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Une question sur une définition de "sous-intervalle"

Modifié (May 2023) dans Topologie
Bonjour,
Je suis un élève en MPSI, et je fais mon TIPE sur l'Ensemble de Cantor et ses propriétés. En relisant un document qui m'a aidé à construire mon travail, j'ai remarqué qu'une définition de l'ensemble de Cantor faisait intervenir " l'ensemble des sous-intervalles de [0,1]".
L'image suivante sert de contexte :

Je n'ai pas réussi à trouver de définition de "sous-intervalle" : sont-ce juste des unions d'intervalles ? Dans ce cas, la définition donnée de la fonction F ci-dessus n'est pas complète*. Ou bien ce sont simplement des intervalles (tout court) de [0,1], mais alors la définition de F a un mauvais ensemble image. Qu'ai-je raté ?
Merci pour vos réponses et bonne journée !

* Malheureusement mon prof est assez dingue de formalisation, donc je ne vais trop pouvoir esquiver cet écueil, sauf en posant n'importe quoi, et il ne va pas aimer parce que ce ne sera pas très joli non plus... Si malheureusement c'est la seule solution, alors je veux bien me consoler avec une question subsidiaire alambiquée : comme ce sera une "définition vide" dans le sens où elle ne sera jamais utilisée, est-ce que je peux faire des erreurs de typage ou des erreurs logiques à l'intérieur sans problème, est-ce philosophiquement admissible comme ce le serait avec une proposition vide ?
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Réponses

  • Hello, je pense qu'il faut juste changer $F : I \to P(\mathbb{R})$ 
    Et oui $I$ est bien l'ensemble des sous intervalles $[a,b]$ de $[0,1]$
  • Modifié (June 2023)
    A la place de "sous-intervalles compacts de $[0,1]$", tu peux dire "segments inclus dans $[0,1]$"... comme dans les théorèmes de régularité des intégrales à paramètres que tu verras l'an prochain.
    Il suffit alors de changer l'ensemble d'arrivée de la fonction $F$ en l'ensemble de toutes les parties de $\R$, et le tour est joué : ta fonction $F$ est correctement définie et tes ensembles $C_n$ également.
  • Un intervalle est une partie $I$ de $\R$ telle que pour tous $x,y,z \in \R$ tels que $x \leq y \leq z$, si $x\in I$ et $z\in I$ alors $y\in I$.
    Etant donné un intervalle $I$, un sous-intervalle de $I$ est une partie de $I$ qui est aussi un intervalle.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Merci beaucoup pour vos réponses ! Au fait, j'ai bien (et même sacrément) besoin du caractère connexe ; et j'ai en tout cas besoin de justifier la définition (mais après tout, deux coups de cuillère à pot et c'est réglé ;) ).
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