
Pensez à un nombre entre 1 et 18.
Pour les petits apprenants voici un tour de magie.
On présente à un élève trois cartes.
Carte 1 : $1,2,2,4,5,5,7,8,8,10,11,11,13,14,14,16,17,17$
Carte 2 : $3,4,5,6,6,7,7,8,8,12,13,14,15,15,16,16,17,17$
Carte 3 : $9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,18$
Carte 1 : $1,2,2,4,5,5,7,8,8,10,11,11,13,14,14,16,17,17$
Carte 2 : $3,4,5,6,6,7,7,8,8,12,13,14,15,15,16,16,17,17$
Carte 3 : $9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,18$
À chaque carte, il doit dire si son nombre y figure et combien de fois.
On peut trouver le nombre inconnu immédiatement.
On peut trouver le nombre inconnu immédiatement.
Réponses
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Je n'ai pas tout vérifié mais c'est très joli !Et c'est aussi très bien pour les moins petits apprenants
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On compte en base 3.The real danger is not that computers will begin to think like men, but that men will begin to think like computers.
-- Harris, Sidney J. -
Bonjour,
Une seule carte suffit : $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5,5,5,5,5,\text{etc.}$ -
Je m'embrouille sur un souvenir : quel est le lien entre le fait que $3$ soit l'entier le plus proche de $e$ et le nombre de chiffres dans l'écriture d'un entier en base $3$ ?
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Bonsoir Ludwig.S'agit-il de cette question : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=discussion/comment/655249#Comment_655249 ?
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C'est en rapport avec le nombre minimal de chiffres : n'est-ce pas en base $3$ que l'écriture d'un entier comporte le moins de chiffres ?
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Même suggestion que Cidrolin : pour un nombre $n$, comment décomposer $n$ en somme d'entiers, tels que leur produit soit maximal.
Et si on s'autorise une somme de nombres pas forcément entiers, mais des nombres de la forme $\frac{n}{1000}$ par exemple, alors on voit que $e$ est vraiment présent dans cet exercice.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
J'ai retrouvé ce dont il s'agit, ce n'est pas en lien avec le nombre minimal de chiffres mais avec une quantité mesurant le codage d'un nombre. Une quantité qu'il s'agit de minimiser, et alors c'est la base $3$ la meilleure.
En base $b$ il faut $b$ chiffres pour écrire tous les nombres, et le nombre de chiffres pour coder un nombre $n$ est égal à $1+\lfloor \log_b(n) \rfloor$ : plus la base est grande plus le nombre total de chiffres est grand mais plus le nombre de chiffres pour coder un nombre est petit. On définit alors une quantité associée au codage en base $b$ par le produit $b \times (1+\lfloor \log_b(n) \rfloor).$ Quand $n$ est grand ce produit se comporte comme $b\times \ln(n)/\ln(b)$, une fonction de $b$ dont voici l'allure :L'étude de cette fonction montre que son minimum est atteint en $b=e$. On m'avait dit à l'époque que c'est parce que $3$ est l'entier le plus proche de $e$ que $3$ est la base entière qui minimise la produit $b\times \ln(n)/\ln(b)$, mais en fait la raison est que $3/\ln(3)<2/\ln(2)$.
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Bonjour
Hier je signalais un tour de magie avec trois cartes, en voici un avec quatre cartes.On pose $F=\{11/8,\,7/5,\,17/12,\,10/7,\,8/5,\,5/3,\,12/7,\,7/4,\,19/8,\,12/5,\,29/12,\,17/7,\,13/5,\,8/3,\,19/7,\,11/4\}$, un ensemble de $16$ fractions.
On demande à une personne de choisir un élément de $F$ et de dire pour chacune des quatre cartes suivantes si la fraction y figure ou non.Carte 1 : 8/3, 29/12, 17/7, 12/5, 13/5, 11/4, 19/8,19/7Carte 2 : 7/5, 17/12, 29/12, 10/7, 17/7, 12/5, 11/8, 19/8Carte 3 : 7/4, 12/7, 17/12, 29/12, 10/7, 17/7, 11/4, 19/7Carte 4 : 8/5, 12/7, 17/12, 29/12, 13/5, 11/8, 19/8, 19/7Sans voir les cartes, sans les avoir mémorisé, je peux avec un petit calcul retrouver la fraction.Quelle est ma méthode ? -
@Cidrolin : C'est toi qui inventes tous ces beaux problèmes ?Par contre, pour ton problème à trois cartes, je n'aurais pas choisi exactement ces cartes-là. Je ne sais pas s'il y a une raison qui fait qu'on diffère. D'ailleurs, pourquoi $18$ apparaît deux fois, sur ta dernière ?
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18 apparaît 2 fois, pour le distinguer de 9.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
L'hypocrisie est pire qu'une vérité qui fait mal. Franck Ntasamara. -
1) Pour le tour des trois cartes, il est basé sur l'écriture d'un nombre en base trois (comme le disait Nicolas).Soit $A$ le nombre cherché. Si on note $a_i\in\{0,1,2\}$ le nombre de fois où $A$ figure sur la carte $i$,alors $A= a_1+3a_2+9a_3$2) Pour le tour des quatre cartes, je ne vois pas l'erreur signalée par bisam. La solution utilise un outil moins simple que les bases de numération.3) Merci Georges Abitbol, pour le qualitatif. J'invente (10% des cas) ou je modifie des problèmes trouvés sur le net (90%).
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Pour les fractions on reconnait des réduites de nombres quadratiques. Les premiers termes d'une suite du genre $u_{n+1}=au_n+bu_{n-1}$ ? $a$ et $b$ étant fonctions des booléens associées à la présence des fractions dans les cartes. Pareil pour $u_0$ et $u_1$.
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5/3 n'apparait pas dans les cartes. C'est normal ?
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Oui, c’est normal.Un indice ; pour une variante de ce tour avec cinq cartes (et 32 fractions) l'absent serait 8/5et pour une variante de ce tour avec six cartes (et 64 fractions) l'absent serait 13/8.
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Soit $E=\{1,2\}$, alors $F=\Big\{a_1+\dfrac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{a_4}}}\mid\quad a_1,a_2,a_3,a_4 \in E\Big\}$.Sur la carte $i$ on écrit les fractions pour lesquelles $a_i=2$.Par exemple, la réponse Oui-Non-Oui-Oui donne la fraction : $2+\dfrac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}=\frac{19}{7}$.
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C'est pourquoi j'avais remarqué qu'on pouvait grouper les fractions 2 par 2 différant de 1, et que la présence sur la carte 1 (par rapport à son absence) augmentait la fraction de 1.
Mais je ne trouvais pas de règle pour la présence sur les cartes 2, 3 ou 4 par rapport à leur absence. -
Ce serait mieux si on pouvait faire les calculs de tête. Pas facile en tous cas de trouver une formule à partir des cartes. Comment faire en général ? N'y aurait-il pas une astuce pour en écrire une directement, comme on peut le faire par exemple pour les polynômes d'interpolation de Lagrange ?
Je propose un nouveau tour : on demande à une personne de choisir un entier parmi $\{1,3,5,7,8,9,12,13,16,17,20,21,22,30,38,46\}$ puis de dire pour chacune des quatre cartes suivantes si ce nombre y figure ou pas :
carte 1 : 1, 3, 5, 7, 8, 12, 16, 20
carte 2 : 1, 3, 5, 7, 9, 13, 17, 21
carte 3 : 3, 7, 12, 13, 20, 21, 30, 46
carte 4 : 5, 7, 16, 17, 20, 21, 38, 46
Pareil : je n'ai pas vu les cartes, ni mémorisées, mais un petit calcul (faisable de tête) permet de retrouver cet entier. -
Je note $a$, $b$, $c$ et $d$ les booléens associés à la présence de l'entier dans les cartes n°1, 2, 3, et 4 respectivement. Je convertis le nombre binaire $dcba$ en décimal, c'est-à-dire que je calcule $a+2b+4c+8d$. J'ajoute $15$. Puis :
- si $a=b=1$ je divise par $2$;
- si $a=b=0$ je multiplie par $2$;
- sinon je ne fais rien.
Enfin je soustrais $8$. L'entier est donc égal à $\frac{2(a+2b+4c+8d+15)}{(a+1)(b+1)}-8.$ -
Merci Ludwig pour ce tour.
Voici un autre tour avec 3 cartes, 12 nombres et la possibilité de mentir.1) Une personne choisit (sans le dire) un nombre entre 1 et 12, elle choisit aussi de dire la vérité ou de mentir.
Si son nombre est à droite sur une carte et qu'elle ment elle dira gauche.
Si son nombre n'est pas sur la carte elle dira : rien ( qu'elle mente ou pas)
Si son nombre est à droite sur une carte et qu'elle ne ment pas, elle dira droite.2) Les cartes
Carte 1 : gauche 4,8,10,11-------droite 1,2,5,7
Carte 2 : gauche 2,3,4,7 --------- droite 5,6,11,12
Carte 3 : gauche 5,6,9,10-------- droite 7,8,11,123) Un exemple
8 est le nombre et la personne ment
elle dira : droite, rien, gauche.4) Voyez-vous la méthode pour trouver le nombre et dire s'il y a mensonge ou pas ?
Amicalement
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Bonjour!
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