Application du théorème de Borel-Cantelli

Bonjour à tous
Je viens justement de démontrer le point a) de cet exercice. Mais je coince un peu pour le point b qui est de montrer que P[N<x]=0 pour tous x>0.
J'avais pensé à utiliser le théorème de convergence dominé et l'appliquer à l'inégalité du point a), mais je peine à conclure, avez vous des idées, suggestions ?

Réponses

  • girdav
    Modifié (May 2023)
    Bonjour
    On part de $\mathbb P[N<x]\leqslant \liminf_{n\to\infty}\frac{\mathbb E\left[N_n^2\right]-\mathbb E\left[N_n\right]^2}{(\mathbb E\left[N_n\right]-x)^2}$. Comme $\mathbb E\left[N_n\right]\to \infty$, on a
    $\liminf_{n\to\infty} \frac{\mathbb E\left[N_n^2\right]-\left(\mathbb E\left[N_n\right]\right)^2}{(\mathbb E\left[N_n\right]-x)^2} = \liminf_{n\to\infty}\frac{\mathbb E\left[N_n^2\right] }{\mathbb E\left[N_n\right]^2}-1,$
    qui fait $0$ par hypothèse.
  • NicolasH
    Modifié (May 2023)
    girdav
    Merci pour votre contribution, mais qu'est ce qui vous permet directement de passer à la première inégalité, le lemme de Fatou ? Et qui vous dit que E[X_n] tend toujours vers l'infini ?
    [Inutile de recopier le dernier message. AD]
    |Pierre Fatou (1878-1929) prend toujours une majuscule. AD]
  • girdav
    Modifié (May 2023)
    Pour la première égalité : on prend une suite $(\ell_k)$ telle que $\lim_{k\to\infty}\mathbb P[N_{\ell_k}<x]=\liminf_{n\to\infty}\mathbb P[N_n<x]$.  Pour chaque entier $k$, $\mathbb P[N<x]\leqslant\mathbb P[N_{\ell_k}<x]$.
    Pour la seconde question : l'espérance de $N_n$ est $\sum_{k=1}^n\mathbb P(A_k)$ qui tend vers l'infini grâce à la divergence de la série de terme général $\mathbb P(A_k)$.
  • NicolasH
    Modifié (May 2023)
    girdav
    Merci, l'hypothèse E(N_n) qui diverge est vraiment nécessaire ? Car je peux faire la majoration sans problème.
    [Inutile de recopier le dernier message. AD]
  • girdav
    Modifié (May 2023)
    Oui, l'hypothèse de la divergence de $\mathbb E[N_n]$ est nécessaire. Sinon, on ne pourrait pas déduire que $\mathbb E[N_n]/(\mathbb E[N_n]-x)$ tend vers $1$ et on ne serait même pas sûr de pouvoir trouver $n$ tel que $\mathbb E[N_n]>x$.
     Dans le cas où les événements sont indépendants, la condition sur la $\liminf$ est automatiquement vérifiée et on peut voir que la conclusion serait mise en défaut.
  • NicolasH
    Modifié (May 2023)
    girdav
    Pourtant j'arrive à le démontrer sans, peut-être qu'il y ait quelque chose qui foire dans mon raisonnement ? (j'utilise l'inégalité de Jansen appliquée à l'espérance).
    [Inutile de recopier le message précédent. Merci. AD]
     
  • Tout d'abord, si $M:=\sum_{n=1}^\infty\mathbb P(A_n)<\infty$, on ne pourrait pas utiliser (a) pour $x$ tel que $x>M$. Ensuite Jensen dit seulement que $\mathbb E[N_n^2]/(\mathbb E\left[N_n\right]^2)\geqslant 1$. De plus, je ne vois pas la provenance du $-1$ dans l'avant-dernière ligne.
  • NicolasH
    Modifié (May 2023)
    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
    Oui en effet, je me suis trompé en prenant l'inégalité dans l'autre sens pour Jensen le -1 venait d'une mise en évidence de E(Nn)². En partant du principe que E[Nn]/(E[Nn]−x) tend vers 1, j'arrive à une absurdité qui contre dit que x>0 : 
    [Johan Jensen (1859-1925) prend toujours une majuscule. AD]
  • NicolasH
    Modifié (May 2023)
    [Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
    Maintenant que je vois qu'on ne peut pas appliquer Jansen, je ne vois pas pourquoi ça fait 0, et quelle hypothèse ??
    [Johan Jensen (1859-1925) prend toujours une majuscule. AD]
  • $N_n^2=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\mathbf{1}_{A_i\cap A_j}$ dont l'espérance est $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\mathbb{P}(A_i\cap A_j)$ et l'espérance de $N_n$ est $\sum_{k=1}^n\mathbb P(A_k)$.
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