Démontrer double somme

math65

Bonjour
Comment montrer efficacement que

$\sum_{k=0}^{n}\sum_{i=0}^{k}a_i b_k =\sum_{i=0}^{n}a_i \sum_{k=i} ^{n}b_k$ ?

Math Coss

Il suffit de vérifier que \[\{(i,k)\in\N^2,\ 0\le k\le n\ \text{et}\ 0\le i\le k\}=\{(i,k)\in\N^2,\ 0\le i\le n\ \text{et}\ i\le k\le n\},\]ce qui est essentiellement évident, puis on factorise $a_i$ dans chaque somme $\sum_{k=i}^na_ib_k$.

S'il faut plus ou autre chose, on peut introduire pour tout $(i,k)\in\N^2$ un symbole $\delta_{i\le k}$ qui vaut $1$ si $0\le i\le k\le n$ et $0$ sinon et constater que les deux sommes valent $\sum_{(i,k)\in\{0,\dots,n\}^2}\delta_{i\le k}a_ib_k$, qu'on peut calculer en sommant par lignes ou par colonnes (l'intérêt est que là, on somme sur un rectangle, la permutation des sommes va de soi).

lourrran

Dans les 2 membres de l'égalité, on prend tous les termes pour lesquels l'indice de $b_.$ est supérieur ou égal à l'indice de $a_.$

Positif

Il faut dessiner un tableau.

math65

OK merci.
Je pense peut-être que écrire cette somme en faisant une ligne par $\sum_{i=0}^k a_i b_k$ et ensuite de regrouper les colonnes de même $a_i$ serait une solution.

Math Coss

OK, je mets les pieds dans le plat. C'est une permutation de signes somme, autrement dit une sommation « par lignes » ($k$ fixé, on somme sur les $i$) qui devient une sommation « par colonnes » ($i$ fixé, on somme sur les $k$). La petite difficulté, c'est que les nombres sont disposés dans un tableau rectangulaire ($0\le i\le n$ et $0\le k\le n$) mais on ne somme que sur un triangle (défini par les inégalités $0\le i\le k\le n$). La ligne $k$ contient $k+1$ nombres (de $0$ à $k$) mais la $i$-ème colonne contient $n-i+1$ nombres (de $i$ à $n$).

Tout ça n'a pas besoin d'être explicité mais si tu ne l'as pas vu, c'est la priorité. Si tu n'avais pas dessiné un tableau jusque là, c'est dommage. Chaque point représente un terme $a_ib_k$ de la somme ($i$ en abscisse, $k$ en ordonnée).

PS : mélange entre lignes et colonnes rectifié (avec une proba de 1/2 d'avoir juste à présent, contre 1/2 avant correction).

Guego

Je note $\delta_{i,k}$ qui vaut $1$ si $i\leqslant k$, et $0$ sinon.

Alors \begin{align*} \sum_{k=0}^{n}\sum_{i=0}^{k}a_i b_k & = \sum_{k=0}^{n}\sum_{i=0}^{n}a_i b_k \delta_{i,k} \\
& = \sum_{i=0}^{n} \sum_{k=0}^{n} a_i b_k \delta_{i,k} \\
& = \sum_{i=0}^{n} \left(a_i \sum_{k=0}^{n} b_k \delta_{i,k} \right)\\
& = \sum_{i=0}^{n} \left(a_i \sum_{k=i}^{n} b_k \right)
\end{align*}