Application du théorème de Borel-Cantelli
Bonjour à tous
Je viens justement de démontrer le point a) de cet exercice. Mais je coince un peu pour le point b qui est de montrer que P[N<x]=0 pour tous x>0.
J'avais pensé à utiliser le théorème de convergence dominé et l'appliquer à l'inégalité du point a), mais je peine à conclure, avez vous des idées, suggestions ?

Je viens justement de démontrer le point a) de cet exercice. Mais je coince un peu pour le point b qui est de montrer que P[N<x]=0 pour tous x>0.
J'avais pensé à utiliser le théorème de convergence dominé et l'appliquer à l'inégalité du point a), mais je peine à conclure, avez vous des idées, suggestions ?

Réponses
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Bonjour
On part de $\mathbb P[N<x]\leqslant \liminf_{n\to\infty}\frac{\mathbb E\left[N_n^2\right]-\mathbb E\left[N_n\right]^2}{(\mathbb E\left[N_n\right]-x)^2}$. Comme $\mathbb E\left[N_n\right]\to \infty$, on a$\liminf_{n\to\infty} \frac{\mathbb E\left[N_n^2\right]-\left(\mathbb E\left[N_n\right]\right)^2}{(\mathbb E\left[N_n\right]-x)^2} = \liminf_{n\to\infty}\frac{\mathbb E\left[N_n^2\right] }{\mathbb E\left[N_n\right]^2}-1,$qui fait $0$ par hypothèse.
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girdavMerci pour votre contribution, mais qu'est ce qui vous permet directement de passer à la première inégalité, le lemme de Fatou ? Et qui vous dit que E[X_n] tend toujours vers l'infini ?[Inutile de recopier le dernier message. AD]|Pierre Fatou (1878-1929) prend toujours une majuscule. AD]
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Pour la première égalité : on prend une suite $(\ell_k)$ telle que $\lim_{k\to\infty}\mathbb P[N_{\ell_k}<x]=\liminf_{n\to\infty}\mathbb P[N_n<x]$. Pour chaque entier $k$, $\mathbb P[N<x]\leqslant\mathbb P[N_{\ell_k}<x]$.Pour la seconde question : l'espérance de $N_n$ est $\sum_{k=1}^n\mathbb P(A_k)$ qui tend vers l'infini grâce à la divergence de la série de terme général $\mathbb P(A_k)$.
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Oui, l'hypothèse de la divergence de $\mathbb E[N_n]$ est nécessaire. Sinon, on ne pourrait pas déduire que $\mathbb E[N_n]/(\mathbb E[N_n]-x)$ tend vers $1$ et on ne serait même pas sûr de pouvoir trouver $n$ tel que $\mathbb E[N_n]>x$.Dans le cas où les événements sont indépendants, la condition sur la $\liminf$ est automatiquement vérifiée et on peut voir que la conclusion serait mise en défaut.
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Tout d'abord, si $M:=\sum_{n=1}^\infty\mathbb P(A_n)<\infty$, on ne pourrait pas utiliser (a) pour $x$ tel que $x>M$. Ensuite Jensen dit seulement que $\mathbb E[N_n^2]/(\mathbb E\left[N_n\right]^2)\geqslant 1$. De plus, je ne vois pas la provenance du $-1$ dans l'avant-dernière ligne.
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Oui en effet, je me suis trompé en prenant l'inégalité dans l'autre sens pour Jensen le -1 venait d'une mise en évidence de E(Nn)². En partant du principe que E[Nn]/(E[Nn]−x) tend vers 1, j'arrive à une absurdité qui contre dit que x>0 :
[Johan Jensen (1859-1925) prend toujours une majuscule. AD] -
girdav a dit : https://les-mathematiques.net/vanilla/index.php?p=/discussion/comment/2427682/#Comment_2427682[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]Maintenant que je vois qu'on ne peut pas appliquer Jansen, je ne vois pas pourquoi ça fait 0, et quelle hypothèse ??[Johan Jensen (1859-1925) prend toujours une majuscule. AD]
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$N_n^2=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\mathbf{1}_{A_i\cap A_j}$ dont l'espérance est $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\mathbb{P}(A_i\cap A_j)$ et l'espérance de $N_n$ est $\sum_{k=1}^n\mathbb P(A_k)$.
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