)
    Desole', je me remets aux maths prepa apres une longue carriere ingé. Tu as tout à fait raison. Je dois revoir en détails cet exercice et merci encore pour tes explications précieuses qui m'aident à comprendre et à progresser !
    Cordialement.
  • You are welcome.  Quelqu'un doit aviser @manu   pour corriger la coquille dans la solution de l'exercice.
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  • jc-marseille
    Modifié (May 2023)
    Manu, c'est celui qui prend note et corrige les coquilles ? Si oui, je l'informe.
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