Propriété métrique vs topologique

AitJoseph

Bonjour
Qu'est-ce que c'est qu'une propriété métrique à l'instar d'une propriété topologique invariant dans un espace topologique , qui reste inchangé par homéomorphisme ?
Merci et bonne journée.

MrJ

Dans un espace métrique, plusieurs notions existent : https://fr.wikipedia.org/wiki/Équivalence_de_distances

Par exemple, la complétude n’est pas une propriété topologique, mais elle est conservée pour les distances Lipschitz-équivalentes en reprenant la terminologie de la page Wikipedia.

AitJoseph

Merci @J élégante

Peut-on énoncer une définition formelle ?

AitJoseph

Est ce que propriété topologique implique métrique ? 

métrique implique topologique ?

Merci 

Barjovrille

Bonjour, d'après la remarque et la page cité par @MrJ il y a au moins 3 définitions possibles de propriété métrique, donc tu choisis celle qui convient selon les propriétés que tu veux transporter d'une structure à une autre. Néanmoins peu importe la définition que tu prends de "propriété métrique" (en restant dans le cadre de la page wikipedia), une propriété topologique est une propriété métrique, car d'après la page citée l'invariance par homéomorphisme est la propriété la moins forte (en hypothèse) des 4 invariances. 

AitJoseph

Franchement c'est encore flou.

Barjovrille

Une propriété topologique, c'est une propriété invariante par homéomorphisme. C'est-à-dire soient $X$,$Y$ deux espaces topologiques, on suppose $X$ homéomorphe à $Y$, la propriété $P$ est topologique si : $X$ vérifie $P$ si et seulement si $Y$ vérifie $P$.
On veut avoir une définition du même type pour les espaces métriques. Donc il faut trouver un concept analogue au terme "homéomorphe" pour les espaces métriques. Pour avoir une définition du type "une propriété métrique c'est une propriété invariante par ...". Mais pour les espaces métriques on a plusieurs choix intéressants, en gros on a plusieurs façon de dire qu'un espace métrique ressemble à un autre et de façon plus ou moins précise.
Alors qu'on n'a qu'une façon de dire qu'un espace topologique ressemble à un autre c'est par  le concept d'homéomorphisme.

Et l'article wikipedia donne ces définitions. Tu peux dire par exemple que $(X,d)$, ressemble à $(Y,d')$ si il existe $f : X \mapsto Y$ une bijection telle que il existe $a,b>0$ tel que pour tout $x_1,x_2 \in X,$ $ad(x_1,x_2) \leq d'(f(x_1),f(x_2)) \leq bd(x_1,x_2)$, dans ce cas là, la complétude est une propriété métrique car pour tout $X$ et $Y$ qui se ressemblent en tant qu'espace métrique selon cette définition : $X$ est complet si et seulement si $Y$ est complet. Pareil pour la bornitude.  Maintenant cette définition peut être trop contraignante selon ce qu'on veut faire, donc on peut être amené à prendre des définitions avec des hypothèses plus faibles mais qui restent pertinentes et la page Wikipédia donne 4 définitions pertinentes et plus ou moins précises sur le degré de ressemblance (Wikipedia reste sur le même espace, mais si tu veux l'analogue avec 2 espaces tu changes identité avec une bijection, et tu modifies la suite pour que ça soit cohérent).

Si tu préfères au lieu de parler de propriété métrique au sens général on pourrait parler de "propriété métrique Lipschitz", "propriété métrique bornologique", "propriété métrique uniforme". C'est peut-être à cause de ces subtilités qu'on ne croise pas souvent l'expression propriété métrique.

AitJoseph

Merci beaucoup Barjovrille.

AitJoseph

Et le lien entre les deux notions ?
Je crois topologique implique métrique et la réciproque est fausse ?

Barjovrille

Oui c'est ça, un contre exemple pour la réciproque, pour une bonne définition la bornitude est une propriété métrique, mais elle n'est pas topologique car elle n'est pas préservé par homéomorphisme. En effet, on prend la fonction $\displaystyle \tan : ( ]-\pi/2, \pi/2[, |.|)| \to (\mathbb{R},|.|)$, avec $|.|$ la valeur absolue. Pour cette distance $\tan$ est un homéomorphisme. Mais pour cette distance l'espace de départ est borné et l'espace d'arrivée ne l'est pas. Ça fournit aussi un contre-exemple pour la complétude (c'est un exemple explicite de ce qui a été évoqué par MrJ plus haut) l'espace d'arrivé est complet mais l'espace de départ ne l'est pas.

AitJoseph

Merci , Merci encore