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Déterminer le signe d'un polynôme

Bonjour, je suis en sup en PTSI et je reprenais l'un de mes dm avec un problème sur les polynômes: au préalable était étudié le polynôme 

∀θ ∈ R, Tn(cos(θ)) = cos(nθ) puis l'on pose Tn*=(1/2**(n-1))Tn. On introduit ainsi : "Soit f une fonction continue sur [−1; 1], N(f) = max(|f|)sur[-1;1]". Il est alors demandé: "On veut montrer que N(P)⩾N(Tn*) pour tout polynôme P unitaire de degré n. On suppose par l'absurde qu'il existe un polynôme P∈ K[X] unitaire (de coefficient dominant égale à 1) de degré n tel que N(P)<N(Tn*) ; déterminer le signe de P-Tn* en les cos(kπ/n) où k∈ {0,...,n}. 

Après quelques dizaines de minutes à tourner en rond je me décide à regarder la correction et j'avoue ne pas comprendre le début de celle-ci:              "Soit k ∈{0,...,n} fixé. D’après l’hypothèse sur P on a N(P) < N(Tn∗) donc max(|P|)<max(|Tn*|)

c'est à dire -|Tn*(cos(kPi/n))|<|P(cos(kPi/n))|<|Tn*(cos(kPi/n))| . Ainsi, (P-Tn*)(cos(kPi/n))st du signe de -Tn*(cos(kPi/n))." 

Je ne comprend pas comment de l'inégalité qui précède on peut déduire e signe de P-Tn*. Si quelqu'un peut m'éclaircir. Merci d'avance et d'avoir lu ce pavé. 

Bonne journée 

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