Montrer qu’un ensemble est un ouvert, fermé ou compact

celrek19

celrek19

Bonjour à tous je me lance dans cet exercice mais je bloque sur l’ensemble B 

celrek19

Il existe plusieures méthodes mais moi j’ai décidé de montrer que le complémentaire de l’ensemble B est un fermé pour montrer que lui-même est un ouvert. Pour cela je veux considérer une suite de points (xn,yn) de points de B qui converge vers (x1,y1) et que (x1,y1)€B pour conclure, mais mon souci c’est de prouver que B admet au moins une suite de points convergente je ne sais pas comment prouver que B admet une suite de points convergente 

gerard0

L'image réciproque d'un ouvert par une fonction continue est ...
Cordialement.

celrek19

Oui je sais mais j’ai utilisé cette méthode pour l’ensemble A et je veux changer pour l’ensemble B 
aide moi avec la méthode que j’essaie @gerard0

gerard0

Tu n'es pas sérieux ! Pour un ensemble fermé tu n'utilises pas cette méthode, mais tu trafiques pour l'utiliser maintenant.

Sinon, il n'y a aucune difficulté à montrer que le complémentaire de B est fermé, en utilisant des suites. La première chose à écrire est sa définition, assez évidente en termes d'inéquation. Si tu ne l'as pas fait, tu es un rigolo, si tu l'as fait, il suffit d'appliquer à la suite et de conclure sur la limite.

Bon travail personnel !

celrek19

Je te comprends @gerard0 et je peux conclure sans souci mais à force d’utiliser la méthode avec les suites une question me vient en tête qu’est-ce qui prouve que le complémentaire de l’ensemble admet au moins une suite convergente parce que chaque fois on considère une suite convergente mais rien ne prouve que l’ensemble admet au moins une suite convergente mon souci n’est pas la réponse, la réponse je la connais mon problème c’est l’existence de la suite convergente.

Titi le curieux

Dans ce cas tu prend pour un élément $z=(x,y)$ qui n'est pas dans B $\epsilon=\min{\{ 2-|x+1|,2-|y-1| \} }$ tu constates que tous les éléments qui se trouvent à moins de $\epsilon$ de z pour la norme infini ne sont pas dans B non plus, donc le complémentaire de B est voisinage de chacun de ses éléments et B est fermé. Mais personnelement, je ne me serais pas embêté et j'aurais fait comme gerard0 (une union finie de fermés est fermée, paf! Au suivant!). 
Edit: hors sujet, je n'avais pas vu qu'il voulait utiliser des suites convergentes. Je ne ferais pas ça. 

celrek19

Okay C’est compris 

celrek19

En dehors même de cet exercice je voudrais savoir comment sait-on que pour un ensemble donne qu’il existe une suite de points de l’ensemble considéré qui converge ?? 

celrek19

On considère un ensemble et on forme une suite de points de l’ensemble en question comment je peux savoir si cette suite converge 

JLapin

Pour démontrer une implication $P$ implique $Q$, tu dois commencer par supposer $P$.

Pour démontrer que la limite de toute suite convergente d'éléments de $F$ appartient à $F$, tu dois considérer une suite convergente d'éléments de $F$. Tu n'as pas besoin de te poser la question de l'existence d'une telle suite, tu dois en prendre une quelconque.

D'ailleurs, si $F$ est vide, toute suite convergente d'éléments de $F$ possède une limite dans $F$...

celrek19

Ah oui merci @JLapin c’est après que j’ai compris.
Merci à tous.

celrek19

Je me suis rendu compte de l’erreur de mon raisonnement 🤧