Développement asymptotique

Boécien
Modifié (May 2023) dans Analyse
En tripotant les binomiaux j'ai remarqué quelque chose que je n'arrive pas à démontrer. Soit $$S(n)=\frac{n^{2}}{2^{n+2}}\sum_{k=1}^{n-1}\frac{{n \choose k}}{k(n-k)}$$
Qui peut montrer que lorsque $n$ tend vers l'infini on a $$S(n)=a_{0}+\frac{a_{1}}{n}+\frac{a_{2}}{n^{2}}+\dots$$ où $\sum_{k\geq0}a_{k}\frac{x^{k}}{k!}=\frac{1}{2-e^{x}}$ ?
J'ai essayé d'utiliser une des propriétés de ces nombres qui sont en fait bien connus en tant que nombres de Fubini mais je ne vois pas encore le truc évident.

Réponses

  • Il me semble que le calcul explicite de $S(n)$ est faisable.
  • Peut-être en introduisant $x^ky^{n-k}$ et en dérivant par rapport à  $x$ puis $y$.
  • Bibix
    Modifié (May 2023)
    On peut commencer par trouver une forme plus sympathique. On a $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} \binom{k}{n} = \int_0^1 \frac{(1+t)^n - (1+t^n)}{t} dt = \int_1^2 \frac{t^n-1}{t-1} dt - \int_0^1 t^{n-1}dt = \sum_{k=1}^n \frac{2^k}{k} - H_n - \frac{1}{n} = A_n - \left(H_n+\frac{1}{n}\right)$. Avec une décomposition en éléments simples, on obtient $S(n) = \frac{n}{2^{n+1}} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k} \binom{n}{k} = \frac{n}{2^{n+1}} \left(A_n - H_n-\frac{1}{n}\right)$.

    On en déduit que pour tout $p > 0$, $S(n) = \frac{n}{2^{n+1}} A_n + o(n^{-p})$ or $\frac{n}{2^{n+1}} A_n = \sum_{k = 0}^{n-1} \frac{n}{n-k} 2^{-(k+1)}$. En utilisant $\frac{n}{n-k} = \sum_{j = 0}^{+\infty} \left(\frac{k}{n}\right)^j$, on obtient $S(n) = a_0 + \frac{a_1}{n} + ... + \frac{a_p}{n^p} + o(n^{-p})$ où $a_j = \sum_{k = 0}^{+\infty} k^j 2^{-(k+1)}$ sauf erreur.

    Est-ce que tu as induit ton résultat d'observations numériques ?
  • Boécien
    Modifié (May 2023)
    Merci Bibix. Que devient le $1/(n-k)$ dans l'expression de $S(n)$ ?Tu retombes sur une des expressions de $a_n$ donnée dans l'OEIS. Oui je n'avais fait que des observations numériques.
  • Le $1/(n-k)$ fusionne avec $1/k$ grâce à la décomposition en éléments simples et au changement d'indice $k \to n-k$.
  • Boécien
    Modifié (May 2023)
    Ok merci. Joli. Pour répondre plus précisément sur l'origine de l'observation j'essaye de trouver des développements asymptotiques en $n^{-k}$ de suites qui ne font intervenir que des entiers comme coefficients devant $n^{-k}$.
    Un développement que j'observe et qui m'intrigue encore plus est celui-là. Si $N(x)$ désigne le numérateur du rationnel $x$ et si on définit la suite $u_n$ comme ça : $$u_{n+1}=u_{n}+\frac{1}{N\left(u_{n}\right)}$$
    Si $u_{0}=m\geq1$ est un entier on a $\lim_{n\rightarrow\infty}u_{n}=\ell_{m}$ existe et j'obtiens un développement asymptotique à l'ordre $9$ pour la partie fractionnaire de la limite $$\left\{ \ell_{m}\right\} =\frac{1}{m}+\frac{1}{m^{2}}-\frac{1}{m^{6}}-\frac{1}{m^{7}}+\frac{3}{m^{8}}+O\left(m^{-9}\right) $$
    En général il semble exister des entiers relatifs $\alpha_{k}$ tels que  $$\left\{ \ell_{m}\right\} =\sum_{k\geq1}\alpha_{k}m^{-k} $$
    La suite $\alpha$ commence par $1,1,0,0,0,-1,-1,3,4,-6,12,8,30,-1,-62,...$. Trivial ou pas de démontrer que cette suite est entière ?
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