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Démontrer double somme

Modifié (May 2023) dans Combinatoire et Graphes
Bonjour
Comment montrer efficacement que
$\sum_{k=0}^{n}\sum_{i=0}^{k}a_i b_k =\sum_{i=0}^{n}a_i \sum_{k=i} ^{n}b_k$ ?

Réponses

  • Il suffit de vérifier que \[\{(i,k)\in\N^2,\ 0\le k\le n\ \text{et}\ 0\le i\le k\}=\{(i,k)\in\N^2,\ 0\le i\le n\ \text{et}\ i\le k\le n\},\]ce qui est essentiellement évident, puis on factorise $a_i$ dans chaque somme $\sum_{k=i}^na_ib_k$.
    S'il faut plus ou autre chose, on peut introduire pour tout $(i,k)\in\N^2$ un symbole $\delta_{i\le k}$ qui vaut $1$ si $0\le i\le k\le n$ et $0$ sinon et constater que les deux sommes valent $\sum_{(i,k)\in\{0,\dots,n\}^2}\delta_{i\le k}a_ib_k$, qu'on peut calculer en sommant par lignes ou par colonnes (l'intérêt est que là, on somme sur un rectangle, la permutation des sommes va de soi).
  • Dans les 2 membres de l'égalité, on prend tous les termes pour lesquels l'indice de $b_.$ est supérieur ou égal à l'indice de $a_.$
    Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
  • Il faut dessiner un tableau.
    ---> I believe in Chuu-supremacyhttps://www.youtube.com/watch?v=BVVfMFS3mgc <---
  • Modifié (May 2023)
    OK merci.
    Je pense peut-être que écrire cette somme en faisant une ligne par $\sum_{i=0}^k a_i b_k$ et ensuite de regrouper les colonnes de même $a_i$ serait une solution.
  • Modifié (May 2023)
    OK, je mets les pieds dans le plat. C'est une permutation de signes somme, autrement dit une sommation « par lignes » ($k$ fixé, on somme sur les $i$) qui devient une sommation « par colonnes » ($i$ fixé, on somme sur les $k$). La petite difficulté, c'est que les nombres sont disposés dans un tableau rectangulaire ($0\le i\le n$ et $0\le k\le n$) mais on ne somme que sur un triangle (défini par les inégalités $0\le i\le k\le n$). La ligne $k$ contient $k+1$ nombres (de $0$ à $k$) mais la $i$-ème colonne contient $n-i+1$ nombres (de $i$ à $n$).
    Tout ça n'a pas besoin d'être explicité mais si tu ne l'as pas vu, c'est la priorité. Si tu n'avais pas dessiné un tableau jusque là, c'est dommage. Chaque point représente un terme $a_ib_k$ de la somme ($i$ en abscisse, $k$ en ordonnée).

    PS : mélange entre lignes et colonnes rectifié (avec une proba de 1/2 d'avoir juste à présent, contre 1/2 avant correction).
  • Modifié (May 2023)
    Je note $\delta_{i,k}$ qui vaut $1$ si $i\leqslant k$, et $0$ sinon.
    Alors \begin{align*} \sum_{k=0}^{n}\sum_{i=0}^{k}a_i b_k & = \sum_{k=0}^{n}\sum_{i=0}^{n}a_i b_k \delta_{i,k} \\
    & = \sum_{i=0}^{n} \sum_{k=0}^{n} a_i b_k \delta_{i,k} \\
    & = \sum_{i=0}^{n} \left(a_i \sum_{k=0}^{n} b_k \delta_{i,k} \right)\\
    & = \sum_{i=0}^{n} \left(a_i \sum_{k=i}^{n} b_k \right)
    \end{align*}
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